Дифференциаль тигеҙләмә

Навье — Стокс тигеҙләмәһен сығарып иҫәпләнгән һауа ағымын визуаллаштырыу
Йылылыҡ үткәреүсәнлек тигеҙләмәһен сығарыу юлы менән булдырылған насос корпусында йылылыҡ алмашыныуҙы визуаллаштырыу
Дифференциаль тигеҙләмәнең ҡайһы бер айырым интегралдарының графигы

Дифференциа́ль тигеҙләмә — ул функцияның сығарылмалары, функция үҙе, бәйләнешһеҙ үҙгәреүсән һәм параметрҙар ингән тигеҙләмә. Тигеҙләмәгә ингән сығарылмаларҙың тәртибе төрлөсә булырға мөмкин (формально ул бер ни менән сикләнмәгән). Тигеҙләмәгә сығарылмалар, функциялар, бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәндәр һәм параметрҙар төрлө комбинацияларҙа инергә мөмкиндәр йәки, бер генә булһа ла сығарылманан тыш, бөтөнләй булмаҫҡа мөмкиндәр. Билдәһеҙ функцияның сығарылмалары ингән теләһә ниндәй тигеҙләмә дифференциаль тигеҙләмә булмай. Мәҫәлән, дифференциаль тигеҙләмә түгел[1].

Сығарылышы булып һан (бер нисә һан) торған алгебраик тигеҙләмәнән айырмалы рәүештә, дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылышы булып функция (функциялар ғаиләһе) тора.

Тәртибе берҙән юғары булған дифференциаль тигеҙләмәне беренсе тәртиптәге тигеҙләмәләр системаһына үҙгәртергә мөмкин, системала тигеҙләмәләр һаны бирелгән дифференциаль тигеҙләмәнең тәртибенә тигеҙ.

Заманса тиҙ эшләүсе ЭВМ-дар ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәнең һанлы сығарылышын, уның сығарылышын аналитик күренештә табыуҙы талап итмәйенсә, эффектив бирәләр. Был ҡайһы бер тикшеренеүселәргә, әгәр мәсьәләне ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәне сығарыуға ҡайтарып ҡалдырып булһа, мәсьәлә сығарылған тип раҫларға мөмкинлек бирә.

Терминологилар һәм классификацияҮҙгәртергә

Дифференциаль тигеҙләмә тәртибе — тигеҙләмәгә ингән иң юғары сығарылмалар тәртибе.

Әгәр дифференциаль тигеҙләмә юғары сығарылмаға ҡарата күпбыуын булһа, был күпбыуындың дәрәжәһе дифференциаль тигеҙләмәнең дәрәжәһе тип атала. Шулай, мәҫәлән,   тигеҙләмәһе икенсе тәртиптәге, дүртенсе дәрәжә тигеҙләмә[2].

n-сы тәртиптәге дифференциаль тигеҙләмәнең сығарылышы (интегралы) тип, ниндәйҙер (a, b) интервалында n-ды ла индереп n-сы тәртипкә тиклем   сығарылмалары булған һәм был тигеҙләмәне ҡәнәғәтләндергән y(x) функцияһы атала. Дифференциаль тигеҙләмәне сығарыу процессы интеграллау тип атала. Дифференциаль тигеҙләмәне интеграллау мәсьәләһе, әгәр билдәһеҙ   функцияһын квадратураға (йәғни   күренешенә килтереп булһа, бында   — элементар функция), килеп сыҡҡан интеграл һуңғы күренештә билдәле функциялар аша күрһәтелеү йәки күрһәтелмәүенә ҡарамаҫтан, хәл ителгән тип иҫәпләнә.

Бөтә дифференциаль тигеҙләмәләрҙе бер генә аргументтың функциялары (һәм уларҙың сығарылмалары) ингән ғәҙәти (ҒДТ)дифференциаль тигеҙләмәләргә, һәм күп үҙгәреүсәнле функциялар ингән айырым сығарылмаларҙа тигеҙләмәләргә (АСТ) бүлергә була. Шулай уҡ осраҡлы процесстар ингән стохастик дифференциаль тигеҙләмәләр (СДТ), була.

Сығарылмалар, функциялар, бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәндәр комбинацияларына бәйле рәүештә, дифференциаль тигеҙләмәләр һыҙыҡлы һәм һыҙыҡлы булмаған, даими йәки үҙгәреүсән коэффициентлы, тиң йәки тиң булмаған тигеҙләмәләргә бүленәләр. Айырым класҡа ҡарауҙың мөһимлеге менән бәйле квазиһыҙыҡлы (юғары сығарылмаларға ҡарата һыҙыҡлы) айырым сығарылмаларҙа дифференциаль тигеҙләмәләрҙе айырып ҡарайҙар[3].

Дифференциаль тигеҙләмәләр өсөн уларҙың сығарылышы булыуы һәм берҙән берлеге мөһим мәсьәлә булып тора. Тигеҙләмәнең сығарылышы булыуы һәм берҙән берлеге тураһында теоремалар, бының кәрәкле һәм етерлек шарттарын да күрһәтеп, был мәсьәләне хәл итәләр. Ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләр өсөн бындай шарттар Липшиц (1864) тарафынан әйтеп бирелгән. Айырым сығарылмаларҙа дифференциаль тигеҙләмәләр өсөн ярашлы теорема С. В. Ковалевская (1874) тарафынан иҫбат ителгән.

Дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылыштары дөйөм һәм айырым сығарылыштарға бүленә. Дөйөм сығарылыштар билдәһеҙ даимиларҙы үҙ эсенә ала, айырым сығарылмаларҙа тигеҙләмәләр — бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәнле ирекле функцияларҙы үҙ эсенә ала, уларҙы интеграллауҙың өҫтәлмә шарттарынан (ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләр өсөн башланғыс шарттар, айырым сығарылмаларҙа тигеҙләмәләр өсөн башланғыс һәм сикке шарттар) аныҡларға мөмкин. Күрһәтелгән даимиларҙың һәм билдәһеҙ функцияларҙың төрөн асыҡлағандан һуң сығарылыштар айырым булып китәләр.

Ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылыштарын эҙләү функцияларҙың ҡушымталарында йыш осраған, билдәле элементар функциялар аша күрһәтелмәгән махсус функциялар класын булдырыуға килтерә. Уларҙың үҙсәнлектәре ентекләп өйрәнелгән, ҡиммәттәре таблицалары төҙөлгән, үҙ-ара бәйләнештәре асыҡланған һәм башҡалар.

Дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһының үҫеше ҡайһы бер осраҡтарҙа тикшерелгән функцияларҙың өҙлөкһөҙ булыуын талап итеүҙән баш тартырға һәм дифференциаль тигеҙләмәләрҙең дөйөмләштерелгән сығарылыштарын индерергә мөмкинлек бирә.

ТарихыҮҙгәртергә

Тәү башлап дифференциаль тигеҙләмәләр, есемдәрҙең төрлө тәьҫир итеүҙәрҙә ваҡыт функцияһы итеп ҡаралыусы координаталарын, уларҙың тиҙлектәрен һәм тиҙләнештәрен табыу талап ителгән механика мәсьәләләренән килеп сығалар. Шулай уҡ ул ваҡытта ҡаралған ҡайһы бер геометрик мәсьәләләр дифференциаль тигеҙләмәләргә килтерәләр.

Лейбниц һәм Ньютон (1642—1727) тарафынан булдырылған дифференциаль иҫәпләмә дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһының нигеҙен тәшкил итә. «Дифференциаль тигеҙләмә» терминын 1676 йылда Лейбниц тәҡдим итә. XVIII быуаттағы дифференциаль тигеҙләмәләр буйынса күп һандағы хеҙмәттәр араһында Эйлерҙың (1707—1783) һәм Лагранждың (1736—1813) хеҙмәттәре айырылып тора. Был хеҙмәттәрҙә тәүҙә бәләкәй тирбәлеүҙәр теорияһы, шунан сығып — һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләр системалары теорияһы үҫеш ала; бер ыңғайҙан һыҙыҡлы алгебраның төп төшөнсәләре (n-үлсәмле осраҡта үҙ һандар һәм векторҙар) барлыҡҡа килә. Ньютон артынса Лаплас һәм Лагранж, ә аҙағыраҡ Гаусс (1777—1855) шулай уҡ ҡуҙғыуҙар теорияһы ысулдарын үҫтерәләр.

Алгебраик тигеҙләмәләрҙең радикалдарҙа сығарылышы булмауы иҫбат ителгәс, Жозеф Лиувилль (1809—1882) күп кенә тигеҙләмәләрҙең (атап әйткәндә, икенсе тәртиптәге һыҙыҡлы тигеҙләмәләр кеүек классик тигеҙләмәләр) элементар функцияларҙа һәм квадратурала сығарып булмауын иҫбатлап, дифференциаль тигеҙләмәләр өсөн оҡшаш теория төҙөй. Аҙағыраҡ Софус Ли (1842—1899), тигеҙләмәләрҙе квадратураларҙа интеграллау тураһында мәсьәләне анализлап, диффеоморфизмдар төркөмөн (аҙаҡ Ли төркөмө исемен алған) ентекләп тикшереү кәрәк тигән фекергә килә — шулай итеп дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы буйынса хәҙерге математиканың иң һөҙөмтәле тармаҡтарының береһе барлыҡҡа килә, уның артабанғы үҫеше бөтөнләй икенсе мәсьәләләр менән тығыҙ бәйләнгән (Ли алгебраларын алдараҡ Симеон-Дени Пуассон (1781—1840) һәм, айырыуса, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)) тикшергәндәр.

Дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы үҫешенең яңы этабы Анри Пуанкаре (1854—1912) хеҙмәттәренән башлана, ул төҙөгән «дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сифат яғынан теорияһы» комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар теорияһы менән бергә хәҙерге топологияның нигеҙендә ята. Дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сифат яғынан теорияһы, йәки, хәҙер йышыраҡ аталғанса, динамик системалар теорияһы, хәҙерге көндә әүҙем үҫешә һәм тәбиғәт фәнендә мөһим ҡулланылыш таба.

Ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләрҮҙгәртергә

Ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләр (ҒДТ) — ул бер бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәнгә бәйле тигеҙләмәләр; улар ошондай күренештә

  йәки  

бында    бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәненә бәйле билдәһеҙ функция (вектор-функция булыуы мөмкин; был осраҡта йыш ҡына дифференциаль тигеҙләмәләр системаһы тураһында һүҙ бара), штрих   үҙгәреүсәне буйынса дифференциаллауҙы аңлата.   һаны дифференциаль тигеҙләмәнең тәртибе тип атала. Практикала беренсе һәм икенсе тәртиптәге дифференциаль тигеҙләмәләр иң мөһимдәр булып торалар.

Беренсе тәртиптәге ябай дифференциаль тигеҙләмәләрҮҙгәртергә

Беренсе тәртиптәге ябай дифференциаль тигеҙләмәләр — сығарыу һәм тикшереү иң еңел булған беренсе тәртиптәге дифференциаль тигеҙләмәләр класы. Уға тулы дифференциалдарҙа тигеҙләмәләрҙе, айырылыусы үҙгәреүсәнле тигеҙләмәләрҙе, беренсе тәртиптәге тиң тигеҙләмәләрҙе һәм беренсе тәртиптәге һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙе индерәләр. Бөтә был тигеҙләмәләрҙе һуңғы күренештә интегралларға мөмкин.

Башланғыс нөктә булып симметрик формала яҙылған беренсе тәртиптәге дифференциаль тигеҙләмә хеҙмәт итә:

 

бында   һәм   ниндәйҙер   өлкәһендә бирелгән һәм өҙлөкһөҙ функциялар.

МиҫалдарҮҙгәртергә

Айырым сығарылмаларҙа дифференциаль тигеҙләмәләрҮҙгәртергә

Айырым сығарылмаларҙа дифференциаль тигеҙләмәләр (АСДТ) — ул бер нисә үҙгәреүсәнле билдәһеҙ функциялар һәм уларҙың айырым сығарылмалары ингән тигеҙләмәләр. Бындай тигеҙләмәләрҙең дөйөм күренешен ошолай күрһәтергә мөмкин:

 

бында   — бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәндәр, ә   — был үҙгәреүсәндәрҙең функциялары. Айырым сығарылмаларҙа тигеҙләмәләрҙең тәртибе ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләр өсөн билдәләнгән кеүек билдәләнә. Айырым сығарылмаларҙа тигеҙләмәләрҙең тағы бер мөһим классификацияһы булып уларҙың эллипс, парабола һәм гипербола типтарындағы тигеҙләмәләргә бүленеүе тора.

Һыҙыҡлы һәм һыҙыҡлы булмаған дифференциаль тигеҙләмәләрҮҙгәртергә

Ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләр кеүек, айырым сығарылмаларҙа тигеҙләмәләрҙе лә һыҙыҡлы һәм һыҙыҡлы булмаған тигеҙләмәләргә бүлергә мөмкин. Дифференциаль тигеҙләмә, әгәр билдәһеҙ функция һәм уның сығарылмалары тигеҙләмәгә тик беренсе дәрәжәлә инһәләр (һәм бер-береһенә ҡабатланмайҙар), һыҙыҡлы була. Бындай тигеҙләмәләр өсөн сығарылыштары функциялар арауығының аффиннлы аҫарауығын төҙөй. Һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы һыҙыҡлы булмаған дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһына ҡарағанда нығыраҡ үҫешкән. n-сы тәртиптәге һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәнең дөйөм күренеше:

 

бында pi(x) — тигеҙләмәнең коэффициенттары тип аталған бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәндең билдәле функциялары. Уң яҡтағы r(x) функцияһы ирекле быуын (билдәһеҙ функцияға бәйле булмаған берҙән бер ҡушылыусы) тип атала. Һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙең мөһим айырым класы булып даими коэффициентлы һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләр тора.

Һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙең аҫкласы булып тиң дифференциаль тигеҙләмәләр — ирекле быуыны булмаған тигеҙләмәләр тора: r(x) = 0. Тиң дифференциаль тигеҙләмәләр өсөн суперпозиция принцибы үтәлә: бындай тигеҙләмәнең айырым сығарылыштарының һыҙыҡлы комбинацияһы шулай уҡ уның сығарылышы була. Бөтә ҡалған һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләр тиң булмаған дифференциаль тигеҙләмәләр тип аталалар.

Һыҙыҡлы булмаған дифференциаль тигеҙләмәләрҙең дөйөм осраҡта, ҡайһы бер айырым кластарҙан башҡа, сығарыу ысулы эшләнмәгән. Ҡайһы бер осраҡтарҙа (теге йәки был яҡынлауҙарҙы ҡулланып) улар һыҙыҡлы тигеҙләмәләргә ҡайтарып ҡалдырыла алалар. Мәҫәлән, гармоник осцилляторҙың һыҙыҡлы тигеҙләмәһе  , бәләкәй амплитудалар өсөн, y ≈ sin y булғанда, математик маятниктың һыҙыҡлы булмаған   тигеҙләмәһенең яҡынайыуы итеп ҡаралырға мөмкин .   — даими коэффициентлы икенсе тәртиптәге тиң дифференциаль тигеҙләмә.   функциялар ғаиләһе сығарылышы булып тора, бында   һәм   — ирекле константалар, улар конкрет сығарылыш өсөн бирелгән айырым башланғыс шарттарҙан билдәләнә. Был тигеҙләмә, айырым алғанда, гармоник осцилляторҙың 3 циклик йышлығы менән хәрәкәтен тасуирлай.

  • Ньютондың икенсе законын   дифференциаль тигеҙләмәһе формаһында яҙырға мөмкин, бында m — есемдең массаһы, x — уның координатаһы, F(x, t)x координаталы есемгә t ваҡыт моментында тәьҫир итеүсе көс. Был көс тәьҫирендә есемдең хәрәкәт итеү траекторияһы уның сығарылышы булып тора.
  • Бесселдың дифференциаль тигеҙләмәһе  үҙгәреүсән коэффициентлы икенсе тәртиптәге ғәҙәти һыҙыҡлы тигеҙләмә. Уның сығарылышы булып цилиндрик функциялар тип аталыусы — Бессель функциялары, Нейман, Ганкель функциялары торалар.
  • 1-се тәртиптәге тиң булмаған һыҙыҡлы булмаған ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмә миҫалы:  

Артабанғы миҫалдар төркөмөндә билдәһеҙ функция u ике x һәм t йәки x һәм y үҙгәреүсәндәренә бәйле.

  • Беренсе тәртиптәге айырым сығарылмаларҙа тиң һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмә:
 
  • Бер үлсәмле тулҡын тигеҙләмәһе — гипербола тибындағы икенсе тәртиптәге айырым сығарылмаларҙа даими коэффициентлы тиң һыҙыҡлы тигеҙләмә, әгәр  t моментында x координаталы нөктәлә ҡылдың тайпылышы булһа, ә a параметры ҡыл үҙсәнлектәрен бирһә, был тигеҙләмә ҡыл тирбәлешен тасуирлай:
 
  • Ике үлсәмле арауыҡта Лаплас тигеҙләмәһе — механиканың, йылылыҡ үткәресәнлектең, электростатиканың, гидравликаның бик күп физик мәсьәләләрендә килеп сығыусы, эллипс тибындағы икенсе тәртиптәге айырым сығарылмаларҙа даими коэффициентлы тиң һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмә:
 
 

Ирекһеҙ тирбәлеүҙәрҮҙгәртергә

Ирекһеҙ тирбәлеүҙәр — тышҡы преиодик көс тәьҫире аҫтында булдырылған мәжбүри тирбәлеү. Миҫал: ҡулды күтәреү һәм төшөрөү, ағастағы япраҡтар. Ирекһеҙ тирбәлеүҙәр — элекке хәленә ҡайтарыу, ҡаршы һәм инерция көстәре ғенә түгел, ә ваҡытта үҙгәргән ирекһеҙ итеү көсө һалынған система.

Ирекһеҙ тирбәлеүҙәр ваҡытында резонанс тыуыуы мөмкин: осцилляторҙын үҙ йышлығы һәм тышҡы йөкләнеш йышлығы тап килгән ваҡытта ирекһеҙ тирбәлеүҙәрҙен амплитудаһы киҫкен үҫә.

Ирекһеҙ тирбәлеүҙәр тиң булмаған даими коэффициентлы һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмә буйынса бара.

Баҫылмаусы ирекле тирбәлеүҙәрҮҙгәртергә

(рус. незатухающие свободные колебания)

  

Баҫылыусы ирекле тирбәлеүҙәрҮҙгәртергә

(рус. затухающие свободные колебания)

 

Баҫылмаусы ирекһеҙ тирбәлеүҙәрҮҙгәртергә

(рус. незатухающие вынужденные колебания)

 

Баҫылыусы ирекһеҙ тирбәлеүҙәрҮҙгәртергә

(рус. затухающие вынужденные колебания)

 

Ирекһеҙ тирбәлеүҙәрҙең иң ябай тигеҙләмәһе гармоник осцилляторҙын тирбәләүе:  .

Гармоник осцилляторҙын ирекһеҙ тирбәлеүҙәреҮҙгәртергә

Консерватив гармоник осциллятор. Осцилятор өсөн икенсе Ньютон законы:  . Тамғаларҙы алмаштырабыҙ:   Тиҙлекте координатаның икенсе сығарылмаһына алмаштырабыҙ, ябай дифференциаль тигеҙләмә тыуа:

 

Дифференциаль тигеҙләмәнең сығарылышы айырым һәм дөйөм сығарылыштан тора. Дөйөм сығарылышы:

 ,

бында   — башланғыс шарттарҙан табылған константалар.

Айырым сығарылышы:   Констаната өсөн:

 

Дифференциаль тигеҙләмәнең сығарылышы:

 

ТирбәлеүҙәрҮҙгәртергә

 
Тирбәлеү тулҡындан айырыла

Тирбәлеү — тигеҙләнеш нөктәһе тирәләй системаның торошоноң ҡабатланып тороусы үҙгәреү процессы. Мәҫәлән, маятник тирбәлгән ваҡытта вертикалға ҡарата уның бөтә ауышыу мөйөштәре ҡабатлана.

КлассификацияҮҙгәртергә

Файл:Ber3222222.jpg
m массалы бер азатлыҡ дәрәжәһе менән ирекле тирбәлеүҙәр системалары

Физик тәбиғәте буйынсаҮҙгәртергә

Тирә яҡ мөхит менән тәьҫир итешеү характеры буйынсаҮҙгәртергә

  • Ирекһеҙ тирбәлеүҙәр — системала периодик тышҡы тәьҫир аҫтында барыусы тирбәлеүҙәр. Миҫал: ҡул күтәреү һәм төшөрөү. Ирекһеҙ тирбәлеүҙәр ваҡытта резонанс тыуы мөмкин: ирекһеҙ тирбәлеүҙәрҙен амплитудаһы киҫкен үҫеү, осцилляторҙын үҙ йышлығы һәм тышҡы йөкләнеш йышлығы тап килгән ваҡытта.
  • Ирекле — система тигеҙләнеш хәленән сығарылғандан һуң, системала эске көстәр тәьҫире аҫтында барған тирбәлеүҙәр (ысынбарлыҡта ирекле тирбәлеүҙәр һәр саҡ баҫылыусы тирбәлеүҙәр).
  • Автотирбәлеүҙәр — системаның тирбәлеүҙәр башҡарыу өсөн сарыф итергә энергия запасы булғандағы тирбәлеүҙәре (бындай системаның миҫалы — механик сәғәт.

Бик мөһим дифференциаль тигеҙләмәләрҮҙгәртергә

Ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләрҮҙгәртергә

Айырым сығарылмаларҙа тигеҙләмәләрҮҙгәртергә

Шулай уҡ ҡарағыҙҮҙгәртергә

ИҫкәрмәләрҮҙгәртергә

  1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1971, стр. 16
  2. Игорь Юсупович Алибеков Численные методы, У/П — МГИУ, 2008-01-01. — Б. 180. — 221 б. — ISBN 9785276014623.
  3. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. — М.: Наука, 1988. — 686 с.

ӘҙәбиәтҮҙгәртергә

Энциклопедиялар һәм белешмәләрҮҙгәртергә

  • Дифференциальные уравнения // Дебитор — Евкалипт. — М. : Советская энциклопедия, 1972. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.]; vol. 1969—1978, вып. 8).
  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. М.: Физматлит, 2003.
  • Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
  • Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
  • Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
  • Полянин А. Д., Зайцев В. Ф.. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002 .

ДәреслектәрҮҙгәртергә

  • Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1966.
  • Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.
  • Полянин А. Д., Зайцев В. Ф., Журов А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — М.: Физматлит, 2005.
  • Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1974.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.
  • Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. — 4-е изд. — Физматлит, 2005.
  • Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений — Изд. 2-е. — 2007. — 240 б. — ISBN 5354004160.
  • Чарльз Генри Эдвардс , Дэвид Э. Пенни. Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7.
  • Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.

ҺылтанмаларҮҙгәртергә

Ҡалып:Разделы математики Ҡалып:Дифференциаль иҫәпләмә Ҡалып:Методы решения ДУ