Ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмә

Ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмә (ҒДТ) — ул бер үҙгәреүсәнле функция өсөн дифференциаль тигеҙләмә. (Ошоноң менән ул айырым сығарылмаларҙа тигеҙләмәләрҙән айырыла, бында билдәһеҙ — бер нисә үҙгәреүсәнле функция.) Шулай итеп, ҒДТ — ул ошондай күренештәге тигеҙләмә

$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0,\qquad (1)$

бында $y(x)$ — $x$ бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәненә бәйле булған билдәһеҙ функция (вектор-функция булыуы мөмкин, ул саҡта $F$, ҡағиҙә булараҡ, ҡиммәттәре шул уҡ үлсәмлек арауығынан булған шулай уҡ вектор-функция була; был осраҡта дифференциаль тигеҙләмәләр системаһы тураһында һөйләйҙәр), штрих $x$ буйынса дифференциаллауҙы аңлата. $n$ һаны (был тигеҙләмәгә ингән өлкән сығарылманың тәртибе) (1) дифференциаль тигеҙләмәнең тәртибе тип атала.

$x$ бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәне йыш ҡына (бигерәк тә физик һәм башҡа тәбиғи-фәнни мәсьәләләрҙә килеп сыҡҡан дифференциаль тигеҙләмәләрҙә) ваҡыт итеп интерпретациялана, шуға күрә уны йыш ҡына $t$ хәрефе менән тамғалайҙар. $y$ үҙгәреүсәне — ваҡыт үтеү менән үҙгәреүсе ниндәйҙер дәүмәл (йәки, әгәр $y$ вектор-функция булһа, дәүмәлдәр йыйылмаһы). Мәҫәлән, $y$ арауыҡта нөктәнең координаталар йыйылмаһын аңлатырға мөмкин; был осраҡта (1) тигеҙләмә нөктәнең арауыҡта хәрәкәтен, йәғни ваҡыт үтеү менән уның координаталарының үҙгәреүен тасуирлай. $x$ бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәне ғәҙәттә ысын ҡиммәттәр ҡабул итә, ләкин $x$ үҙгәреүсәне комплекслы ҡиммәттәр ҡабул иткән дифференциаль тигеҙләмәләрҙе лә ҡарайҙар (комплекслы ваҡытлы тип аталған тигеҙләмәләр).

Йышыраҡ ошондай күренештәге дифференциаль тигеҙләмәләр осрай

$y^{(n)}=f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)}),\qquad (2)$

унда өлкән сығарылма $y^{(n)}$ $x,$ $y$ үҙгәреүсәндәренән һәм тәртибе $n$-дан бәләкәй булған $y^{(i)}$ сығарылмаларынан функция итеп күрһәтелә. Бындай дифференциаль тигеҙләмәләр нормаль йәки сығарылмаға ҡарата сиселеүсе тигеҙләмәләр тип аталалар.

(2) күренештәге тигеҙләмәләргә ҡапма-ҡаршы рәүештә, (1) күренештәге дифференциаль тигеҙләмәләр, сығарылмаға ҡарата сиселмәүсе йәки асыҡланмаған дифференциаль тигеҙләмәләр тип аталалар.

(2) дифференциаль тигеҙләмәнең классик сығарылышы тип тигеҙләмәне үҙенең билдәләнеү өлкәһенең бөтә нөктәләрендә лә ҡәнәғәтләндереүсе $y(x)$ $n$ тапҡыр дифференциалланыусы функция атала. Ғәҙәттә бындай функцияларҙың бөтә күмәклеге була, һәм уларҙың берәүһен һайлап алыр өсөн уға өҫтәлмә шарт ҡуйырға кәрәк. (2) тигеҙләмә өсөн башланғыс шарт тип түбәндәге шарт атала

$y(x_{0})=y_{0},\ y'(x_{0})=y_{0}^{(1)},y''(x_{0})=y_{0}^{(2)},\,\ldots ,\,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{0}^{(n-1)},\qquad (3)$

бында $x_{0}$ — бәйләнешһеҙ үҙгәреүсәндең ниндәйҙер билдәләнгән ҡиммәте (билдәләнгән ваҡыт моменты), ә $y_{0}$ һәм $y_{0}^{(i)}$ — ярашлы рәүештә, $y$ функцияһының һәм уның $n-1$-ҙе лә индереп, $n-1$-гә тиклем тәртиптәге бөтә сығарылмаларының бирелгән ҡиммәттәре. (3) башланғыс шарттары менән (2) дифференциаль тигеҙләмә башланғыс мәсьәлә йәки Коши мәсьәләһе тип атала:

$\left\{{\begin{array}{lcl}y^{(n)}=f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)}),\\{}\\y(x_{0})=y_{0},\ y'(x_{0})=y_{0}^{(1)},y''(x_{0})=y_{0}^{(2)},\,\ldots ,\,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{0}^{(n-1)}.\end{array}}\right.$

Пикар теоремаһы, (2) тигеҙләмәнең уң яғында тоған $f$ функцияһына етерлек дөйөм сикләүҙәр ҡуйғанда, был тигеҙләмә өсөн Коши мәсьәләһенең, $x$ ваҡыт күсәренең $x_{0}$ башланғыс ҡиммәте ингән ниндәйҙер интервалында бирелгән, (был интервал, ғөмүмән алғанда, үҙенең күсәре менән тап килмәҫкә мөмкин) бер генә сығарылышы бар тип раҫлай.

Дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһының төп мәсьәләләре һәм һөҙөмтәләре: ҒДТ өсөн төрлө мәсьәләләрҙең сығарылышының булыуы һәм берҙән-берлеге, иң ябай ҒДТ сығарыу ысулдары, ҒДТ сығарылыштарын уларҙың асыҡ күренешен тапмайынса сифатлы итеп тикшереү.

Тарихы

Дифференциаль тигеҙләмәләр И. Ньютон һәм Г. Лейбництың хеҙмәттәрендә үк осрайҙар; «дифференциаль тигеҙләмә» терминын Лейбниц индерә. Ньютон «флюксиялар» һәм «флюента» иҫәпләмәһен төҙөгәндә ике мәсьәлә ҡуя: флюенталар араһында бирелгән нисбәт буйынса флюксиялар араһындағы бәйләнеште асыҡларға; флюксиялар ингән бирелгән тигеҙләмә буйынса, флюенталар араһындағы бәйләнеште табыу. Хәҙерге күҙлектән ҡарағанда, был мәсьәләләрҙең беренсеһе (функцилар буйынса уларҙың сығарылмаларын иҫәпләү) дифференциаль иҫәпләмәгә ҡарай, ә икенсеһе ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһының йөкмәткеһен тәшкил итә. f(x) функцияһының F(x) аныҡ булмаған интегралын табыу мәсьәләһен Ньютон уның икенсе мәсьәләһенең айырым осрағы ғына итеп ҡарай. Математик тәбиғәт фәне нигеҙҙәрен булдырыусы булараҡ, Ньютон өсөн ундай ҡараш тулыһынса аңлашыла: теге йәки был процесстар менән идара итеүсе тәбиғәт закондары күпселек осрағында дифференциаль тигеҙләмәләр формаһында күрһәтеләләр, ә был процесстарҙың барышын иҫәпләү дифференциаль тигеҙләмәне сығарыуға ҡайтып ҡала.

Ньютондың, үҙе йәшерен итергә кәрәк тип иҫәпләгән һәм тик анаграмма күренешендә генә баҫтырып сығарған, төп асышы шунан ғибәрәт: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa». Хәҙерге математика теленә тәржемә иткәндә был ошоно аңлата: «Дифференциаль тигеҙләмәләрҙе сығарыу файҙалы». Хәҙерге ваҡытта дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы бөтә мөмкин булған ҡулланыуҙар өсөн юғары дәрәжәлә файҙалы һәм математиканың бөтә бүлектәрендә теоретик тикшеренеүҙәр башҡарыуға стимул булып торған ҙур һандағы төрлө идеялар һәм ысулдарҙың ҡарап сыҡҡыһыҙ конгломератынан ғибәрәт.

Миҫалдар

• Дифференциаль тигеҙләмәләрҙең иң ябай ҡулланылыуҙарының береһе — есемдең тиҙләнешенең билдәле проекциялары буйынса траекторияһын табыу мәсьәләһен сисеү. Мәҫәлән, Ньютондың икенсе законына ярашлы, есемдең тиҙләнеше тәьҫир итеүсе көстәрҙең суммаһына пропорциональ; ярашлы дифференциаль тигеҙләмәһе $m{\ddot {x}}=F(x,t)$ күренешендә. Тәьҫир итеүсе көстәрҙе бергән хәлдә (уң яғы), был тигеҙләмәне сығарырға, һәм, башланғыс шарттарҙы иҫәпкә алып, (башланғыс ваҡыт моментындағы координаталар һәм тиҙлек), нөктәнең хәрәкәт итеү траекторияһын табырға була.
• $y(0)=1$ башланғыс шарттар менән бергә $y'=y$ дифференциаль тигеҙләмәһе экспонентаны бирә: $y(x)=e^{x}$. Әгәр $x$ ваҡытты аңлатһа, ул саҡта был функция, мәҫәлән, ресурстарҙың сикләнмәгәнлек шарттарында популяцияның артыуын, шулай уҡ башҡа күп нәмәне һүрәтләй.
• Уң яғы билдәһеҙ функцияға бәйле булмаған $y'=f(x)$ дифференциаль тигеҙләмәһенең сығарылышы булып түбәндәге аныҡ булмаған интеграл хеҙмәт итә

$y(x)=\int \!f(x)\,dx+C,$

бында $C$ — ирекле константа.

Беренсе тәртиптәге дифференциаль тигеҙләмәләр

Бүленеүсе үҙгәреүсәнле тигеҙләмәләр

${\dot {y}}=f(x,y)$ дифференциаль тигеҙләмәһе, әгәр уның уң яғын $y'=f_{1}(x)f_{2}(y)$ күренешендә күрһәтеп булһа, бүленеүсе (айырылыусы) үҙгәреүсәнле тигеҙләмә тип атала. Ул саҡта, $f_{2}(y)\neq 0$ осрағында, $\int \!{\frac {dy}{f_{2}(y)}}=\int \!f_{1}(x)\,dx$ тигеҙләмәнең дөйөм сығарылышы була.

Бүленеүсе үҙгәреүсәнле тигеҙләмәләргә килтереүсе физик мәсьәләләр миҫалы

Есемде һыуытыу

$T$ — есемдең температураһы, $T_{0}$ — әйләнә-тирәләге мөхиттең температураһы ($T>T_{0}$) булһын. $Q$ — йылылыҡ миҡдары, $c$ — сағыштырма йылы һыйҙырышлылыҡ булһын. Ул саҡта, температуралар тигеҙләшкәнгә тиклем уратып алған мөхиткә тапшырылған йылылыҡ миҡдары, $Q=mc(T-T_{0})$ формулаһы менән күрһәтелә, йәки, дифференциаль формала, $dQ=mc\,dT$. Икенсе яҡтан, йылылыҡ бүлеп сығарыу тиҙлеген $dQ=-k(T-T_{0})\,dt$ күренешендә күрһәтергә мөмкин, бында $k$ — ниндәйҙер пропорционаллек коэффициенты. Был ике тигеҙләмәнән $dQ$-ны бөтөрөп, бүленеүсе үҙгәреүсәнле тигеҙләмә табабыҙ:

$mc\,dT=-k(T-T_{0})\,dt$.

Был тигеҙләмәнең дөйөм сығарылышы булып $T=T_{0}+Ce^{-{\frac {kt}{mc}}}$ функциялар ғаиләһе тора.

Тиң тигеҙләмәләр

${\dot {y}}=f(x,y)$ дифференциаль тигеҙләмәһе, әгәр $f(x,y)$ — нуленсе дәрәжәләге тиң тигеҙләмә булһа, тиң тип атала. $f(x,y)$ функцияһы, әгәр теләһә ниндәй $\lambda >0$ өсөн $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{k}f(x,y)$ тигеҙлеге үтәлһә, $k$ дәрәжәһендәге тиң функция тип атала.

$y(x)=xz(x)$ алмаштырып ҡуйыуы $x>0$ булғанда тиң тигеҙләмәне бүленеүсе үҙгәреүсәнле тигеҙләмәгә килтерә:

$f(x,xz)=x^{0}f(1,z)=f(1,z)$

${\dot {y}}=x{\dot {z}}+z$

Баштағы тигеҙләмәгә ҡуйып, табабыҙ:

${\dot {z}}={\frac {1}{x}}(f(1,z)-z)$,

ул бүленеүсе үҙгәреүсәнле тигеҙләмә була.

Квази тиң тигеҙләмәләр

${\dot {y}}=f(x,y)$ дифференциаль тигеҙләмәһе, әгәр теләһә ниндәй $\lambda >0$ өсөн $f\left(\lambda ^{\alpha }x,\lambda ^{\beta }y\right)=\lambda ^{\beta -\alpha }f(x,y)$ нисбәте үтәлһә, квази тиң тигеҙләмә тип атала.

Был тигеҙләмә $y=z^{\frac {\beta }{\alpha }}$ алмаштырып ҡуйыуы менән сығарыла:

${\dot {z}}={\frac {\alpha }{\beta }}\left(z^{-{\frac {1}{\alpha }}}\right)^{\beta -\alpha }f\left(x,z^{\frac {\beta }{\alpha }}\right)$

Квази тиң булғанлыҡтан, $\lambda =z^{-{\frac {1}{\alpha }}}$ тип уйлап, табабыҙ:

$\left(z^{-{\frac {1}{\alpha }}}\right)^{\beta -\alpha }f\left(x,z^{\frac {\beta }{\alpha }}\right)=f\left({\frac {x}{z}},1\right)$

${\dot {z}}={\frac {\alpha }{\beta }}f\left({\frac {x}{z}},1\right)$,

был, күренеүенсә, тиң тигеҙләмә булып тора.

Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр

$y'+a(x)y=b(x)$ дифференциаль тигеҙләмә һыҙыҡлы тип атала һәм өс ысул менән сығарылырға мөмкин: интеграллаусы ҡабатлашаусы ысулы, даимиҙы вариациялау йәки Бернулли ысулы.

Интеграллаусы ҡабатлашаусы ысулы

$\mu (x)$ функцияһы бирелһен ти — интеграллаусы ҡабатлашаусы түбәндәге күренештә:

$\mu (x)=e^{\int \!a(x)\,dx}$

Бирелгән тигеҙләмәнең ике яғын да $\mu (x)$-ға ҡабатлап, табабыҙ:

${\dot {y}}e^{\int \!a(x)\,dx}+ya(x)e^{\int \!a(x)\,dx}=b(x)\mu (x)$

Һул яғы $\mu (x)y(x)$ функцияһының $x$ буйынса сығарылмаһы булыуын еңел күреп була. Шуға күрә тигеҙләмәне күсереп яҙырға була:

$(\mu (x)y(x))'=b(x)\mu (x)$

Интеграллайбыҙ:

$y(x)\mu (x)=\int \!b(x)\mu (x)\,dx+C$

Шулай итеп, һыҙыҡлы тигеҙләмәнең сығарылышы ошолай була:

$y(x)=e^{-\int \!a(x)\,dx}\left(\int \!b(x)\mu (x)\,dx+C\right)$

Даимиҙы вариациялау ысулы (Лагранж ысулы)

${\dot {y}}+a(x)y=0$ тиң тигеҙләмәһен ҡарайбыҙ. Күренеүенсә, был тигеҙләмә бүленеүсән үҙгәреүсәнле, уның сығарылышы:

$y(x)=ce^{-\int \!a(x)\,dx}$

Баштағы тигеҙләмәнең сығарылыштарын түбәндәге күренештә эҙләйәсәкбеҙ:

$y(x)=c(x)e^{-\int \!a(x)\,dx}$

Табылған сығарылышты баштағы тигеҙләмәгә ҡуйып:

${\dot {c}}=b(x)e^{\int \!a(x)\,dx}$,

табабыҙ:

$c(x)=c_{1}+\int \!b(x)e^{\int \!a(x)\,dx}\,dx$,

бында $c_{1}$ — ирекле константа.

Шулай итеп, баштағы тигеҙләмәнең сығарылышын тиң тигеҙләмәнең сығарылышынан $c(x)$ алмаштырып ҡуйыуы менән табырға була:

$y(x)=e^{-\int \!a(x)\,dx}\left(c_{1}+\int \!b(x)e^{\int \!a(x)\,dx}\,dx\right)$

Бернулли тигеҙләмәһе

Дифференциаль ${\dot {y}}+a(x)y=b(x)y^{n}$ тигеҙләмә Бернулли тигеҙләмәһе тип атала ($n=0$ йәки $n=1$ булғанда тиң булмаған йәки тиң һыҙыҡлы тигеҙләмә алабыҙ). $n=2$ булғанда Риккати тигеҙләмәһенең айырым осрағы була. Был тигеҙләмә, уны 1695 йылда баҫтырып сығарған Якоб Бернулли хөрмәтенә, уның исеме менән аталған. Был тигеҙләмәне алмаштырып ҡуйыу ысулы менән һыҙыҡлы тигеҙләмәгә килтереп сығарыу юлын уның ағайы Иоганн Бернулли 1697 йылда тапҡан.

Биномиаль дифференциаль тигеҙләмә

Ул ошондай күренештәге тигеҙләмә

$\left(y'\right)^{m}=f(x,y),$ бында $m$ — натураль һан, ә $f(x,y)$ — ике үҙгәреүсәнле күпбыуын.

Әҙәбиәт

Дәреслектәр

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Любое издание.
• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое

издание.

• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
• Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Любое издание.
• Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения, — Любое издание.
• Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Филипс Г. Дифференциальные уравнения, — Любое издание.
• Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Любое издание.
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, — Любое издание.

Мәсьәләләр йыйынтығы

• Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.

Белешмәләр

• Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
• Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, — Любое издание.