Һыҙыҡлы алгебра

Һыҙыҡлы алгебра – алгебраның һыҙыҡлы тәбиғәтле объекттарҙы: векторлы (йәки һыҙыҡлы), арауыҡтарҙы, һыҙыҡлы сағылыштарҙы һәм һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын өйрәнеүсе өлөшө. Һыҙыҡлы алгебрала ҡулланылған төп инструменттар араһында — билдәләүселәр, матрицалар, эйәртеү. Инварианттар теорияһы^[en] һәм тензорлы иҫәпләмә ғәҙәттә (тулыһынса йәки өлөшләтә) шулай уҡ һыҙыҡлы алгебраның составында булған бүлектәр тип иҫәпләнәләр. Квадратик һәм биһыҙыҡлы формалар^[⇨], тензорҙар^[⇨] кеүек объекттар һәм тензорлы ҡабатландыҡ кеүек ғәмәлдәр туранан-тура һыҙыҡлы арауыҡтарҙы өйрәнеүҙән килеп сығалар, ләкин полиһыҙыҡлы алгебраға ҡарайҙар.

Һыҙыҡлы алгебра
Өйрәнеү объекты	векторлы арауыҡ, линейное отображение[d] һәм матрица[d]
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Һыҙыҡлы алгебра Викимилектә

Өс үлсәмле Евклид арауығы R³ – вектор арауығы, уның аша үткән һыҙыҡтар һәм яҫылыҡтар – кәмерәк үлсәмле арауыҡтар

Һыҙыҡлы алгебра дөйөм алгебра ысулдары менән дөйөмләштерелгән, атап әйткәндә, һыҙыҡлы (векторлы) арауыҡтың^[⇨] хәҙерге билдәләмәһе фәҡәт абстракт структураларға нигеҙләнә, ә һыҙыҡлы алгебраның күп һөҙөмтәләре ирекле ҡулса өҫтөндә модулдәргә дөйөмләштерелгән. Улай ғына түгел, һыҙыҡлы алгебра алымдары дөйөм алгебраның башҡа бүлектәрендә лә киң ҡулланылалар, атап әйткәндә, йыш ҡына ошондай алым ҡулланыла, абстракт структуралар һыҙыҡлы структураларға ҡайтарып ҡалдырыла һәм улар һыҙыҡлы алгебраның сағыштырмаса ябай һәм яҡшы ентекләп өйрәнелгән саралары менән өйрәнелә. Шулай, мәҫәлән, төркөмдәрҙең күрһәтмәләр теорияһында тормошҡа ашырыла^[⇨]. Функциональ анализ математик анализ һәм һыҙыҡлы алгебра ысулдарын сикһеҙ һыҙыҡлы арауыҡтарға ҡулланыу булараҡ барлыҡҡа килгән, һәм үҙенең артабанғы дөйөмләштерелеүҙәрендә лә башлыса һыҙыҡлы алгебра ысулдарына нигеҙләнә. Һыҙыҡлы алгебра шулай уҡ күп һандағы ҡушымталарҙа (шул иҫәптән, һыҙыҡлы программалауҙа^[⇨], эконометрикала^[⇨]) һәм тәбиғәт фәндәрендә (мәҫәлән, квант механикаһында^[⇨]) киң ҡулланыу таба.

Тарихы

Һыҙыҡлы алгебраның тәүге элементтары һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙе сығарыу өсөн практик иҫәпләү мәсьәләләренән килеп сыға, атап әйткәндә, өслө ҡағиҙә^[en] һәм ялған фекер ҡағиҙәһе^[en] кеүек арифметик ысулдар боронғо заманда уҡ әйтеп бирелгән. Евклид "Башланғыстары"нда «һыҙыҡлы» характерҙағы ике теория: дәүмәл теорияһы һәм бөтөн һандар теорияһы бар. Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыуға хәҙерге заман матрицалы ысулына яҡын ҡараш вавилонсыларҙа (ике үҙгәреүсәнле ике тигеҙләмәләр системаһын сығарыуҙа) һәм боронғо ҡытайлыларҙа ("Туғыҙ китапта математика"ла, өс үҙгәреүсәнле өс тигеҙләмәләр системаһына тиклем сығарыуҙа) күренә. Әммә һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһы сығарылыштарын табыуҙың төп мәсьәләләре буйынса билдәлелеккә өлгәшкәс, бүлек артабан үҫеш алмай, һәм хатта XVIII быуат аҙағы — XIX быуат башында, беренсе дәрәжә тигеҙләмәләргә ҡағылышлы проблемалар башҡа юҡ тип иҫәпләнә, шуның менән бергә, үҙгәреүсәндәр һаны тигеҙләмәләр һанынан айырмалы булған йәки һул яғында һыҙыҡлы-бәйләнешле коэффициенттар булған һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһы. дөрөҫөн әйткәндә, мәғәнәһеҙ тип иҫәпләнә.

Һыҙыҡлы алгебраны математиканың үҙаллы тармағы иткән ысулдар тамырҙары менән икенсе бүлектәргә ҡарай. 1630-сы йылдарҙа Ферма, яҫы кәкре һыҙыҡтарҙы классификациялап, математикаға (һыҙыҡлы алгебра өсөн мөһим) үлсәмлек принцыбын индерә һәм аналитик геометрия мәсьәләләрен билдәһеҙҙәр һаны буйынса бүлә (бер үҙгәреүсәнле — нөктәне табыу, ике үҙгәреүсәнле — кәкрене йәки яҫылыҡта геометрик урынды табыу, өс үҙгәреүсәнле — йөҙҙө табыу). Эйлер координаталарҙы үҙгәртеү һыҙыҡлы характерҙа булыуына иғтибар итеп, кәкреләрҙе тәртибе буйынса классификациялау булдыра һәм аффинналы үҙгәртеү төшөнсәһен (һәм «аффинналыҡ» һүҙен үҙен) индерә.

Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу маҡсатында билдәләүсе төшөнсәһен беренсе индереүсе тип Лейбницты (1678 йәки 1693 йыл) иҫәпләйҙәр, ләкин был хеҙмәттәр баҫылып сыҡмай. Шулай уҡ билдәләүсе төшөнсәһе Сэки Такакадзаның 1683 йылдағы хеҙмәттәрендә күренә, уларҙа Сэки Такакадза Боронғо Ҡытайҙың «Туғыҙ китапта математика»һындағы $n$ үҙгәреүсәнле $n$-ға тиклемге тигеҙләмәнән торған һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу ысулдарын дөйөмләштерә. Маклорен, ысынбарлыҡта 1748 йылда сыҡҡан трактатында иң ябай билдәләүселәр ҡулланып ике үҙгәреүсәнле ике тигеҙләмәләр системаһын һәм өс үҙгәреүсәнле өс тигеҙләмәләр системаһын сығарыуҙы күрһәтә. Крамер һәм Безу бирелгән нөктә аша үткән яҫы кәкре һыҙыҡты эҙләү проблемаһы буйынса хеҙмәттәрендә был төшөнсәне (1750 йылда әйтеп бирелгән Крамер ҡағиҙәһен) яңынан төҙөйҙәр, Вандермонд һәм Лагранж $n>3$ осрағы өсөн индуктив билдәләмә бирәләр, ә билдәләүсенең тулы билдәләмәһен һәм тулыһынса үҙсәнлектәрен Коши (1815) һәм Якоби (1840-се йылдар) бирәләр. Гаусс иҫәбенә был мәсьәләләрҙе сығарыу өсөн, уның исеме аҫтында билдәле булған, үҙгәреүсәндәрҙе эҙмә-эҙ төшөрөп ҡалдырыу ысулын әйтеп биреү инә (ысынбарлыҡта борондан һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу өсөн тап ошо ысул ҡулланылған да инде).

Д’Аламбер, Лагранж һәм Эйлер, дифференциаль тигеҙләмәләр теорияһы өҫтөндә эшләп, теге йәки был күренештә тиң һыҙыҡлы тигеҙләмәләр класын айыралар һәм $n$-сы тәртиптәге бындай тигеҙләмәнең дөйөм сығарылышы $n$ айырым сығарылыштың һыҙыҡлы комбинацияһы була тигән фактты асыҡлағандар (әммә, шул уҡ ваҡытта сығарылыштарҙың һыҙыҡлы бәйләнештә булыу кәрәклеген билдәләп китмәгәндәр). $f(x,y)$ бөтөн ҡиммәтле функцияның ҡиммәттәре күмәклеге $x$ һәм $y$ өҫтөндә һыҙыҡлы алмаштырыу башҡарғанда (бөтөн коэффициентлы һәм билдәләүсеһе 1-гә тигеҙ булған) үҙгәрмәй икәнен күҙәтеүҙәргә нигеҙләнеп, Лагранж 1769 йылда бөтөн һандарҙы квадратик формалар менән күрһәтеү теорияһын эшләй, ә 1770 йылда теорияны алгебраик формаларға тиклем дөйөмләштерә. Гаусс, формаларҙың эквивалентлыҡ мәсьәләләрен ҡарап, Лагранж теорияһын артабан үҫтерә һәм һыҙыҡлы алмаштырыуҙарға ҡағылышлы төшөнсәләр серияһын индерә, уларҙың иң мөһимдәренең береһе булып эйәртеүле (транспонирланған) алмаштырыу төшөнсәһе тора. Ошо ваҡыттан алып квадратик һәм улар менән бәйле биһыҙыҡлы формаларҙы арифметик һәм алгебраик тикшеренеүҙәр һыҙыҡлы алгебра предметының төп өлөшөн тәшкил итә .

Һыҙыҡлы алгебра өсөн тағы ла бер ҡараш сығанағы булып проектив геометрия тора, уны төҙөү Дезарг тарафынан XVII быуатта башлана һәм Монждың XVIII быуат аҙағындағы хеҙмәттәрендә һәм артабан Понселе, Брианшон һәм Шалдың XIX быуат башы-урталарындағы хеҙмәттәрендә һиҙелерлек үҫеш ала. Ул ваҡыттарҙа проектив геометрияның төп өйрәнеү предметы булып, асылда квадратик формалар булып торған кониктар һәм квадриктар тора. Бынан тыш, Монж индергән проектив аруыҡтарҙың ҡаршылыҡлы булыу төшөнсәһе һыҙыҡлы арауыҡтарҙа ҡаршылыҡлы булыу ҡараштарының береһе булып тора (әммә был бәйләнеш тик XIX быуат аҙаҡтарында ғына Пинкерле тарафынан һиҙеп ҡалына).

Әммә һыҙыҡлы алгебраның базаһы булып ысынбарлыҡта бүлек булып инеп киткән, Гаусс тарафынан комплекслы һандарҙы геометрик интерпретациялау буйынса хеҙмәттәрендә тасуирланған (1831) һәм 1840-сы — 1850-се йылдарҙа Мёбиустың, Грассмандың һәм Гамильтондың хеҙмәттәрендә тулы формаһын алған векторлы иҫәпләмә тора. Шулай, Гамильтон 1843 йылда комплекслы һандарҙы кватерниондарға тиклем дөйөмләштерә һәм уларға Гаусс кеүек геометрик интерпретация бирә (Гамильтон, шул иҫәптән, «вектор» терминын индерә), ә 1844 йылда Грассман һыҙыҡлы арауыҡтың аҫарауығын тасуирлаусы тышҡы алгебра төшөнсәһе төҙөй. XIX быуат аҙағында векторлы иҫәпләмәнең дөйөм танылыу алыуы векторҙарҙың шул замандың алдынғы физик-теоретиктары, беренсе нәүбәттә, Максвелл, Гиббс, Хевисайд тарафынан ҡулланылыуы менән бәйле, атап әйткәндә, физиктар тарафынан өс үлсәмле Евклид арауығында векторлы алгебра ентекләп эшләнә: векторҙарҙың скаляр, векторлы һәм аралаш ҡабатландығы төшөнсәләре индерелә, набла-оператор, традицияға ингән символика формалаша, шулай уҡ ошо мәлдән башлап векторҙар мәктәп программаларына үтеп инә.

Матрица төшөнсәһен — «тәүге сәбәп» Сильвестр 1850 йылда индерә. Кэли 1858 йылда "Матрицалар теорияһы тураһында мемуар"ын (ингл. Memoir on the theory of matrices) баҫтырып сығарып, матрицалар иҫәпләмәһен ентекләп эшләй, Кэлиҙың матрицаларҙы һыҙыҡлы алмаштырмалар өсөн нотация итеп ҡарауы принципиаль . Атап әйткәндә, Кэли был хеҙмәтендә матрицаларҙы ҡушыу һәм ҡабатлау, матрицаларҙы әйләндереү төшөнсәләрен индерә, мМатрицаларҙың характерлы күпбыуындарын ҡарай һәм 2×2 һәм 3×3 осраҡтары өсөн квадрат матрицаның характерлы күпбыуыны нулгә әйләнеү тураһында раҫлауҙы (Гамильтон — Кэли теоремаһы булараҡ билдәле булған, сөнки 4×4 осрағын Гамильтон кватерниондарҙы ҡулланып иҫбатлай) әйтеп бирә һәм иҫбатлай, дөйөм осраҡ өсөн Фробениус иҫбатлай (1898). Һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системалары матрица-векторлы күренештә беренсе башлап Лагерр хеҙмәттәрендә күренә (1867).

Инварианттар теорияһы^[en] классик вариантта — алгебраик формаларҙың һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәрҙә һаҡланған үҙсәнлектәре тураһында фән, 1840-сы йылдарҙан башлап Кэли, Эрмит һәм Сильвестр («инвариантлы өсәү» булараҡ билдәле булған франц. la trinité invariantive) хеҙмәттәрендә формалашҡан, тап инварианттар теорияһы һыҙыҡлы тигеҙләмәләрҙең ирекле системаларын сығарыу ҡағиҙәләрен булдырыуға килтергән тип иҫәпләнә. Атап әйткәндә, Эрмит^{[асыҡларға]} айырым осраҡта һыҙыҡлы Диофант тигеҙләмәләре системаһын сығарыу проблемаһын әйтеп биргән һәм сығарған, дөйөм осраҡ өсөн сығарыу юлы Смит (ингл. Henry John Stephen Smith) тарафынан табыла, һөҙөмтәһе, 1878 йылда Фробениус тарафынан асылғанға тиклем, иғтибарһыҙ ҡала. Ирекле һанлы коэффициентлы һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системалары тураһында һөҙөмтәләр һуңғы күренешен Кронекер ойошторған хеҙмәттәрҙә ала, унда Вейерштрасс, Фробениус һәм немец ғалимдары төркөмө ҡатнаша, төп иғтибар әйтелештәрҙең (формулировкаларҙың) ҡәтғилегенә һәм аныҡлығына бүленә. Атап әйткәндә, Кронекер — Вейршртасс лекциялар курсында билдәләүсе $n$-үлсәмле аруыҡтың $n$ векторынан полиһыҙыҡлы тамға үҙгәреүсәнле функция булараҡ индерелә, ул берәмек матрица өсөн 1 ҡиммәте ҡабул итерлек итеп нормалаштырыла; шуның менән бергә был билдәләмә Грассман иҫәпләмәһенән килеп сыҡҡанға эквивалентлы. Фробениус 1877 йылда матрица рангы төшөнсәһе индерә, яҡын йылдарҙа уға нигеҙләнеп бер юлы бер нисә ғалим һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаларының сиселеүсәнлеге уның төп һәм киңәйтелгән матрицаларының рангтары тап килеү менән эквивалентлы (тиң көслө) булыуы тураһында раҫлауҙы иҫбатлайҙар. Был раҫлау урыҫ һәм поляк сығанаҡтарында Кронекер — Капелли теоремаһы, француз сығанаҡтарында — Руше (франц. Eugène Rouché) — Фонтене (франц. Georges Fontené) теоремаһы, немец һәм испан сығанаҡтарында — Руше — Фробениус теоремаһы, итальян һәм инглиз сығанаҡтарында — Руше — Капелли теоремаһы булараҡ билдәле.

1888 йылда Пеано Грассман иҫәпләмәһе базаһында беренсе тапҡыр асыҡтан-асыҡ һыҙыҡлы арауыҡ (ысын һандар яланы өҫтөндә векторлы арауыҡтарҙың, шул иҫәптән сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙың) аксиомаларын әйтеп бирә һәм XX—XXI быуаттарҙа ҡулланыуҙа һаҡланған тамғалауҙарҙы ҡуллана. Тёплиц 1910-сы йылдар башында, һыҙыҡлы арауыҡтарҙы аксиомалаштырыу ярҙамында, һыҙыҡлы алгебраның төп теоремаларын иҫбатлау өсөн билдәләүсе төшөнсәһенә таяныу кәрәкмәй икәнен күреп ҡала, был уларҙың һөҙөмтәләрен сикһеҙ һандағы үлсәм осрағына таратырға мөмкинлек бирә, икенсе төрлө әйткәндә, һыҙыҡлы алгебра теләһә ниндәй төп ялан өсөн ҡулланыла ала. Векторлы һәм Евклид арауыҡтарының аксиоматик билдәләмәһе, квант механикаһы талабынан сығып, беренсе булып XX быуат башында бер үк ваҡытта тиерлек Вейль һәм фон Нейман тарафынан аныҡ итеп әйтеп бирелә.

Риччи һәм Леви-Чивита тарафынан 1890-се йылдарҙа эшләнгән тензорлы иҫәпләмә, үҙенең алгебраик өлөшө менән, полиһыҙыҡлы алгебраның төп йөкмәткеһен тәшкил итә. Был аҫбүлеккә төп иғтибар, 1910-сы — 1930-сы йылдарҙа тензорҙарҙы Эйнштейн һәм Гильберт дөйөм сағыштырмалыҡ теорияһының математик һүрәтләүендә киң ҡулланыуҙары арҡаһында, йәлеп ителә.

1922 йылда Банах, уның хеҙмәттәренән һуң Банах арауығы булараҡ билдәле булған, тулы нормалаштырылған һыҙыҡлы арауыҡтарҙы өйрәнеп, сикле осраҡта уҡ үҙенең эйәртеүенә изоморфлы булмаған һыҙыҡлы арауыҡтар барлыҡҡа килә икәнен күрә, һәм ошоноң менән бәйле XX быуаттың беренсе яртыһында һыҙыҡлы алгебраның ысулдары һәм һөҙөмтәләре, уның төп предметын — топологик һыҙыҡлы арауыҡтарҙы өйрәнеүҙе заманса әйтеп биреп, функциональ анализды байыта. Шулай уҡ 1920-се — 1950-се йылдарҙа дөйөм алгебраны һыҙыҡландырыу буйынса йүнәлеш таралыу ала, шулай, Дедекиндтың яландың теләһә ниндәй автоморфизмдарының һыҙыҡлы бәйләнешһеҙлеге тураһында нәтижәһен үҫтереп, Артин Галуа теорияһын һыҙыҡландыра, ә 1950-се йылдарҙа, иң беренсе Джекобсон хеҙмәттәрендә, был нәтижәләр есемдәрҙең ирекле киңәйтеүенә дөйөмләштерелә; шул арҡала яҡшы өйрәнелгән һыҙыҡлы алгебраның инструменттарын һәм ҡаҙаныштарын дөйөм алгебраның үтә абстракт бүлектәрендә ҡулланырға мөмкин була.

LU-тарҡалыу алгоритмы схемаһы

XX быуаттың икенсе яртыһынан, компьютерҙар барлыҡҡа килеү, иҫәпләү математикаһы һәм компьютер алгебраһы ысулдарының үҫешеүе менән, һыҙыҡлы алгебра сиктәрендә иҫәпләү йүнәлеше — һыҙыҡлы алгебра мәсьәләләрен, иҫәпләү техникаһын ҡулланып, эффектив сығарыуҙы тәьмин итеүсе ысулдарҙы һәм алгоритмдарҙы эҙләү йылдам үҫеш ала, үҙаллы бүлек һыҙыҡлы иҫәпләү алгебраһы (ингл. numerical linear algebra) барлыҡҡа килә, ә һыҙыҡлы алгебра мәсьәләләрен сисеү компьютерҙарҙы ҡулланыуҙың иң мөһим практик тармағы булып китә. Был йүнәлеште эшләүгә башланғыс биргән хеҙмәттәр иҫәбендә, Тьюринг тарафынан квадрат матрицаның өҫкө һәм аҫҡы өсмөйөшлөләргә LU-тарҡалыуалгоритмын төҙөүе тора (1948). Иҫәпләү системалары ҡатмарлы һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаларын LU-тарҡалыу ҡулланып сығарырға тейеш булған тест Linpack^[en] нәтижәләре, күсеп йөрөүсе өтөр менән иҫәпләүҙәрҙе башҡарыу нәтижәлелегенең төп күрһәткесе тип иҫәпләнә, шул иҫәптән кластер системалар өсөн дә. 1950-се — 1960-сы йылдарҙа һыҙыҡлы иҫәпләү алгебраһы өлкәһендә Фаддеев һәм Уикинсон тарафынан ҙур тикшеренеүҙәр баҫтырылып сығарыла, 1970-се — 2000-се йылдарҙа Марчук, Самарский, Годунов, Голуб (ингл. Gene H. Golub), Аксельсон тарафынан ҙур һөҙөмтәләргә өлгәшелә.

Төп конструкциялар

Матрицалар һәм билдәләүселәр

Матрица — үлсәме $m\times n$ булған тура мөйөшлө таблицаға яҙылған математик объект, уның ячейкаларында ирекле алдан һайланған (төп) яландың (дөйөмөрәк осраҡта — ассоциатив ҡулсаның) элементтары урынлашҡан — улар, ҡушымталарға һәм мәсьәләләргә бәйле, бөтөн, ысын йәки комплекслы һандар векторҙар, рациональ функциялар булырға мөмкиндәр:

${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ij}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mj}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

Матрицалар өсөн шулай уҡ ҡыҫҡартылған яҙыу ҡулланыла $(a_{ij})$, ләкин ғәҙәттә матрицалар менән берҙәм объекттар кеүек эш итәләр: матрицалар өҫтөндә ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре билдәләнгән, шулай уҡ матрицаны төп ялан элементына — скалярға ҡабатларға мөмкин. Матрицалар был ғәмәлдәргә ҡарата төп ялан өҫтөндә векторлы арауыҡ^[⇨] (йәки, дөйөмөрәк осраҡта — ҡулса өҫтөндә модуль) төҙөйҙәр. Матрицалар өҫтөндә башҡа ғәмәлдәр — транспонирлау (юлдарҙы бағаналарға алмаштырыу) һәм псевдо әйләндереү (квадрат матрицаларҙы әйләндереүҙе дөйөмләштереү). $1\times n$ һәм $m\times 1$ үлсәмле матрицалар ярашлы рәүештә вектор-юл йәки вектор-бағана тип аталалар.

Юлдары һәм бағаналары һаны тигеҙ булған матрица квадрат матрица тип атала. Йөкмәткеһенә бәйле рәүештә улар диагональ (төп яландың диагоналдәгенән башҡа бөтә элементтары — нулдәр: $i\neq j\Rightarrow a_{ij}=0$), берәмек (төп яландың диагоналдәге бөтә элементтары бергә, ә ҡалғандары — нулгә тигеҙ), симметрик (бөтә элементтары төп диагоналгә ҡарата симметрик: $a_{ij}=a_{ji}$), ҡыя симметрик ($a_{ij}=-a_{ji}$), өсмөйөшлө (төп диагоналдән өҫтәге һәм аҫтағы бөтә элементтары нулгә тигеҙ), ортогональ булырға мөмкин. Квадрат матрицалар араһында оҡшашлыҡ бәйләнеше индерелә ($A\sim B\Leftrightarrow \exists P(A=P^{-1}\cdot B\cdot P$), бында $P^{-1}$ — $P$-ға кире матрица), матрицаларҙың ранг (һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ юлдар һәм бағаналарҙың максималь һаны) һәм характерлы күпбыуын кеүек характеристикалары оҡшашлыҡҡа ҡарата инвариантлы. Шулай уҡ оҡшаш тура мөйөшлө матрицалар өсөн эҙ (төп диагональ элементтарының суммаһын алыу) һәм билдәләүсе кеүек характеристикалар бер үк.

Билдәләүсе — тура мөйөшлө матрицаның элементтарын айырым ысул менән комбинациялаған күпбыуын, уның арҡаһында юл һәм бағаналарҙы транспонирлауға һәм һыҙыҡлы комбинацияларына бәйһеҙ рәүештә матрицаның миҡдары билдәләнә; атап әйткәндә, әгәр матрицала һыҙыҡлы-бәйле юлдар йәки бағаналар булһа — билдәләүсе нулгә тигеҙ. Билдәләүсеһе нулгә тигеҙ булған квадрат матрицалар үҙгәртелгән тип аталалар, улар өсөн әйләндереү билдәләнмәгән; әгәр билдәләүсе нулгә тигеҙ булмаһа — матрица үҙгәртелмәгән тип атала. Билдәләүсе һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаларын дөйөм күренештә сығарыуҙа төп роль уйнай, уның базаһында минор, өҫтәлмә минор, алгебраик өҫтәлмә төшөнсәләре индерелә.

Векторҙар

Вектор төшөнсәһе («вектор» термины үҙе У. Гамильтон тарафынан индерелә) беренсе башлап тиҙлек, көс моменты, электр ҡыры көсөргәнеше, магнитланыусанлыҡ кеүек бер үк ваҡытта дәүмәл һәм йүнәлеш менән дә характерланыусы, бер үк ваҡытта дәүмәл һәм йүнәлеш менән өйрәнелеүсе объекттар өсөн геометрик абстракция булараҡ барлыҡҡа килә. XX быуат башында векторҙарҙың баштағы (элементар математикала әлегә тиклем ҡулланылыусы) «йүнәлешле киҫек» булараҡ интерпретацияһы ике ғәмәл менән векторлы арауыҡ аксиоматикаһына алмаштырылаː векторҙарҙы ҡушыу һәм векторҙы һанға (дөйөмөрәк, ялан элементтарына) ҡабатлау. Бынан тыш, йыш ҡына векторҙарҙы ҡабатлауҙың төрлө төрҙәре индерелә: скаляр, векторлы, ҡатнаш, ялған скаляр, икеләтә векторлы ҡабатлау.

Һыҙыҡлы алгебрала векторҙарҙың һыҙыҡлы бәйһеҙлеге төшөнсәһе төп ролде уйнай, ул векторлы арауыҡтың базисы һәм үлсәме билдәләмәләренең нигеҙендә ятаː әгәр векторлы арауыҡтың $n$ һыҙыҡлы бәйһеҙ векторы булһа һәм был арауыҡтың теләһә ниндәй $k>n$ векторы һыҙыҡлы бәйләнгән булһа, $n$ һаны векторлы арауыҡтың үлсәме тип атала. Бындай векторлы арауыҡ $n$-үлсәмле тип атала, һәм уның теләһә ниндәй векторы $n$ тәртипкә һалынған һандар (ниндәйҙер базисты һайлап алғанда бер төрлө генә билдәләнгән) эҙмә-эҙлелеге менән күрһәтелә. Шулай итеп, векторҙар $1\times n$ йәки $n\times 1$ үлсәмендәге матрицалар — ярашлы рәүештә вектор-бағаналар һәм вектор-юлдар күренешендә яҙылырға мөмкин, ә векторлы алгебраның бөтә ғәмәлдәре матрицалар алгебраһына ҡайтарып ҡалдырылырға мөмкинː мәҫәлән, векторҙарҙы ҡушыу матрицаларҙы ҡушыу менән тап килә, ә векторҙарҙы векторлы ҡабатлау беренсе ҡабатлашыусынан һәм икенсе ҡабатлашыусы булған вектор-бағананан төҙөлгән ҡыя симметрик матрицаның ҡабатландығы рәүешендә күрһәтелергә мөмкин.

Тензорҙар

Тензорҙар һыҙыҡлы алгебра объекттары тураһында күҙаллауҙарҙың тәбиғи үҫеше булараҡ барлыҡҡа киләләр: әгәр скаляр $n$-үлсәмдә нуль үлсәмле (яландың тик бер генә элементынан торған) объект, вектор — бер үлсәмле массив ($1\times n$ үлсәмле матрица), һыҙыҡлы үҙгәртеү — ике үлсәмле матрица булһа, ул саҡта тензор $n\times n\times \cdots \times n$ үлсәмле ялан элементтарының күп үлсәмле массивы булып күрһәтелергә мөмкин (массивтың үлсәмдәре һанын тензорҙың валентлығы тип атайҙар), ә скалярҙар, векторҙар, һыҙыҡлы операторҙар тензорҙың айырым осраҡтары булып сығалар (ярашлы рәүештә 0, 1 һәм 2 валентлы). Тензор төшөнсәһен ҡулланыуҙа артабанғы дөйөмләштереү һыҙыҡлы функционалды ковектор итеп күрһәтеү мөмкинлегенән һәм арауыҡ һәм уның эйәртеүе — уның һыҙыҡлы функционалдары арауығы араһында ҡапма-ҡаршылыҡ идеяһынан алынған; был мөмкинлекте файҙаланып, $r$ валентлы тензор $l$ тапҡыр контравариантлы, йәғни, «ғәҙәттәге» базиста ярашлы компоненттары менән ҡаралыусы, һәм $k$ тапҡыр ковариантлы, йәғни, эйәртеүле арауыҡта компоненттары менән ($r=k+l$, «ранг тензоры $(l,k)$») итеп ҡарала.

Тензорлы алгебрала тензорҙар өҫтөндә скалярға ҡабатлау, ҡушыу, төрөү кеүек һыҙыҡлы операциялар индерелә һәм өйрәнелә. Тензорлы ҡабатлау операцияһы ($\otimes$) айырым ҙур роль уйнай, уны һыҙыҡлы арауыҡтарға дөйөмләштереү тензор билдәләмәһен дөйөмләштерергә мөмкинлек бирә: $V$ һыҙыҡлы арауығында $(l,k)$ ранглы тензорҙы $V$-ның $k$ экземплярының һәм уға эйәртеүле $V^{*}$ арауығының $l$ экземплярының тензорлы ҡабатландығы элементы итеп ҡарала:

${\begin{matrix}\underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \ldots \otimes V^{*}} \\k&&l\end{matrix}}$.

Квадрат һәм биһыҙыҡлы формалар

Алгебраик формалар (Векторлы арауыҡтарҙа вектор координаталарынан тиң күпбыуындар менән бирелгән тиң күпбыуындар) полиһыҙыҡлы алгебраға ҡарайҙар, ләкин квадратик, биһыҙыҡлы формалар, һәм формаларҙың ҡайһы бер махсус төрҙәре (бер ярым һыҙыҡлы, эрмитов) шулай уҡ һыҙыҡлы алгебрала мөһим. Биһыҙыҡлы һәм квадратик формаларҙың әһәмиәте шунда, улар һыҙыҡлы операторҙар кеүек үк матрицалар аша күрһәтеләләр. Симметрик $(B(x,y)=B(y,x))$ һәм ҡыя симметрик $(B(x,y)=-B(y,x))$ биһыҙыҡлы формаларҙың үҙсәнлектәре нығыраҡ ентекле өйрәнелгән.

Векторлы арауыҡтар

Һыҙыҡлы алгебрала өйрәнелгән бөтә математик структуралар — векторҙар, тензорҙар, матрицалар, алгебраик формалар, шулай уҡ улар өҫтөндә операциялар, векторлы (һыҙыҡлы) арауыҡтың дөйөм алгебраик төшөнсәһендә универсаллаштырылған. Векторлы арауыҡ $\langle V,{\mathfrak {F}},+,\cdot \rangle$ векторҙар тип аталған ирекле элементтар күмәклеге $V$, һәм элементтары скалярҙар тип аталған ирекле ялан ${\mathfrak {F}}$ өҫтөндә алгебра булараҡ билдәләнә, шуның менән бергә векторҙар векторҙарҙы ҡушыу ғәмәле менән бергә $\langle V,+\rangle$ Абель төркөмө барлыҡҡа килтерә, һәм векторҙарҙы скалярға ҡабатлау ғәмәле индерелә: $\cdot :{\mathfrak {F}}\times V\to V$ шундай, бында ошо үҙсәнлектәр үтәлә ($1,\alpha ,\beta \in {\mathfrak {F}},\,\mathbf {v} ,\mathbf {u} \in V$):

$1\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v}$,

$\alpha \cdot (\mathbf {v} +\mathbf {u} )=\alpha \cdot \mathbf {v} +\alpha \cdot \mathbf {u}$,

$(\alpha +\beta )\cdot \mathbf {v} =\alpha \cdot \mathbf {v} +\beta \cdot \mathbf {v}$,

$(\alpha \beta )\cdot \mathbf {v} =\alpha \cdot (\beta \cdot \mathbf {v} )$.

Ялан сифатында ҡайһы берҙә махсус рәүештә ғәҙәттәге ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре менән ысын һандар яланы (ул саҡта ысын векторлы арауыҡ тураһында һөйләйҙәр) йәки комплекслы һандар яланы (комплекслы векторлы арауыҡ) ҡарала, атап әйткәндә, ҡабарынҡы күмәклек теорияһында күп нәтижәләр тап ысын йәки комплекслы векторлы арауыҡтар өсөн әйтеләләр. Әммә раҫлауҙарҙың күп өлөшө һәм конструкцияларҙың күпселеге ирекле яландар өсөн дөрөҫ, улай ғына түгел, һыҙыҡлы алгебраның векторлы арауыҡтар өсөн алынған күп нәтижәләре, XX быуатта коммутатив булмаған есемдәр өҫтөндә унитар модулдәргә һәм хатта ирекле ҡулса өҫтөндә модулдәргә йәки билдәле бер сикләүҙәр менән модулдәргә тиклем дөйөмләштерелә.

Векторҙарҙың һыҙыҡлы комбинациялары — $\alpha _{1}\mathbf {v} _{1}+\dots +\alpha _{n}\mathbf {v} _{n}$ күренешендәге сикле суммалар, векторҙар йыйылмаһы өсөн һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ индерелә (әгәр тривиаль булмаған һыҙыҡлы комбинация булһа, арауыҡтың Абель төркөмөнөң нуленә әйләнгән), базис төшөнсәһе максималь һыҙыҡлы-бәйләнешһеҙ йыйылма итеп индерелә, базистың ҡеүәте (векторлы арауыҡтың үлсәнеше тип аталған) уны һайлап алыуға бәйле түгел икәне иҫбат ителә.

Векторлы арауыҡтарҙы, уларҙы ярымнормалар, нормалар, метрикалар, топологиялар менән тәьмин итеү кеүек, артабанғы дөйөмләштереүҙәр функциональ анализда өйрәнелә.

Һыҙыҡлы сағылыштар

Башҡа алгебраик структуралар теорияларына оҡшаш рәүештә, һыҙыҡлы алгебра векторлы арауыҡтар араһында, векторлы арауыҡтың структураһын һаҡлаусы, сағылыштарҙы өйрәнә. Бер ялан өҫтөндә ирекле векторлы арауыҡтарҙың һыҙыҡлы сағылышы (һыҙыҡлы үҙгәртеү, һыҙыҡлы операторы) $L:V\to U$ — һыҙыҡлы булыуҙы һаҡлаусы сағылыш:

$L(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=L(\mathbf {v} _{1})+L(\mathbf {v} _{2})$,

$L(\alpha \cdot \mathbf {v} )=\alpha \cdot L(\mathbf {v} )$.

Ике векторлы арауыҡ араһында һыҙыҡлы булған үҙ-ара-берҙән бер сағылыш булһа, ул саҡта бындай арауыҡтар изоморфлы тип аталалар; векторлы арауыҡтарҙың күп үҙсәнлектәре изоморфлы үҙгәртеүҙәрҙә һаҡланалар (изоморфизға ҡарата инвариантлы).

Бирелгән векторлы арауыҡтарҙың бөтә һыҙыҡлы сағылыштары класы өҫтөндә векторлы арауыҡ структураһын билдәләргә мөмкин. Сикле үлсәмле векторлы арауыҡтарҙың һыҙыҡлы сағылыштары матрицалы формала яҙылырға мөмкиндәр һәм уларҙың үҙсәнлектәре матрицалар ысулдары менән өйрәнелә^[⇨].

Үҙ векторҙар һәм үҙ һандар

Һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәрҙә йүнәлештәрен һаҡлаусы күк һәм күксин төҫөндәге векторҙар — үҙ векторҙар, ҡыҙылдары — түгел

Дөйөм осраҡта һыҙыҡлы сағылыш тәьҫире шаҡтай ҡатмарлы булырға мөмкин. Мөһим һәм киң таралған бурыс булып, $V$ векторлы арауыҡтың, бирелгән һыҙыҡлы сағылыштың матрицаһы $L:V\rightarrow V$ иң ябай күренештә булырлыҡ шундай базисын табыу тора. Был мәсьәләне хәл иткәндә төп ролде $L$ һыҙыҡлы сағылыштың инвариантлы аҫарауыҡтары — образдары $L$ сағылышында үҙҙәренә ингән аҫарауыҡтар уйнай. Әгәр нуль булмаған үлсәнешле, тура суммаһы бөтә $V$ арауыҡты тәшкил иткән $W_{1},\ldots ,W_{k}$ инвариантлы аҫарауыҡтар табылһа (йәғни, $L(W_{i})\subset W_{i}$ үтәлһә), ул саҡта $L$ сағылыш матрицаһы $n_{1},\ldots ,n_{k}$ тәртибендәге блоктар менән блок-диагональ күренештә була, әгәр базисты $k$ векторҙар төркөмөнән торорлоҡ итеп һайлағанда, бында $i$-сы төркөм $W_{i}$ аҫарауығында базис булып тора, төп диагоналендә $n_{i}=\dim W_{i}$.

Инвариантлы аҫарауыҡтың иң ябай осрағы булып бер үлсәмле $W$ инвариантлы аҫарауығы тора, уны бер (теләһә ниндәй) нуль булмаған $x\in W$ векторы ярҙамында бирергә мөмкин. Был осраҡта аҫарауыҡтың образының үҙенә һалынған булыу шарты ниндәйҙер $\lambda$ һаны менән $L(x){=}\lambda x$ күренешен ала; бындай конструкция үҙ векторҙы һәм үҙ һанды билдәләүгә килтерә: әгәр ниндәйҙер $x\neq 0$ векторы һәм $\lambda$ һаны өсөн $L(x){=}\lambda x$ тигеҙлеге үтәлһә, ул саҡта $\lambda$ $L$ сағылышының үҙ һаны, ә $x$ векторы уның үҙ векторы тип атала. Һыҙыҡлы сағылыштың үҙ һандары берҙән бер, ә үҙ векторҙары — пропорционаллеккә тиклем, йәғни ирекле нулдән айырмалы һанға ҡабатлауға тиклем аныҡлыҡ менән билдәләнә.

Сағылыштың $n$ һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ үҙ векторҙар йыйылмаһы булған осраҡта, бында $n$ һаны $V$ арауығының үлсәнешенә тигеҙ, уларҙан базис (бирелгән сағылыштың үҙ базисы тип аталған) төҙөргә була, унда сағылыш матрицаһы диагоналле, шуның менән бергә төп диагоналдә үҙ һандар тора. Бындай һыҙыҡлы сағылыштар диагоналләнеүсе тип аталалар. Диагоналләнеүсәнлектең етерлек (ләкин кәрәкле түгел) шарты булып $n$ төрлө үҙ һанының булыуы тора.

Ҡулланыу

Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаларын сығарыу

Өс үҙгәреүсәнле һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһы яҫылыҡтар йыйылмаһын билдәләй. Киҫешеү нөктәһе сығарылышы була.

n үҙгәреүсәнле m һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы — ул түбәндәге күренештәге тигеҙләмәләр системаһы

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}$

Ул матрицалы формала ошолай күрһәтелергә мөмкин:

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

или:

$Ax=b$.

Әҙәбиәт

• Бурбаки. Линейная и полилинейная алгебра // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 73—86. — 292 с. — (Элементы математики).
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е, исправленное. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — 5000 экз. экз. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Линейные структуры // Пути и лабиринты. Очерки по истории математики = Routes et dédales / Перевод с французского А. А. Брядинской под редакцией И. Г. Башмаковой. — М.: Мир, 1986. — С. 394—402. — 432 с. — (Современная математика. Популярная серия). — 50 000 экз.
• Israel Kleiner. History of Linear Algebra // A History of Abstract Algebra. — Boston: Birkhäuser, 2007. — P. 79—89. — 168 p. — ISBN 978-0-8176-4684-4. — DOI:10.1007/978-0-8176-4685-1_5.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.
• Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — (Физматлит). — ISBN 5-02-014727-3.
• Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы