Төп менюны асырға

Ҡалып:About Ҡулса (шулай уҡ ассоциатив ҡулса) дөйөм алгебрала — үҙсәнлектәре буйынса һандар өҫтөндәге ярашлы операцияларға оҡшаш әйләндерелмәле ҡушыу операцияһы һәм ҡабатлау операцияһы бирелгән алгебраикя структура. Ҡулсаларҙың иң ябай миҫалдары булып һандар йыйылмалары (бөтөн, ысын, комплекслы), бирелгән күмәклектә билдәләнгән һанлы функциялар йыйылмалары торалар. Бөтә осраҡтарҙа ла һандар йыйылмаһына оҡшаш күмәклектәр бар, уларҙың элементтарын ҡушырға һәм ҡабатларға мөмкин, шуның менән бергә был операциялар үҙҙәрен тәбиғи рәүештә тоталар[1].

Ҡушыу һәм ҡабатлау операцияларының дөйөм үҙсәнлектәрен, уларҙың операциялар башҡарылған элементтарҙың тәбиғәтенә ҡағылышһыҙ үҙ-ара эске бәйләнешен өйрәнеү өсөн ҡулса төшөнсәһе индерелә лә инде[2].

Ҡулсалар ҡулсалар теорияһының — дөйөм алгебраның ҙур бүлегенең төп өйрәнеү объекты булып торалар, унда алгебраик геометрияла, һандарҙың алгебраик теорияһында, алгебраик -теорияла, инварианттар теорияһында киң ҡулланыу тапҡан инструменталь саралар эшләнгән.

ТарихыҮҙгәртергә

Алгебраның фән булараҡ йылдам үҫеше XIX быуатта башлана. Һандар теорияһының төп бурыстарының береһе булып 1860—1870-се йылдарҙа алгебраик һандарҙың дөйөм яландарында бүленеүсәнлек теорияһын төҙөү тора. Был мәсьәләнең хәл ителеше Рихард Дедекинд тарафынан баҫтырылып сығарыла («X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле», 1871 йыл). Был хеҙмәттә беренсе тапҡыр һанлы яландың бөтөн һандар ҡулсаһы төшөнсәһе ҡарала, был контекста модуль һәм идеал төшөнсәләренә билдәләмә бирелә[3]. Ҡалып:Раздел не завершён

БилдәләмәҮҙгәртергә

Ҡулса — теләһә ниндәй   өсөн түбәндәге үҙсәнлектәр үтәлгән,   һәм   (ҡушыу һәм ҡабатлау тип аталған) ике бинар операция бирелгән   күмәклеге ул:

  1.   — ҡушыуҙың коммутативлығы;
  2.   — ҡушыуҙың ассоциативлығы;
  3.   — ҡушыуға ҡарата нейтраль элементтың булыуы;
  4.   — ҡушыуға ҡарата ҡапма-ҡаршы элементтың булыуы;
  5.   — дистрибутивлыҡ.

Икенсе төрлө әйткәндә, ҡулса — ҡушыуға   ҡарата Абель төркөмө булған һәм  -ҙың  -ға ҡарата ике яҡлы дистрибутивлығына эйә булған   универсаль алгебра ул, ғәҙәттә ҡулса төшөнсәһе аҫтында ҡабатлауға ҡарата ассоциатив ҡулсаларҙы күҙ уңында тоталар, йәғни уларҙа мультипликатив төркөм ярым төркөм була.

Ҡулсалар түбәндәге өҫтәлмә үҙсәнлектәргә эйә булырға мөмкиндәр:

  • берәмектең булыуы:   (берәмеге булған ҡулса), берәмек ғәҙәттә 1 тип тамғалана;
  • ҡабатлауҙың коммутативлығы:   (коммутатив ҡулса);

Ҡайһы берҙә ҡулса төшөнсәһе аҫтында тик берәмеге булған ҡулсаларҙы ғына аңлайҙар[4] (йәғни   моноид булыуын талап итәләр), ләкин берәмеге булмаған ҡулсалар ҙа өйрәнеләләр (мәҫәлән, йоп һандар ҡулсаһы берәмеге булмаған коммутатив ассоциатив ҡулса[5]).

  символы урынына йыш ҡына   символын ҡулланалар, йәки уны бөтөнләй төшөрөп ҡалдыралар.

Иң ябай үҙсәнлектәреҮҙгәртергә

Ҡулсаның билдәләмәһенән туранан-тура түбәндәге үҙсәнлектәрҙе сығарырға мөмкин:

  • ҡулсала ҡушыуға ҡарата нейтраль элемент берҙән бер;
  • ҡулсаның теләһә ниндәй элементы өсөн ҡушыуға ҡарата уға кире элемент берҙән бер;
  • ҡабатлауға ҡарата нейтраль элемент, әгәр ул булһа, ул берҙән бер;
  •   йәғни 0 — ҡабатлау буйынса йотоусы элемент;
  •   бында   — ҡушыу буйынса  -ға кире элемент;
  •  
  •  [6][5]

Төп төшөнсәләрҮҙгәртергә

Ҡулса элементтары төрҙәреҮҙгәртергә

Ҡулсала нулдән айырмалы элементтар бар икән, ти. Ул саҡта һул нулдең бүлеүсеһе — ул   ҡулсаһының нулдән айырмалы шундай   элементы, уның өсөн   ҡулсаһының   булған, нулдән айырмалы   элементы бар. Оҡшаш рәүештә нулдең уң бүлеүсеһенә билдәләмә бирелә. Коммутатив ҡулсаларҙа был төшөнсәләр тап киләләр. Миҫал:   интервалында өҙлөкһөҙ функциялар ҡулсаһын ҡарайыҡ.     булһын, ул саҡта   йәғни   нулдең бүлеүселәре булып торалар. Бында   шарты   нулдән айырмалы функция тигәнде аңлата, ләкин   функцияһы бер ҡасан да   ҡиммәте ҡабул итмәй тигәнде аңлатмай[7]

Нильпотентлы элемент — ул шундай   элементы, ниндәйҙер   өсөн  . Миҫал:   матрицаһы. Нильпотентлы элемент һәр ваҡыт нулдең бүлеүсеһе була (тик әгәр ҡулса бер нулдән генә томаһа), киреһе дөйөм осраҡта дөрөҫ түгел[8].

Идемпотентлы элемент   — ул шундай элемент, бында   Мәҫәлән, теләһә ниндәй проекциялау операторы идемпотентлы, айырып әйткәндә, түбәндәге:   матрицалар ҡулсаһында  [9]

Әгәр   — берәмеге булған   ҡулсаһының ирекле элементы булһа, ул саҡта  -ға һул кире элемент тип шундай   элементы атала, бында   Уң кире элементҡа оҡшаш рәүештә билдәләмә бирелә. Әгәр   элементының уң элементы ла һәм һул элементы ла булһа, ул саҡта улар тап киләләр, һәм   элементының берҙән бер аныҡланған һәм   тип тамғаланған кире элементы бар тип әйтәләр. Элемент үҙе әйләндермәле элемент тип атала.[7]

АҫҡулсаҮҙгәртергә

  аҫкүмәклеге, әгәр    -ҙа бирелгән операцияларға ҡарата үҙе ҡулса булһа,  -ҙың аҫҡулсаһытип атала. Был осраҡта   —   ҡулсаһының киңәйеүе тип әйтәләр. [10] Икенсе төрлө әйткәндә, буш булмаған   аҫкүмәклеге аҫҡулса була, әгәр

  •     ҡулсаһының аддитив аҫтөркөмө булһа, йәғни теләһә ниндәй   өсөн:  
  •   ҡабатлауға ҡарата йомоҡ, йәғни теләһә ниндәй  


Билдәләмә буйынса, аҫҡулса буш түгел, сөнки нуль элементы бар. Ҡулсаның нуле һәм берәмеге уның теләһә ниндәй аҫҡулсаһының нуле һәм берәмеге була[11].

Аҫҡулса коммутативлыҡ үҙсәнлеген һаҡлап ҡала[12].

Теләһә ниндәй аҫҡулсалар күмәклеге киҫелеше аҫҡулса була.   аҫкүмәклеге ингән иң бәләкәй аҫҡулса   барлыҡҡа килтергән аҫҡулса тип атала, ә   —   ҡулсаһы өсөн барлыҡҡа килтереүсе система тип атала. Ундай аҫҡулса һәр ваҡыт бар, сөнки   кергән бөтә аҫҡулсаларҙың киҫелеше был билдәләмәне ҡәнәғәтләндерә.[11]

Берәмеге булған   ҡулсаһының, уның берәмеге барлыҡҡа килтергән аҫҡулсаһы,   ҡулсаһының иң бәләкәй йәки төп аҫҡулсаһы тип атала. Бындай аҫҡулса   ҡулсаһының теләһә ниндәй аҫҡулсаһына инә[13]

ИдеалдарҮҙгәртергә

Ҡулса идеалының билдәләмәһе һәм роле төркөм теорияһындағы нормаль аҫтөркөм билдәләмәһе һәм роле менән оҡшаш [14].

  ҡулсаһының   буш булмаған аҫкүмәклеге һул идеал тип атала, әгәр:

  •   ҡулсаның аддитив аҫтөркөмө булһа, йәғни  -гә ингән теләһә ниндәй ике элементтың суммаһы  -гә инә, шулай уҡ  
  •   ҡулсаның теләһә ниндәй элементына һулдан ҡабатлауға ҡарата йомоҡ, йәғни теләһә ниндәй     өсөн  .

Беренсе үҙсәнлектән   үҙе эсендә ҡабатлауға ҡарата йомоҡ икәне килеп сыға, шуға ла   аҫҡулса була.

Оҡшаш рәүештә ҡулсаның элементына уңдан ҡабатлауға ҡарата йомоҡ уң идеал билдәләмәһе бирелә.

  ҡулсаһының ике яҡлы идеалы (йәки тик идеал) — бер үк ваҡытта уң да, һул да идеал булған, буш булмаған теләһә ниндәй аҫкүмәклеге.

  ҡулсаһының идеалына шулай уҡ ниндәйҙер   гомоморфизмының үҙәге тип билдәләмә бирергә мөмкин[15].

Әгәр   —   ҡулсаһының элементы булһа, ул саҡта   күренешендәге элементтар күмәклеге,   барлыҡҡа килтергән (ярашлы рәүештә,  ) һул (ярашлы рәүештә, уң) төп идеалы тип атала. Әгәр   ҡулсаһы коммутатив булһа, был билдәләмәләр тап киләләр һәм   барлыҡҡа килтергән төп идеал   тип тамғалана. Мәҫәлән, бөтә йоп һандар күмәклеге бөтөн һандар ҡулсаһында идеал барлыҡҡа килтерә, был идеалды 2 элементы барлыҡҡа килтерә. Бөтөн һандар ҡулсаһында бөтә идеалдар төп идеал була икәнен иҫбат итергә була. [16].

Ҡулсаның бөтә ҡулса менән тап килмәгән идеалы, әгәр был идеал буйынса факторҡулсала нулдең бүлеүселәре булмаһа, ябай тип атала. Ҡулсаның бөтә ҡулса менән тап килмәгән һәм ҡулсаға тигеҙ булмаған бер ниндәй ҙә ҙурыраҡ идеалға инмәгән идеалы, максималь идеал тип атала[17].

ГомоморфизмҮҙгәртергә

Ҡулсалар гомоморфизмы (ҡулсалы гомоморфизм) — ҡушыу һәм ҡабатлау операцияларын һаҡлаусы сағылыш ул. Ә атап әйткәндә,   ҡулсаһынан   ҡулсаһына гомоморфизм — ул шундай   функцияһы, бында

  1.  ,
  2.  .

Берәмеге булған ҡулса осрағында, ҡайһы берҙә   шарты үтәлеүе талап ителә[18][19].

Ҡулсалар гомоморфизмы, әгәр ҡулсаларҙың кире гомоморфизмы булһа, изоморфизм тип атала. Ҡулсаларҙың теләһә ниндәй биектив гомоморфизмы изоморфизм була. Автоморфизм — ҡулсанан үҙенә изоморфизм булған гомоморфизм ул. Миҫал: ҡулсаның үҙенә тождестволы сағылышы автоморфизм була[20].

Әгәр   — ҡулсалар гомоморфизмы булһа,  -ҙың нолгә күскән элементтары күмәклеге  -тың үҙәге тип атала (  тип тамғалана). Теләһә ниндәй гомоморфизмдың үҙәге ике яҡлы идеал була[21]. Икенсе яҡтан,  -тың образы һәр ваҡытта ла идеал булмай, ләкин  -тың аҫҡулсаһы була [15] (  тип тамғалана).

ФакторҡулсаҮҙгәртергә

Идеал буйынса факторҡулсаның билдәләмәһе фактортөркөм билдәләмәһенә оҡшаш. Теүәлерәк әйткәндә,   ҡулсаһының ике яҡлы   идеалы буйынса факторҡулсаһы —   аддитив төркөмөнөң   аддитив аҫтөркөмө буйынса, түбәндәге операциялар менән йәнәшәлек кластары күмәклеге ул:

  •  ,
  •  .

Төркөмдәр осрағына оҡшаш рәүештә,   тип бирелгән   ҡануни гомоморфизмы бар. Был осраҡта   идеалы үҙәге була.

Төркөмдәр гомоморфизмы тураһында теоремаға оҡшаш рәүештә ҡулсалар гомоморфизмы тураһында теорема бар:   булһын, ул саҡта     гомоморфизмы үҙәге буйынса факторҡулсаға изоморфлы [22].

Ҡулсаларҙың ҡайһы бер махсус кластарыҮҙгәртергә

  • Һәр нулдән айырмалы элементы әйләндермәле булған, берәмеге   булған ҡулса есем тип атала[23].
  • Коммутатив есем ялан тип атала[24]; икенсе төрлө әйткәндә, ялан — тривиаль булмаған идеалдары булмаған, берәмеге булған коммутатив ҡулса[8][25].
  • Нулдең бүлеүселәре булмаған коммутатив ҡулса бөтөнлөк өлкәһе (йәки бөтөн ҡулса) тип атала[26]. Теләһә ниндәй ялан бөтөнлөк өлкәһе була, ләкин киреһе дөрөҫ түгел[27].
  • Ялан булмаған   бөтөн ҡулса Евклид ҡулсаһы тип атала, әгәр ҡулсала шундай   нормаһы бирелһә, бында:
    1. теләһә ниндәй нулдән айырмалы   өсөн,   дөрөҫ;
    2. теләһә ниндәй нулдән айырмалы   өсөн шундай   бар, бында   һәм   йәки  [26].
  • Бөтә идеалдары ла төп идеал булған бөтөн ҡулса төп идеалдар ҡулсаһы тип атала; һәр Евклид ҡулсаһы һәм һәр ялан төп идеалдар ҡулсаһы булалар[12].
  • Элементтары булып һандар торған, ә операциялары — һандарҙы ҡушыу һәм ҡабатлау булған ҡулса һанлы ҡулса тип атала, мәҫәлән, йоп һандар күмәклеге һанлы ҡулса була, ләкин бер ниндәй ҙә тиҫкәре һандар системаһы ҡулса булмай, сөнки уларҙың ҡабатландығы ыңғай[28].

МиҫалдарҮҙгәртергә

  •   — бер нулдән генә торған тривиаль ҡулса булһын. Был нол мультипликатив берәмек булған берҙән бер ҡулса[5]. Был тривиаль миҫалды категориялар теорияһы күҙлегенән ҡарағанда ҡулса тип иҫәпләү файҙалы, сөнки был осраҡта ҡулсалар категорияларында терминаль объект барлыҡҡа килә.
  •   — бөтөн һандар (ғәҙәттәге ҡушыу һәм ҡабатлау менән) ҡулсаһы. Был ҡулсаларҙың бик мөһим миҫалы, сөнки теләһә ниндәй ҡулсаны   өҫтөндә алгебра итеп ҡарап була. Шулай уҡ ул Ring берәмек менән ҡулсалар категорияһында башланғыс объект булып тора.[29][30]
  •   — n натураль һанының модуле буйынса вычеттар сикле ҡулсаһы. Был һандар теорияһынан ҡулсаларҙың классик миҫалы. Вычеттар ҡулсаһы ялан була шул саҡта һәм бары тик шул саҡта ғына, әгәр n ябай булһа.[31] Ярашлы яландар сикле яландар теорияһын төҙөү өсөн башланғыс нөктә булып торалар. Вычеттар ҡулсалары шулай уҡ сикле барлыҡҡа килтерелгән Абель төркөмдәре структураларын өйрәнгәндә бик мөһим, уларҙы шулай уҡ p-адиклы һандарҙы төҙөү өсөн ҡулланырға була.
  •   — ялан булып торған рациональ һандар ҡулсаһы. Был характеристикаһы 0 булған иң ябай ялан. Ул һандар теорияһында төп өйрәнеү объекты булып тора. Уны төрлө эквивалентлы булмаған нормалар буйынса тултырыу   ысын һандар һәм   бында p — теләһә ниндәй ябай һан p-адиклы һандар яландарын бирә[32].
  • Теләһә ниндәй   коммутатив ҡулсаһы өсөн коэффициенттары   ысын һандар булған n үҙгәреүсәнле күпбыуындар ҡулсаһы   төҙөргә мөмкин.[11] Айырым алғанда,   Коэффициенттары бөтөн һандар булған күпбыуындар ҡулсалары, бөтә күпбыуындар ҡулсаларының тензорлы ҡабатландығы аша күрһәтеләләр тигән мәғәнәлә, универсаль күпбыуындар ҡулсаһы булалар:  
  •   күмәклегенең аҫкүмәклектәре ҡулсаһы — элементтары булып  -тың аҫкүмәклектәре торған ҡулса. Ҡушыу операцияһы симметрик айырма, ә ҡабатлау — күмәклектәрҙең киҫелеше:
 
 
Ҡулсаның аксиомаларын еңел тикшереп була. Нуль элемент булып буш күмәклек тора, берәмек — бөтә   Ҡулсаның бөтә элементтары идемпотента булалар, йәғни   Теләһә ниндәй элемент ҡушыу буйынса үҙенә кире элемент була:   Аҫкүмәклектәре ҡулсаһы Буль алгебралары теорияһында һәм үлсәмдәр теорияһында бик мөһим, айырым алғанда ихтималлыҡ теорияһын төҙөгәндә[5].

КонструкцияларҮҙгәртергә

Тура ҡабатландыҡҮҙгәртергә

  һәм   ҡулсаларының   ҡабатландығын тәбиғи ҡулса структураһы менән тәьмин итергә мөмкин: теләһә ниндәй  ,   өсөн:

  •  
  •  

Оҡшаш конструкция теләһә ниндәй ҡулсалар ғәиләһе ҡабатландығы өсөн бар (ҡушыу һәм ҡабатлау компоненттар буйынса биреләләр)[33].

  — коммутатив ҡулса һәм   — унда пар-пар үҙ-ара ябай идеалдар булһын (идеалдар, әгәр уларҙың суммаһы бөтә ҡулсаға тигеҙ булһа, үҙ-ара ябай тип атала). Ҡалдыҡтар тураһында Ҡытай теоремаһы,:

  сағылышы сюръектив, ә уның үҙәге —   (идеалдар ҡабатландығы, идеалдар киҫелеше) тип раҫлай[18].

Эндоморфизмдар ҡулсаһыҮҙгәртергә

  Абель төркөмөнөң эндоморфизмдар күмәклеге ҡулса төҙөй, ул   тип тамғалана. Ике эндомрофризмдың суммаһы компоненттар буйынса билдәләнә:  , ә ҡабатландығы —   композицияһы кеүек. Әгәр   — Абель төркөмө булмаһа, ул саҡта  , дөйөм әйткәндә,  -ға тигеҙ түгел, ә ҡулсала ҡушыу коммутатив булырға тейеш[34].

Бүлендектәр яланы һәм бүлендектәр ҡулсаһыҮҙгәртергә

  бөтөн ҡулсаһы өсөн, уны индергән, иң бәләкәй ялан төҙөргә мөмкинлек биреүсе конструкция бар.   ҡулсаһының бүлендектәр яланы — түбәндәге эквивалентлыҡ бәйләнеше буйынса формаль кәсерҙәрҙең   эквивалентлыҡ кластары күмәклеге:

  шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр   булһа,

ғәҙәттәге:   операциялары менән.

Бирелгән бәйләнеш ысынлап та эквивалентлыҡ бәйләнеше булыуы асыҡтан-асыҡ күренеп тормай: иҫбатлау өсөн ҡулсаның бөтөнлөгө менән файҙаланырға тура килә. Был конструкцияның ирекле коммутатив ҡулсаларға дөйөмләштерелеүе бар. Атап әйткәндә,   коммутатив ҡулсаһында   мультипликатив йомоҡ система (йәғни берәмеге булған һәм нуле булмаған аҫкүмәклек; аҫкүмәклектең теләһә ниндәй ике элементының ҡабатландығы яңынан аҫкүмәклеккә инә). Ул саҡта бүлендектәр ҡулсаһы   —   формаль кәсерҙәренең түбәндәге эквивалентлыҡ бәйләнеше буйынса эквивалентлыҡ кластары күмәклеге:

  шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр   булған   булһа.

Шулай уҡ был конструкцияны ҡулсаны локалләштереү тип атайҙар (сөнки алгебраик геометрияла ул төрлөлөктөң айырым нөктәһендә локаль үҙсәнлектәрен өйрәнергә мөмкинлек бирә). Миҫал: унарлы кәсерҙәр ҡулсаһы — бөтөн һандар ҡулсаһын   мультипликатив системаһы буйынса локалләштереү ул.

  тәбиғи сағылышы бар. Уның үҙәге шундай   элементтарынан тора, улар өсөн   булырлыҡ   бар. Атап әйткәндә, бөтөн ҡулса өсөн был сағылыш инъективлы[35][36].

Категориялы һүрәтләүҮҙгәртергә

Ҡулсалар ҡулсалар гомоморфизмдары менән бергә категория төҙөйҙәр, ул ғәҙәттә   тип тамғалана (ҡайһы берҙә берәмеге булған категорияларҙы шулай тамғалайҙар, ә ғәҙәттәге ҡулсалар категорияларын   тип тамғалайҙар). Берәмеге булған ҡулсалар категорияһы бик күп файҙалы үҙсәнлектәргә эйә: атап әйткәндә, ул тулы һәм котулы. Был унда бөтә бәләкәй сикләнмәләрһәм косикләнмәләр (мәҫәлән, ҡабатландыҡтар, коҡабатландыҡтар, үҙәктәр һәм коүҙәктәр) бар тигәнде аңлата. Берәмеге булған ҡулсалар категорияһының башланғыс объекты (  ҡулсаһы) һәм терминаль объекты (нуль ҡулса) бар.

Ҡулсаға ошондай категориялы билдәләмә бирергә мөмкин: берәмеге булған ассоциатив ҡулса — Абель төркөмдәре категорияһында моноид ул (Абель төркөмдәре тензорлы ҡабатлау операцияһына ҡарата моноидаль категория барлыҡҡа килтерәләр). R ҡулсаһының Абель төркөмөндә (ҡабатлау буйынса моноид итеп ҡаралған ҡулсаның) ғәмәл Абель төркөмөн R-модулгә әйләндерә. Модуль төшөнсәһе векторлы арауыҡ төшөнсәһен дөйөмләштерә: тупаҫыраҡ итеп әйткәндә, модуль — «ҡулса өҫтөндө векторлы арауыҡ» ул.[29][30]

Ҡулсаларҙың махсус кластарыҮҙгәртергә

Ҡулсалар өҫтөндә структураларҮҙгәртергә

ИҫкәрмәләрҮҙгәртергә

  1. Винберг, 2011, с. 17—19
  2. Бельский А., Садовский Л. Кольца // Квант. — 1974. — № 2.
  3. Erich Reck Dedekind's Contributions to the Foundations of Mathematics // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2012-01-01.
  4. Атья, Макдональд, 1972, с. 9
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 Винберг, 2011, с. 18—19
  6. Курош, 1968, с. 273—275
  7. 7,0 7,1 Ван дер Варден, 1975, с. 51—53
  8. 8,0 8,1 Атья, Макдональд, 1972, с. 11
  9. Ван дер Варден, 1975, с. 359
  10. Винберг, 2011, с. 407
  11. 11,0 11,1 11,2 Куликов, 1979, с. 110—111
  12. 12,0 12,1 Винберг, 2011, с. 21
  13. Куликов, 1979, с. 437
  14. Ван дер Варден, 1975, с. 64
  15. 15,0 15,1 Фейс, 1977, с. 153
  16. Куликов, 1979, с. 430—431
  17. Винберг, 2011, с. 406
  18. 18,0 18,1 Фейс, 1979, с. 10
  19. Винберг, 2011, с. 388
  20. Куликов, 1979, с. 107—108
  21. Куликов, 1979, с. 432
  22. Винберг, 2011, с. 387—390
  23. Винберг, 2011, с. 523
  24. Фейс, 1977, с. 152
  25. Куликов, 1979, с. 430
  26. 26,0 26,1 Винберг, 2011, с. 118
  27. Атья, Макдональд, 1972
  28. Курош, 1968, с. 266
  29. 29,0 29,1 Фейс, 1977
  30. 30,0 30,1 Фейс, 1979
  31. Винберг, 2011, с. 28—34
  32. Ван дер Варден, 1975, с. 509—512
  33. Ван дер Варден, 1975, с. 33
  34. Ван дер Варден, 1975, с. 173
  35. Ван дер Варден, 1975, с. 450—452
  36. Курош, 1968, с. 305—311

ӘҙәбиәтҮҙгәртергә

  • М. Атья, И. Макдональд Введение в коммутативную алгебру — М.: Мир, 1972. — 160 б.
  • Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М.: Мир, 1975. — 623 б.
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 б.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп. — М.: Просвещение, 1983. — 351 б.
  • Колмогоров А. Н.,Юшкевич А. П.(ред.) Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей — М.: Наука, 1978. — 255 б.
  • Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов — М.: Высш. школа, 1979. — 559 б.
  • Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М.: Наука, 1968. — 431 б.
  • Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — 688 б.
  • Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М.: Мир, 1979. — Т. 2. — 464 б.
  • Херстейн И. Некоммутативные кольца — М.: Мир, 1972. — 190 б.