Скаляр ҡабатландыҡ

Скаляр ҡабатландыҡ (ҡайһы берҙә эске ҡабатландыҡ) — һөҙөмтәһе координаталар системаһына бәйле булмаған, ҡабатлашыусы векторҙарҙың оҙонлоғон һәм улар араһындағы мөйөштө характерлаусы һан булған, ике вектор өҫтөндәге ғәмәл (векторҙарҙы ҡарағанда, һандарҙы йыш ҡына скалярҙар тип атайҙар). Был ғәмәлгә x векторының оҙонлоғон y векторының x векторына проекцияһына ҡабатландығы ярашлы. Был ғәмәл ғәҙәттә һәр ҡабатлашыусы буйынса коммутатив һәм һыҙыҡлы тип ҡарала.

Ғәҙәттә түбәндәге тамғалауҙарҙың береһе ҡулланыла:

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle$,

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$,

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$,

йәки (квант механикаһында векторҙар өсөн йыш ҡулланылған Дирак тамғалауы):

$\langle a|b\rangle$.

Ғәҙәттә скаляр ҡабатландыҡ ыңғай тип уйланыла, йәғни

теләһә ниндәй $a\not =0$ өсөн $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0$.

Әгәр бындай фаразлау булмаһа, ҡабатландыҡ индефинит йәки асыҡланмаған тип атала.

Билдәләмә

$\mathbb {L}$ векторлы арауығында $\mathbb {C}$ комплекслы (йәки $\mathbb {R}$ ысын) һандар яланы өҫтөндә скаляр ҡабатландыҡ тип, $x,y\in \mathbb {L}$ элементтары өсөн, һәр элементтар пары өсөн $\mathbb {C}$ (йәки $\mathbb {R}$) ҡиммәттәре ҡабул иткән һәм түбәндәге шарттарҙы ҡәнәғәтләндергән $\langle x,y\rangle$ функцияһы атала:

1. $\mathbb {L}$ арауығының теләһә ниндәй өс $x_{1},x_{2}$ һәм $y$ элементтары өсөн һәм $\mathbb {C}$ (йәки $\mathbb {R}$) күмәклегенән $\alpha ,\beta$ өсөн $\langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle$ тигеҙлеге дөрөҫ (скаляр ҡабатландыҡтың беренсе аргумент буйынса һыҙыҡлы булыуы);
2. теләһә ниндәй $x$ һәм $y$ өсөн $\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}$ тигеҙлеге дөрөҫ, бында һыҙыҡ комплекслы эйәртеүсәнлекте аңлата (эрмит симметриялылыҡ);
3. теләһә ниндәй $x$ өсөн $\langle x,x\rangle \geq 0$, шуның менән бергә тик $x=0$ булғанда ғына $\langle x,x\rangle =0$ (скаляр ҡабатландыҡтың ыңғайлығы билдәләнеүе).

Билдәләмәнең 2п. $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$ булыуы килеп сыға. Шуға күрә, скаляр ҡабатландыҡтың комплекслы (дөйөм осраҡта) ҡиммәттәр ҡабул итеүенә ҡарамаҫтан, п.3 мәғәнәһе бар.

Алгебраик билдәләмә

n-үлсәмле ысын арауыҡта ике a = [a₁, a₂, ..., a_n] һәм b = [b₁, b₂, ..., b_n] векторҙары өсөн скаляр ҡабатландыҡ ошолай билдәләнә:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$.

Мәҫәлән, өс үлсәмле арауыҡта [1, 3, −5] һәм [4, −2, −1] векторҙарының ҡабатландығы ошолай иҫәпләнә:

${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}$

a = [a₁, a₂, ..., a_n] һәм b = [b₁, b₂, ..., b_n] комплекслы векторҙары өсөн скаляр ҡабатландыҡ ошолай билдәләнә:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}$.

Мәҫәлән, $[1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i$

Геометрик билдәләмә

A • B = |A| |B| cos(θ)

Әгәр векторҙың оҙонлоғо һәм векторҙар араһындағы мөйөш төшөнсәләренә билдәләмә, бәйһеҙ рәүештә скаляр ҡабатландыҡ төшөнсәһен индергәнгә тиклем бирелһә (классик геометрияла, ҡағиҙә булараҡ, шулай итәләр ҙә инде), ул саҡта скаляр ҡабатландыҡҡа билдәләмә ҡабатлашыусыларҙың оҙонлоғо һәм улар араһындағы мөйөш төшөнсәләре аша бирелә:

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$

Хәҙерге аксиоматика ғәҙәттә скаляр ҡабатландыҡтан башлап төҙөлә, ул саҡта векторҙың оҙонлоғо һәм векторҙар араһындағы мөйөш төшөнсәләре скаляр ҡабатландыҡ аша бирелә (түбәндәрәк ҡарағыҙ).

Бәйле билдәләмәләр

• Скаляр ҡабатландыҡ менән ысын сикле үлсәмле һыҙыҡлы арауыҡ Евклид арауығы тип атала, комплекслы — унитар тип.

Хәҙерге аксиоматик ҡарашта векторҙарҙың скаляр ҡабатландығы төшөнсәһе нигеҙендә түбәндәге сығарылма төшөнсәләр индерелә:

• Векторҙың оҙонлоғо , был төшөнсә аҫтында ғәҙәттә уның Евклид нормаһын аңлайбыҙ: $\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$ ('оҙонлоҡ' термины ғәҙәттә сикле үлсәмле векторҙарға ҡулланыла, әммә кәкере һыҙыҡлы юлдың оҙонлоғон иҫәпләү осрағында йыш ҡына сикһеҙ үлсәмле арауыҡ осрағында ла ҡулланыла).
• Евклид арауығының (айырым осраҡта, Евклид яҫылығының) нулдән айырмалы векторҙары араһындағы мөйөш тип, косинусы был векторҙарҙың скаляр ҡабатландығының уларҙың оҙонлоҡтарының (нормаларының) ҡабатландығына сағыштырмаһына тигеҙ булған һан атала: $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \varphi .$
  Арауыҡ уйланма Евклид арауығы булһа, мөйөш төшөнсәһе векторҙар төҙөгән сектор эсендә изотроп тура һыҙыҡтары булмаған векторҙар өсөн генә билдәләнә. Мөйөш төшөнсәһе үҙе был осраҡта, гиперболик косинусы был векторҙарҙың скаляр ҡабатландығының уларҙың оҙонлоҡтары (нормалары) ҡабатландығына сағыштырмаһына тигеҙ булған һан булараҡ индерелә: $|\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .$

• Скаляр ҡабатландыҡтары нулгә тигеҙ булған векторҙар ортогональ (перпендикуляр) векторҙар тип аталалар. Был билдәләмә скаляр ҡабатландыҡ ыңғай билдәләнгән теләһә ниндәй арауыҡҡа ҡулланыла. Мәҫәлән, ортогональ күпбыуындар ниндәйҙер Гильберт арауығында ысынында бер-береһенә ортогональ (был билдәләмә мәғәнәһендә).
• Скаляр ҡабатландыҡ ыңғай билдәләнгән арауыҡ (ысын йәки комплекслы) Гильберт алды арауығы тип атала.
  • Шуның менән бергә скаляр ҡабатландыҡ ыңғай билдәләнгән сикле үлсәмле арауыҡ шулай уҡ Евклид арауығы тип атала, ә комплекслыһы — Эрмит йәки унитар арауыҡ тип атала.
• Скаляр ҡабатландыҡтың тамғаһы билдәләнмәгән осраҡта индефинитлы метрикалы арауыҡ тип атала. Бындай арауыҡтарҙа скаляр ҡабатландыҡ норманы килтереп сығармай (һәм ул ғәҙәттә өҫтәлмә индерелә). Сикле үлсәмле индефинитлы метрикалы ысын арауыҡ Уйҙырма Евклид арауығы тип атала (бындай арауыҡтың мөһим айырым осрағы булып Минковский арауығы тора). Сикһеҙ үлсәмле индефинитлы метрикалы арауыҡтар араһында Понтрягин арауығы һәм Крейн арауығы мөһим роль уйнайҙар.

Миҫалдар

• $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},x_{3})$ векторҙарының өс үлсәмле ысын векторлы арауығында скаляр ҡабатландыҡты $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$ формулаһы буйынса индереү был арауыҡты Евклид арауығына әйләндерә. Ошоға оҡшаш раҫлау теләһә ниндәй үлсәмле Евклид арауығы өсөн дөрөҫ (ул саҡта суммаға арауыҡтың үлсәменә тигеҙ булған һанда быуындар инә).
  • Теләһә ниндәй Евклид арауығында (n-үлсәмле) һәр саҡ ортонормалаштырылған базис ${\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}}$ һайларға мөмкин
    

вектоҙарҙы был базис буйынса тарҡатҡанда:

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}$,

$\mathbf {b} =b_{1}\mathbf {e} _{1}+b_{2}\mathbf {e} _{2}+\dots +b_{n}\mathbf {e} _{n}$ һ. б. ш.,

скаляр ҡабатландыҡ түбәндәге формула менән күрһәтелә:

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}$.

• Шундай уҡ, ләкин комплекслы, арауыҡта, скаляр ҡабатландыҡ икенсерәк формула буйынса индерелә: $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+x_{2}{\overline {y_{2}}}+x_{3}{\overline {y_{3}}}$. Бында ${\overline {a}}$ аша $\ a$-ға комплекслы бәйле һан тамғаланған. Был билдәләмәгә ярашлы скаляр ҡабатландыҡ ыңғай билдәләнгән була. Комплекслы бәйле булмағанда скаляр ҡабатландыҡтың эрмитовлыҡ аксиомаһы боҙолор ине, тимәк, вектор нормаһының уның аша билдәләнгән ысын булыуына өлгәшеп булмаҫ ине, йәғни ғәҙәти мәғәнәлә норма килеп сыҡмаҫ ине.
• Ниндәйҙер Ω өлкәһендә үлсәнмәле квадраттар менән интеграцияланыусы ысын функциялар арауығында ыңғай билдәләнгән скаляр ҡабатландыҡ билдәләмәһе индерергә мөмкин:

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{\Omega }f(x)g(x)d\Omega$

• Комплекслы функциялар өсөн шундай осраҡта, әгәр скаляр ҡабатландыҡтың эрмитовлығы (һәм ыңғай билдәләнгән булыуы) талап ителһә, f-ҡа йәки g-ға интеграл аҫтында комплекслы бәйле өҫтәргә кәрәк.
• Ортонормалаштырылмаған базистар ҡулланғанда скаляр ҡабатландыҡ векторҙарҙың компоненттары аша метрик тензор $g_{ij}$ ҡатнашлығында күрһәтелә:

$\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum g_{ij}a^{i}b^{j}$

был саҡта метрика үҙе (дөрөҫөрәге, уның был базис аша күренеше) базис векторҙарҙың скаляр ҡабатландығы $f_{i}\$ менән ошолай бәйләнгән:

$g_{ij}=\langle \mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j}\rangle$

• • (ортонормалаштырылған базистарҙа метрика тривиаль, йәғни берәмек матрица $g_{ij}=\delta _{ij}$ аша күрһәтелә)
• Скаляр ҡабатландыҡтың шундай конструкцияларын сикһеҙ үлсәмле арауыҡтарҙа ла индерергә мөмкин, мәҫәлән, функциялар арауыҡтарында:

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{(\Omega _{1}\times \Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})$

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega$

бында К — ыңғай билдәләнгән, беренсе осраҡта аргументтарҙың урынын алмаштырыуға ҡарата симметрик (комплекслы x өсөн — эрмитов) функция.

Үҙсәнлектәре

• косинустар теоремаһы скаляр ҡабатландыҡ ҡулланып бик еңел индерелә:

  $|BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}$

• Векторҙар араһындағы мөйөш:

  $\alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}$

• Векторҙар араһындағы мөйөшкә баһа:

  $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ формулаһында тамға тик мөйөш косинусы аша билдәләнә (векторҙарҙың нормаһы һәр саҡ ыңғай). Шуға күрә скаляр ҡабатландыҡ > 0, әгәр векторҙар араһындағы мөйөш ҡыҫынҡы булһа, һәм < 0, әгәр векторҙар араһындағы мөйөш йәйенке булһа.

• Берәмек вектор $\mathbf {e}$ менән билдәләнгән йүнәлешкә $\mathbf {a}$ векторының проекцияһы:

  $a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$, так как $|\mathbf {e} |=1$

• $\mathbf {a}$ һәм $\mathbf {b}$ векторҙарының ортогоналлек (перпендикуляр булыу) шарты:

$\mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0$

• Ике $\mathbf {a} \$ һәм $\mathbf {b} \$ векторҙарында төҙөлгән параллелограмм майҙаны

${\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\$ тигеҙ.

Коши — Буняковский тигеҙһеҙлеге

Скаляр ҡабатландыҡлы һыҙыҡлы арауыҡтың теләһә ниндәй $\mathbf {x}$ һәм $\mathbf {y}$ элементтары өсөн [1] 2009 йыл 27 февраль архивланған.

$\vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle$ тигеҙһеҙлеге үтәлә

Тарихы

Скаляр ҡабатландыҡ У. Гамильтон тарафынан 1846 йылда, кватерниондар менән бәйле векторлы ҡабатландыҡ менән бер үк ваҡытта индерелә — ярашлы рәүештә, скаляр өлөшө нулгә тигеҙ булған ике кватернион ҡабатландығының скаляр һәм вектор өлөшө кеүек.

Вариациялар һәм дөйөмләштереү

Тензорлы алгебрала сикле үлсәмле скаляр ҡабатландыҡтың иң ябай дөйөмләштереүе булып ҡабатланыусы индекстар буйынса төргәк тора. Шундай уҡ дөйөмләштереүҙе сикһеҙ үлсәмле осраҡта ла эшләргә мөмкин (Функцияларҙың сикһеҙ үлсәмле арауыҡтары өсөн — миҫалдарҙы ҡарағыҙ (юғарыла)).

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Псевдоскалярное произведение
• Внешнее произведение
• Векторное произведение
• Смешанное произведение
• Гильбертово пространство
• Метрический тензор

Һылтанмалар

• Викимилектә Скаляр ҡабатландыҡ темаһы буйынса медиафайлдар бар.