Ҡулса өҫтөндә модуль

Ҡулса өҫтөндә модуль — ике алгебраик төшөнсәне — векторлы арауыҡ (ысынында, векторлы арауыҡ — ялан өҫтөндә модуль ул), һәм Абель төркөмө (ул бөтөн һандар ҡулсаһы $\mathbb {Z}$ өҫтөндә модуль булып тора) төшөнсәләрен дөйөмләштереү булып торған, дөйөм алгебраның төп төшөнсәләренең береһе.

Модуль төшөнсәһе коммутатив алгебраның нигеҙендә ята, ул математикианың

• алгебраик геометрия,
• гомологик алгебра,
• төркөмдәрҙе күҙаллауҙар теорияһы кеүек төрлө өлкәләрендә мөһим роль уйнай.

Дәлилдәр

Векторлы арауыҡта скалярҙар күмәклеге ялан барлыҡҡа килтерә һәм скалярға ҡабатлау ҡабатлауҙың дистрибутивлығы кеүек бер нисә аксиоманы ҡәнәғәтләндерә. Модулдә иһә тик скалярҙар ҡулса (ассоциатив берәмек менән) барлыҡҡа килтереүе талап ителә, аксиомалар иһә шул уҡ ҡалалар.

Модулдәр теорияһының байтаҡ ҙур өлөшө векторлы арауыҡтарҙың билдәле үҙсәнлектәрен уларға дөйөмләштерергә маташыуҙарҙан тора, ҡайһы берҙә бының өсөн, төп идеалдар өлкәһе кеүек, «үҙҙәрен яҡшы тотоусы» ҡулсалар өҫтөндә модулдәр менән сикләнергә тура килә. Ләкин дөйөм алғанда модулдәр векторлы арауыҡҡа ҡарағанда ҡатмарлыраҡ төҙөлгәндәр. Мәҫәлән, һәр модулдә лә базис һайлап булмай, һәм хатта был мөмкин булғандарының да, төрлө һандағы элементтары булған бер нисә базисы (коммутатив булмаған ҡулса осрағында) булырға мөмкин.

Билдәләмәләр

$R\$ — (ҡағиҙә булараҡ, $1\in R$ берәмек элементы менән коммутатив тип иҫәпләнеүсе) ҡулса булһын, ти. $R$-модуль тип, $R\$ ҡулсаһының элементтарына ҡабатлау ғәмәле менән

$R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm,$

түбәндәге шарттарҙы ҡәнәғәтләндергән:

1) $\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m),$

2) $\forall m\in M\quad 1m=m.$

3) $\forall m_{1},m_{2}\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},$

4) $\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m$

$M\$ Абель төркөмө атала:

Иҫкәрмә: Коммутатив булмаған ҡулса осрағында бындай модулдәр йыш ҡына һул тип аталалар. Уң модулдәр тип был осраҡта 1) шарт түбәндәге шарт менән алмаштырылған объекттар атала:

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{2}(r_{1}m),$

уны, ҡулсаның элементын $m$ модуль элементынан уң яҡта яҙып формулировкалау уңайлыраҡ:

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2},$ терминология ошонан килеп сыҡҡан да инде.

Коммутатив $R\$ ҡулса осрағында һул һәм уң модуль билдәләмәләре тап килә һәм уларҙы модуль тип кенә атайҙар.

Теләһә ниндәй $R\$ ҡулсаһын үҙенең өҫтөндә модуль итеп ҡарарға була (коммутатив булмаған осраҡта ул шулай уҡ үҙе өҫтөндә уң модуль була).

Бәйле билдәләмәләр һәм үҙсәнлектәре

$M_{R}\$ модуленең аҫмодуле тип $M\$ төркөмөнөң, $R\$-ҙың элементтарына ҡабатлауға ҡарата йомоҡ $B\$ аҫтөркөмө атала, йәғни шундай, бында:

$\forall b\in B,\ r\in R\ :rb\in B$.

Әгәр $R$ ҡулсаһын үҙе өҫтөндә һул модуль итеп ҡарағанда, ул саҡта уның аҫмодулдәре һул идеалдар булалар, әгәр ҡулсаны уң модуль итеп ҡараһаң, ул саҡта уң идеалдар булалар, коммутатив булған осраҡта уң һәм һул идеалдар төшөнсәләре тап килә.

$A$ һәм $B$-ның $R$-модулдәренең гомоморфизмы йәки $R$-гомоморфизмы тип, $\phi (ra)=r\phi (a)\forall a\in A,r\in R$ өҫтәлмә шарты үтәлгән $\phi :A\to B$ төркөм гомоморфизмы атала. Бөтә шундай гомоморфизмдар күмәклеген $Hom_{R}(A,\ B)$ аша тамғалайҙар. Был күмәклектә, 0, $-$ һәм $+$ түбәндәге тигеҙлектәр менән билдәләп, Абель төркөмөнөң структураһын индерергә була:

$0a=0,\ (-\phi )a=-(\phi a),\ (\phi +\psi )a=\phi a+\psi a$.

Әгәр $N$ — $M$ модуленең аҫмодуле булһа, $M/N$ фактормодулен, элементтар араһында эквивалентлыҡ бәйләнешен түбәндәгесә билдәләп, $M$ элементтарының эквивалентлыҡ кластары күмәклеге итеп ҡарарға була:

$a\sim b$ шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр $b-a$ $N$-ға инһә.

Фактормодуль элементтарын ғәҙәттә $[a]=\{a+n:n\in N\}=a+N$ тип тамғалайҙар. Ҡушыу һәм ҡабатлау операциялары $(a+N)+(b+N)=(a+b+N),r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)$ формулалары менән билдәләнә.

Миҫалдар

• Теләһә ниндәй Абель төркөмө — бөтөн һандар ҡулсаһы өҫтөндә модуль.
• Теләһә ниндәй $n$-сикле Абель төркөмө (йәғни шундай $A$ Абель төркөмө, бында $nA=0$) — $n$ модуле буйынса вычеттар кластарының $\mathbb {Z} _{n}$ ҡулсаһы өҫтөндә модуле.
• $F$ яланы өҫтөндә һыҙыҡлы арауыҡ $F$ өҫтөндә модуль була.
• $V$ һыҙыҡлы арауығы — үҙенең бөтә $L(V)$ һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәренең ҡулсаһы өҫтөндә модуль
• $M$ шыма төрлөлөгөндә дифференциаль формалар $M$-да бөтә шыма функциялар ҡулсаһы өҫтөндә модуленең тәбиғи структураһы менән тәьмин ителгәндәр.
• Әгәр I — R ҡулсаһының һул идеалы булһа, ул был ҡулса өҫтөндә һул модуль була. Оҡшаш рәүештә, уң идеалдар уң модулдәр булалар.

Модулдәрҙең төрҙәре

• Сикле барлыҡҡа килтерелгән модулдәр
• Циклик модулдәр: модуль, әгәр ул бер элемент менән барлыҡҡа килтерелһә, циклик тип атала.
• Ирекле модулдәр
• Проектлы модулдәр
• Инъектив модулдәр
• Тарҡалмай торған модулдәр: модуль, әгәр ул нулдән айырмалы булһа һәм уны ике нулдән айырмалы модулдәрҙең тура суммаһына тарҡатып булмаһа, тарҡалмай торған тип атала.
• Тулыһынса тарҡалыусы модулдәр: тарҡалмай торған модулдәрҙең тура суммаһына тарҡатып була торған модулдәр.
• Ябай модулдәр
• Ярым ябай модулдәр
• Артин модулдәре
• Нётер модулдәре

Тарихы

[[Категория:Википедия:Сығанаҡтарға һылтанмалары булмаған мәҡәләләр ]]

Модулдәрҙең иң ябай миҫалдары (сикле Абель төркөмдәре, йәғни $\mathbb {Z}$-модулдәр), бинар квадратик формалар кластары төркөмдәре булараҡ, Гаусста уҡ күренә башлайҙар. Модулдең дөйөм төшөнсәһе беренсе башлап XIX быуаттың 60—80-се йылдарында Дедекиндтың һәм Кронекерҙың алгебраик һандар һәм алгебраик функциялар яландары арифметикаһына арналған хеҙмәттәрендә осрай. Сама менән шул уҡ осорҙа алып барылған сикле үлсәмле ассоциатив алгебраны, һәм айырып әйткәндә сикле төркөмдәрҙең төркөм алгебраларын тикшеренеүҙәр (Б. Пирс, Ф. Фробениус), ҡайһы бер коммутатив булмаған ҡулсалар идеалдарын өйрәнеүгә килтерә. Тәүҙә модулдәр теорияһы башлыса ниндәйҙер ҡулсаның идеалдар теорияһы булараҡ үҫешә. Тик һуңғараҡ Э. Нётер һәм В. Крулль (W. Krull) хеҙмәттәрендә, күп һөҙөмтәләрҙе идеалдар ғына түгел, ә ирекле модулдәр терминдарында әйтеү һәм иҫбатлау уңайлыраҡ икәне күреп ҡалына.

Әҙәбиәт

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.