Күп һыҙыҡлы алгебра

Күп һыҙыҡлы а́лгебра (рус. Полилинейная алгебра) — алгебраның аргументтарҙың һәр береһе буйынса һыҙыҡлы бер нисә үҙгәреүсәнле функцияларҙа һыҙыҡлы алгебра төшөнсәһен киңәйтеүсе бүлеге.

Төп билдәләмәләр

Күп һыҙыҡлы алгебраның төп объекты булып:

$f:V_{1}\times \dots \times V_{n}\rightarrow W$ күп һыҙыҡлы ($n$-һыҙыҡлы) сағылышы тора,

бында $V_{1},\dots ,V_{n}$ һәм $W$ — билдәле бер $K$ яланы өҫтөндә векторлы арауыҡтар. $n$-һыҙыҡлы булыу шарты, ҡәтғи әйткәндә, һәр $i=1,\dots ,n$ өсөн

$(\pi _{i}f)_{\{x_{k}|k\neq i\}}:V_{k}\rightarrow W;\quad (\pi _{i}f)_{\{x_{k}|k\neq i\}}(x_{i})=f(x_{1},\dots ,x_{n})$,

$n-1$ $\{x_{k}|k\neq i\}$ үҙгәреүсәндәренән параметрҙар кеүек бәйле булған сағылыштар ғаиләһе һыҙыҡлы сағылыштарҙан тороуын аңлата. Шулай уҡ $n$-һыҙыҡлы сағылышты, $V_{n}$-дан $(n-1)$-һыҙыҡлы сағылыштарҙың векторлы арауығына һыҙыҡлы сағылыш кеүек, (индукция буйынса) рекурсив булыуын асыҡлап була.

• 2-һыҙыҡлы сағылыш биһыҙыҡлы, 3-һыҙыҡлы сағылыш — өс һыҙыҡлы тип атала. Әгәр $W$ $K$ яланы менән тап килһә, сағылыш күп һыҙыҡлы форма тип атала.

• Күп һыҙыҡлы форма, әгәр теләһә ниндәй ике аргументты алмаштырып ҡуйғанда, һәм ошонан сығып бөтә аргументтарҙы теләһә нисек алмаштырғанда уның ҡиммәте үҙгәрмәһә, симметрик тип атала.
• Күп һыҙыҡлы форма, әгәр теләһә ниндәй ике аргументты алмаштырып ҡуйғанда уның ҡиммәте ҡапма-ҡаршыға үҙгәрһә, ҡыя симметрик (антисимметрик) тип атала. Тимәк, бөтә аргументтарҙы алмаштырып ҡуйғанда, әгәр алмаштырма йоп булһа уның ҡиммәте үҙгәрмәй, һәм әгәр алмаштырма таҡ булһа уның ҡиммәте ҡапма-ҡаршыға үҙгәрә.
• Теорема: Һәр $n>1$ өсөн берҙән-бер (константаға ҡабатлауға тиклем аныҡлыҡ менән — $K$ яланының элементы) ҡыя симметрик $n$-һыҙыҡлы форма $f:V_{1}\times \dots \times V_{n}\rightarrow K$ бар. Был — $V_{1},\dots ,V_{n}$ векторҙарынан төҙөлгән матрицаның билдәләүсеһе.

• Сағылыштарҙың векторлы арауыҡтарҙан (ялан өҫтөндә) ҡулса өҫтөндә модулдәргә дөйөмләштерелеүе мөмкин.

Квадратик һәм биһыҙыҡлы формалар

Алгебраик формалар (векторлы арауыҡтарҙа вектор координаталарынан тиң күпбыуындар менән бирелгән тиң күпбыуындар) һыҙыҡлы алгебрала мөһим өйрәнеү объекты булып торалар. Уларҙан квадрат формалар һәм биһыҙыҡлы формалар ҙур ҡыҙыҡһыныу уяталар. Ләкин шулай уҡ юғары дәрәжәле формалар, күп һыҙыҡлы формалар, поликвадратик формалар ҙа (бер ярым һыҙыҡлы формаларҙың махсус төрҙәре, Эрмит формалары) өйрәнеләләр.

Алгебраик формаларҙы өйрәнгәндә һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәр (координаталарҙы алмаштарыу) ваҡытында коэффициенттарҙың үҙгәреү закондары, һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәр ярҙамында ҡануни күренешкә килтереү ысулдары һәм формаларҙы үҙ-ара күрһәтеү төп мәсьәләләр булып торалар

Квадрат форма — математиканың күп бүлектәрендә, атап әйткәндә, һандар теорияһында, төркөмдәр теорияһында (ортогональ төркөм), дифференциаль геометрияла, Ли алгебраларында (Киллинг формаһы^[en]) телгә алынған, $n$ үҙгәреүсәнле ($n$ — ҡаралған арауыҡтың үлсәнеше) төп яланда икенсе дәрәжә тиң күпбыуын булараҡ билдәләнгән һыҙыҡлы алгебра объекты.

Квадратик форма $n\times n$ матрицаһы рәүешендә күрһәтелә ала, ул (төп ялан характеристикаһы 2-нән айырмалы булғанда ла) симметрик була, ә һәр симметрик матрицаға квадратик форма ярашлы. Ярашлы рәүештә, квадратик формалар өҫтөндә матрицалар өҫтөндәге кеүек шул уҡ операциялар индерелә (скалярға ҡабатлау, ҡушыу). Квадратик формалар ҡануни күренешкә — диагоналле формаға килтерелә алалар:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}=a_{1}x_{1}^{2}+a_{2}x_{2}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}$,

(килтереүҙең практик ысулдарыны береһе булып Лагранж ысулы тора) һәм $[a_{1},\dots ,a_{n}]$ ярашлы коэффициенттар менән динагональ формаға килтерелгән барлыҡ квадрат формаларҙың эквивалентлыҡ класы булараҡ ҡарала. Ошондай эквивалентлыҡ кластары эсендә ранг һәм сигнатура һаҡлана.

Һыҙыҡлы формалар (беренсе дәрәжә тиң күпбыуындар) парын ике үҙгәреүсәндәр системаһынан (һыҙыҡлы арауыҡтар терминында — ике векторлы арауыҡтың декарт ҡабатландығы өҫтөндә, дөйөмөрәк осраҡта — берәмеге булған бер ҡулса өҫтөндә һул һәм уң унитар модулдәрҙең ҡабатландығы өҫтөндә) берҙәм функция булараҡ ҡарау, биһыҙыҡлы форма төшөнсәһенә килтерә (тензорлы алгебра күҙлегенән ҡарағанда, биһыҙыҡлы форма $(2,0)$ ранглы тензор итеп ҡарала). Квадрат форма булараҡ, биһыҙыҡлы форма матрица итеп күрһәтелә ала, шул уҡ ваҡытта һәр биһыҙыҡлы форма $B$ квадрат форма итеп күрһәтелә ала:

$Q_{b}(x)=B(x,y)+B(y,x)$

өҫтәүенә, вектор арауығы характеристикаһы 2-нән айырмалы ялан өҫтөндә билдәләнһә, үҙ-ара берҙән-бер рәүештә.

Айырыуса әһәмиәтле булыу сәбәпле (һыҙыҡлы алгебраның үҙе өсөн дә, ҡушымталары өсөн дә) симметрик $(B(x,y)=B(y,x))$ һәм $(B(x,y)=-B(y,x))$ ҡыя симметрик биһыҙыҡлы формаларҙың үҙсәлектәре ентекләберәк өйрәнелә.

Башҡа миҫалдар

Формализм

• Тензорлы иҫәпләмә
• Клиффорд алгебраһы

Объекттар

• Күп вектор
• Грассманиан

Операциялар

• Тензорлы ҡабатландыҡ — һыҙыҡлы арауҡ барлыҡҡа килтерә, ләкин ҡабатландыҡта һыҙыҡлы сағылыштар баштағы арауыҡтарҙа күп һыҙыҡлы сағылыштар менән тап киләләр.

Әҙәбиәт

[ Күп һыҙыҡлы алгебра] — Математической энциклопедии. А. Л. Онищик

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.