Векторлы арауыҡ

Һыҙыҡлы арауыҡ бите бында йүнәтелә. Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Һыҙыҡлы арауыҡ (мәғәнәләр).

Ве́кторлы (йәки һыҙыҡлы) арауыҡ — векторҙар тип аталған, улар өсөн бер-береһенә ҡушыу һәм һанға — скалярға ҡабатлау ғәмәлдәре билдәләнгән элементтар йыйынтығы булған математик структура ул. Был ғәмәлдәр һигеҙ аксиомаға буйһона.^[⇨] Скалярҙар ысын, комплекслы йәки теләһә ниндәй икенсе һандар яланы элементтары булырға мөмкиндәр. Шундай арауыҡтың айырым осрағы булып ғәҙәттәге өс үлсәмле Евклид арауығы тора, уның векторҙары, миҫалға, физик көстө һүрәтләү өсөн ҡулланылалар. Шул уҡ ваҡытта векторҙың, векторлы арауыҡтың элементы булараҡ, йүнәлешле киҫек рәүешендә бирелеүе мотлаҡ түгел икәнен билдәләп китергә кәрәк. «Вектор» төшөнсәһен теләһә ниндәй тәбиғәтле векторлы арауыҡ элементына тиклем дөйөмләштереү, терминдарҙың буталыуына килтермәй генә түгел, теләһә ниндәй тәбиғәтле арауыҡтар өсөн дөрөҫ булған күп кенә һөҙөмтәләрҙе асыҡларға йәки хатта алдан күрергә мөмкинлек бирә.

Векторлы арауыҡтар һыҙыҡлы алгебраның өйрәнеү темаһы булып торалар. Векторлы арауыҡтарҙың төп характеристикаларының береһе булып уның үлсәмле булыуы тора.^[⇨] Үлсәм арауыҡтың һыҙыҡлы бәйһеҙ элементтарының иң ҙур һаны, йәғни, тупаҫ геометрик интерпретацияға мөрәжәғәт итһәк, бер береһе аша тик ҡушыу һәм скалярға ҡабатлау ғәмәле менән генә күрһәтелә алмаған йүнәлештәр һаны. Векторлы арауыҡҡа өҫтәлмә структуралар тағырға мөмкин, мәҫәлән, норма йәки скаляр ҡабатлау. Шундай арауыҡтар математик анализда тәбиғи рәүештә барлыҡҡа киләләр, башлыса векторҙар сифатында функциялар сығыш яһаған сикһеҙ үлсәмле функциональ арауыҡтар рәүешендә. Анализдың күп проблемалары векторҙар эҙмә-эҙлелеге бирелгән векторға йыйыламы икәнен асыҡлауҙы талап итә. Өҫтәлмә структуралары, күпселек осраҡта — яҡынлыҡ һәм өҙлөкһөҙлөк төшөнсәләрен асыҡларға ярҙам итеүсе ҡулайлы топологиялары булған векторлы арауыҡтарҙа ошондай һорауҙарҙы хәл итеү мөмкин. Шундай топологик векторлы арауыҡтар, атап әйткәндә, Банахов һәм Гильберт арауыҡтары, тәрән өйрәнеүҙе талап итәлр. Векторлы арауыҡ төшөнсәһен индереүҙе алдан һиҙҙереүсе беренсе хеҙмәттәр XVII быуатҡа ҡарай. Тап шул ваҡытта аналитик геометрия, матрицалар, һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системалары, Евклид векторҙары тураһында ғилемдәр үҫеш алалар.

Билдәләмә

$F$ яланында һыҙыҡлы, йәки векторлы арауыҡ $V\left(F\right)$ — тәртипкә килтерелгән дүртлек ул $(V,F,+,\cdot )$, бында

• $V$ — векторҙар тип аталған ирекле тәбиғәтле элементтарҙың буш булмаған күмәклеге;
• $F$ — элементтары скалярҙар тип аталған ялан;
• Векторҙарҙы ҡушыу операцияһы билдәләнә $V\times V\to V$, ул $V$ күмәклегенең һәр $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ элементтар парына $V$ күмәклегенең, уларҙың суммаһы тип аталған һәм $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ тип тамғаланған берҙән бер элементын ярашлы ҡуя;
• Векторҙарҙы скалярҙарға ҡабатлау операцияһы билдәләнә $F\times V\to V$, ул $F$ яланының һәр $\lambda$ элементына һәм $V$ күмәклегенең һәр $\mathbf {x}$ элементына $V$ күмәклегенең, $\lambda \cdot \mathbf {x}$ йәки $\lambda \mathbf {x}$ тип тамғаланған берҙән бер элементын ярашлы ҡуя;

шуның менән бергә бирелгән операциялар артабанғы аксиомаларҙы — һыҙыҡлы (векторлы) арауыҡ аксиомаларын ҡәнәғәтләндерә:

1. теләһә ниндәй $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$ өсөн $\mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x}$ (ҡушыуҙың коммутативлығы);
2. теләһә ниндәй $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V$ өсөн $\mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z} )=(\mathbf {x} +\mathbf {y} )+\mathbf {z}$ (ҡушыуҙың ассоциативлығы);
3. нуль вектор йәки ябай ғына $V$ арауығының нуле тип аталған шундай элемент $\mathbf {0} \in V$ бар, теләһә ниндәй $\mathbf {x} \in V$ өсөн $\mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x}$ тигеҙлеге үтәлә (ҡушыуға ҡарата нейтраль элементтың булыуы);
4. теләһә ниндәй $\mathbf {x} \in V$ векторы өсөн, $\mathbf {x}$ векторына ҡапма-ҡаршы вектор тип аталған, шундай $-\mathbf {x} \in V$ элементы бар, бында $\mathbf {x} +(-\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ тигеҙлеге үтәлә;
5. $\alpha (\beta \mathbf {x} )=(\alpha \beta )\mathbf {x}$ (скалярға ҡабатлауҙың ассоциативлығы);
6. $1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ (унитарлыҡ: F яланының нейтраль (ҡабатлау буйынса) элементына ҡабатлау векторҙы һаҡлай).
7. $(\alpha +\beta )\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x}$ (скалярҙарҙың суммаһына ҡарата векторҙы скалярға ҡабатлауҙың дистрибутивлығы);
8. $\alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y}$(векторҙарҙы ҡушыуға ҡарата векторҙы скалярға ҡабатлауҙың дистрибутивлығы).

Шулай итеп, ҡушыу ғәмәле $V$ күмәклегендә (аддитив) Абель төркөмө структураһын бирә.

Бер үк элементтар күмәклегендә, ләкин төрлө яландарҙа бирелгән векторлы арауыҡтар, төрлө векторлы арауыҡтар булалар (мәҫәлән, ысын һандар пары күмәклеге $\mathbb {R} ^{2}$ ысын һандар яланында ике үлсәмле векторлы арауыҡ йәки комплекслы һандар яланында бер үлсәмле булырға мөмкин).

Иң ябай үҙсәнлектәре

1. Векторлы арауыҡ ҡушыу буйынса Абель төркөмө була.
2. Нейтраль элемент $\mathbf {0} \in V$ берҙән бер,был төркөмдәр үҙсәнлегенән килеп сыға.
3. Теләһә ниндәй $\mathbf {x} \in V$ өсөн $0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0}$.
4. Теләһә ниндәй $\mathbf {x} \in V$ өсөн ҡапма-ҡаршы элемент $-\mathbf {x} \in V$ берҙән бер,был төркөмдәр үҙсәнлегенән килеп сыға.
5. Теләһә ниндәй $\mathbf {x} \in V$ өсөн $1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x}$ .
6. Теләһә ниндәй $\alpha \in F$ һәм $\mathbf {x} \in V$ өсөн $(-\alpha )\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x} )=-(\alpha \mathbf {x} )$.
7. Теләһә ниндәй $\alpha \in F$ өсөн $\alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$.

Бәйле билдәләмәләр һәм үҙсәнлектәр

Аҫарауыҡ

Алгебраик билдәләмә: Һыҙыҡлы аҫарауыҡ йәки векторлы аҫарауыҡ ― $V$ һыҙыҡлы арауығының шундай буш булмаған $K$ аҫарауығы, бында $K$ $V$-та билдәләнгән ҡушыу һәм скалярға ҡабатлау операцияларына ҡарата үҙе арауыҡ булып тора. Бөтә аҫарауыҡтар күмәклеге ғәҙәттә $\mathrm {Lat} (V)$ тип тамғалана. Аҫкүмәклек аҫарауыҡ булһын өсөн түбәндәге шарттарҙың үтәлеүе кәрәк һәм етерлек:

1. һәр $\mathbf {x} \in K$ векторы өсөн $\alpha \in F$-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә $\alpha \mathbf {x}$ векторы ла $K$-ға инә;
2. теләһә ниндәй $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K$ векторҙары өсөн $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ векторы шулай уҡ $K$-ға инә.

Һуңғы ике раҫлау түбәндәге раҫлауға эквивалентлы:

теләһә ниндәй $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K$ векторҙары өсөн $\alpha ,\beta \in F$-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә $\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}$ векторы шулай уҡ $K$-ға инә.

Атап әйткәндә, тик бер нуль векторҙан торған векторлы арауыҡ, теләһә ниндәй арауыҡтың аҫарауығы була; теләһә ниндәй арауыҡ үҙенең аҫарауығы була. Был ике аҫарауыҡ менән тап килмәгән аҫарауыҡтар үҙ йәки тривиаль булмаған аҫарауыҡтар тип аталалар.

Аҫарауыҡтарҙың үҙсәнлектәре

• Теләһә ниндәй аҫарауыҡтар ғаиләһе киҫелеше — яңынан аҫарауыҡ;
• $\{K_{i}\quad |\quad i\in 1\ldots N\}$ аҫарауыҡтарының суммаһы $K_{i}$-ҙың бөтә мөмкин булған элементтар суммаһынан торған күмәклек булараҡ билдәләнә:

  $\sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\quad |\quad \mathbf {x} _{i}\in K_{i}\quad (i\in 1\ldots N)\}$.

  • Аҫарауыҡтарҙың сикле ғаиләләре суммаһы — яңынан аҫарауыҡ.

Һыҙыҡлы комбинациялар

$\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}$ күренешендәге сикле сумма $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\in V$ элементтарының $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F$ коэффициенттары менән һыҙыҡлы комбинацияһы тип атала .

Ысынбарлыҡта был билдәләмә (һәм түбәндә килтерелгән) векторҙар комбинацияларына ғына түгел, ә шундай суммаларҙың мәғәнәһе булған теләһә ниндәй башҡа объекттарҙың комбинацияларына ҡулланыла ала (мәҫәлән, аффинлы арауыҡтың нөктәләр комбинацияларына).

Һыҙыҡлы комбинация атала:

• тривиаль булмаған тип, әгәр уның коэффициенттарының береһе булһа ла нулдән айырмалы булһа.
• барицентрик тип, әгәр уның коэффициенттарының суммаһы 1-гә тигеҙ булһа,
• ҡабарынҡы тип, әгәр уның коэффициенттарының суммаһы 1-гә тигеҙ булһа һәм бөтә коэффициенттар тиҫкәре булмаһа,
• баланслы, әгәр уның коэффициенттарының суммаһы 0-гә тигеҙ булһа.

Базис. Үлсәнеш

$\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ векторҙары һыҙыҡлы бәйле тип аталалар, әгәр уларҙың нулгә тигеҙ булған тривиаль булмаған һыҙыҡлы комбинацияһы булһа:

$\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0} ,\quad \ |\alpha _{1}|+|\alpha _{2}|+\ldots +|\alpha _{n}|\neq 0.$

Кире осраҡта был векторҙар һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ тип аталалар.

Был билдәләмә шундай дөйөмләштереүҙе рөхсәт итә: $V$ арауығынан векторҙарҙың сикһеҙ күмәклеге һыҙыҡлы бәйле тип атала, әгәр уның ниндәйҙер сикле аҫкүмәклеге һыҙыҡлы бәйле булһа, һәм һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ тип атала, әгәр уның теләһә ниндәй сикле аҫкүмәклеге һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ булһа.

Векторлы арауыҡтың максималь һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ элементтар күмәклегенең элементтары һаны (ҡеүәте) был күмәклекте һайлауға бәйле түгел икәнен күрһәтергә мөмкин. Был һан арауыҡтың рангы, йәки үлсәнеше тип атала, ә был күмәклек үҙе — базис (Га́мель базисы йәки һыҙыҡлы базис) тип атала. Базистың элементытарын базислы векторҙар тип атайҙар. Арауыҡтың үлсәнеше йыш ҡына ${\rm {dim}}$ символы менән тамғалана.

Шулай итеп, векторлы арауыҡтың үлсәме йә тиҫкәре булмаған бөтөн һан була (айырым алғанда, нулгә тигеҙ, әгәр арауыҡ бер генә нуль векторҙан торһа), йәки сикһеҙлек була (теүәлерәк әйткәндә, сикһеҙ күмәклектең ҡеүәте). Беренсе осраҡта векторлы арауыҡ сикле үлсәмле, ә икенсе осраҡта — сикһеҙ үлсәмле була (мәҫәлән, өҙлөкһөҙ функциялар арауығы сикһеҙ үлсәмле була). Традиция булараҡ, сикле үлсәмле векторлы арауыҡтарҙы һәм уларҙың сағылыштарын өйрәнеү һыҙыҡлы алгебраға ҡарай, ә сикһеҙ үлсәмле векторлы арауыҡтарҙы өйрәнеү — функциональ анализға ҡарай. Икенсе осраҡта бирелгән элементтың бирелгән сикһеҙ функциялар системаһы буйынса тарҡалыусанлығы мәсьәләһе һиҙелерлек роль уйнай, йәғни ярашлы сикһеҙ суммаларҙың йыйылыусанлығы, бының өсөн сикһеҙ үлсәмле векторлы арауыҡ йыйылыусанлыҡты билдәләргә мөмкинлек биреүсе өҫтәлмә структура менән бергә ҡарала, мәҫәлән, метрика йәки топология менән.

Базис үҙсәнлектәре:

• $n$-үлсәмле арауыҡтың теләһә ниндәй $n$ һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ элементтары был арауыҡтың базисын төҙөй.
• Теләһә ниндәй $\mathbf {x} \in V$ векторын (берҙән бер рәүештә) базислы элементтарҙың сикле һыҙыҡлы комбинацияһы күренешендә күрһәтергә мөмкин:

$\mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}$.

Һыҙыҡлы көплөк

$V$ һыҙыҡлы арауығының $X$ аҫкүмәклегенең ${\mathcal {V}}(X)$ һыҙыҡлы көплөгө — $V$ һыҙыҡлы арауығының $X$ ингән бөтә аҫарауыҡтарының киҫелеше.

Һыҙыҡлы көплөк $V$ һыҙыҡлы арауығының аҫарауығы була.

Һыҙыҡлы көплөк шулай уҡ $X$ барлыҡҡа килтергән аҫарауығы тип атала. Шулай уҡ, ${\mathcal {V}}(X)$ һыҙыҡлы көплөгө — $X$ күмәклегенә ябындырылған арауыҡ тип тә әйтәләр.

${\mathcal {V}}(X)$ һыҙыҡлы көплөгө $X$-тан алынған элементтарҙың төрлө сикле аҫсистемаларының бөтә мөмкин булған һыҙыҡлы комбинацияларынан тора. Айырым алғанда, әгәр $X$ — сикле күмәклек булһа, ул саҡта ${\mathcal {V}}(X)$ $X$-тың элементтарының бөтә һыҙыҡлы комбинацияларынан тора. Шулай итеп, нуль вектор һәр ваҡыт һыҙыҡлы көплөккә инә.

Әгәр $X$ — һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ күмәклек булһа, ул саҡта ул базис ${\mathcal {V}}(X)$ була һәм шуның менән уның үлсәмен билдәләй.

Миҫалдар

• Нуль арауыҡ, уның берҙән бер элементы ноль.
• Бөтә функциялар арауығы $X\to F$ сикле вәкилдәре менән $X$-тың ҡеүәтенә тигеҙ булған үлсәмле векторлы арауыҡ төҙөй.
• Ысын һандар яланы рациональ һандар яланында континуаль-үлсәмле векторлы арауыҡ кеүек ҡаралырға мөмкин.
• Теләһә ниндәй ялан үҙе өҫтөндә бер үлсәмле арауыҡ булып тора.
• Матрицалар һәм тензорҙар арауыҡтары һыҙыҡлы арауыҡтар төҙөйҙәр.

Өҫтәлмә структуралар

• Нормалаштырылған векторлы арауыҡ
• Метрическое векторлы арауыҡ
• Топологик векторлы арауыҡ
• Евклид арауығы
• Минковский арауығы
• Гильберт арауығы

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Аффинлы арауыҡ
• Ҡабарынҡы функционал
• Сикле үлсәмле арауыҡ
• Һыҙыҡлы бәйһеҙлек
• Һыҙыҡлы сағылыш
• Ҡулса өҫтөндә модуль
• Тура сумма
• Эйәртеүле арауыҡ
• Флаг

Әҙәбиәт

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Гельфанд И. М.  Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М.: Наука., 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.

• Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г.  Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
• Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.–Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.