Изоморфизм

Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Изоморфизм (значения).

\|-\|bgcolor=white\|Ике изоморфлы граф миҫалы. Изоморфизм бер графтың түбәләренә икенсе графтың шул уҡ төҫтәге түбәләрен ярашлы ҡуя: бер графта ике түбә ҡабырға менән тоташтырыла шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр икенсе графта шул уҡ төҫтәге түбәләр ҡабырға менән тоташтырылған булһа.

Изоморфи́зм (бор. грек. ἴσος теленән — «тигеҙ, бер төрлө, оҡшаш» һәм μορφή — «форма») — был бик дөйөм төшөнсә, математиканың төрлө бүлектәрендә төрлөсә билдәләнә. Изоморфизм ниндәйҙер структуралар бирелгән күмәклектәр (мәҫәлән, төркөмдәр, ҡулсалар, һыҙыҡлы арауыҡтар һәм башҡалар) өсөн билдәләнә. Дөйөм һыҙатта уны ошолай тасуирларға мөмкин: әгәр структура бирелгән ике күмәклек араһындағы әйләндерелмәле сағылыш (биекция) был структураны һаҡлаһа, ул изоморфизм тип атала. Әгәр бындай структуралар араһында изоморфизм булһа, улар изоморфлы тип аталалар. Изоморфизм һәр саҡ бындай структуралар класында эквивалентлылыҡ бәйләнеше бирә.

Шулай, мәҫәлән, ике граф,әгәр улар араһында изоморфизм булһа, изоморфлы тип атала: йәғни бер графтың түбәләренә икенсе графтың түбәләрен, беренсе графтың тоташтырылған түбәләренә икенсе графтың тоташтырылған түбәләре тап килерлек итеп ярашлы ҡуйып була һәм киреһенсә. Икенсе төрлө әйткәндә, ике граф изоморфлы, әгәр улар «бер төрлө» (түбәләренең исемен алмаштырыуға тиклем аныҡлыҡ менән) булһа.

Дөйөм осраҡта, араһында изоморфизм булған объекттар, был структура мәғәнәһендә «бер төрлө тәртипкә һалынған» булалар.

Изоморфлы системаларҙың икенсе классик миҫалы булып, билдәләнгән ҡушыу ғәмәле менән $\mathbb {R}$ бөтә ысын һандар күмәклеге һәм билдәләнгән ҡабатлау ғәмәле менән $\mathbb {R} _{+}$ ыңғай ысын һандар күмәклеге тора. $x\mapsto \exp(x)$ сағылышы был осраҡта изоморфизм була.

Дөйөм алгебра

Дөйөм алгебрала изоморфизм тип гомоморфизм булған әйләндерелмәле сағылыш атала. Түбәндә бер нисә миҫал килтерелә.

Төркөмдәр

$G$ һәм $H$ — ике төркөм булһын, ти. $f\colon G\to H$ биекцияһы, әгәр теләһә ниндәй $a,\;b\in G$ өсөн

f(a)f(b)=f(ab)

булһа, изоморфизм тип атала.

Әгәр төркөм топологик булһа, ярашлы топологик арауыҡтарҙың гомеоморфлы булыу шарты өҫтәлә.^[1]

Яландар

$F_{1}$ һәм $F_{2}$ — яландар булһын, ти. $f\colon F_{1}\to F_{2}$ биекцияһы, әгәр ул яландың ике ғәмәлен дә һаҡлаһа, йәғни теләһә ниндәй $a,b\in F_{1}$ өсөн

$f(a)+f(b)=f(a+b)$ ,
$f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)$ шарты үтәлһә, изоморфизм тип атала.

Миҫал. Коэффициенттары ысын һандар булған күпбыуындар ҡулсаһы $\mathbb {R} [x]$ өсөн $x^{2}+1$ күпбыуыны модуле буйынса фактор-ҡулса^[2] $\mathbb {C} :$ комплекслы һандар яланына изоморфлы ялан була.

\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbb {C}

Өҫтәлмә структуралы (тәртипкә килтерелгән яландар, топологик яландар Ҡалып:Һәм башҡалар) өсөн, биекция шулай уҡ был өҫтәлмә структураларҙы һаҡлай тигән шарт өҫтәлергә мөмкин.

Күмәклектәр теорияһы

Күмәклектәр теорияһында теләһә ниндәй биекция изоморфизм була.

Миҫалға, ике өлөшләтә тәртипкә килтерелгән күмәклек, әгәр улар араһында тәртипте һаҡлаусы биекция булһа, изоморфлы булалар^[3].

Категориялар теорияһында изоморфизм

Категориялар теорияһында изоморфизм әйләндерелмәле морфизм була, йәғни ул шундай морфизм $\varphi$ , уның өсөн $\varphi ^{-1}\circ \varphi$ һәм $\varphi \circ \varphi ^{-1}$ композициялары тождестволы морфизм булған $\varphi ^{-1}$ морфизмы бар. Төркөмдәр категориялары, ҡулсалар категориялары, векторлы арауыҡтар һәм башҡа структуралар категориялары билдәләмәләре, төркөмдәр, ҡулсалар, векторлы арауыҡтар изоморфизмының классик билдәләмәләре категорияла изоморфизмдың дөйөм билдәләмәһе менән тап килерлек итеп төҙөлә.

Нормалаштырылған арауыҡтар

Нормалаштырылған арауыҡтар өсөн уларҙың береһенең икенсеһенә сағылышы нормалаштырылған арауыҡтар изоморфизмы тип атала, әгәр ул һыҙыҡлы, өҙлөкһөҙ һәм биектив, һәм кире сағылыш шулай уҡ өҙлөкһөҙ булһа. Был мәғәнәлә изоморфизм һыҙыҡлы арауыҡтың һәм топологияның структураһын һаҡлай, ләкин норманы мотлаҡ һаҡламай. Әгәр изоморфизм норманы ла һаҡлаһа, ул изометрик изоморфизм йәки изометрия тип атала^[4].

Графтар теорияһы

Төп мәҡәлә: Изоморфизм графов

$G$ графы $H$ графына изоморфлы тип атала, әгәр $G$ графы түбәләре күмәклегенән $H$ графы түбәләре күмәклегенә, түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә булған $f$ биекцияһы булһа: әгәр $G$ графында $A$ түбәһенән $B$ түбәһенә ҡабырға булһа, ул саҡта $H$ графында $f(A)$ түбәһенән $f(B)$ түбәһенә ҡабырға булырға тейеш һәм киреһенсә — әгәр $H$ графында $A$ түбәһенән $B$ түбәһенә ҡабырға булһа, ул саҡта $G$ графында $f^{-1}(A)$ түбәһенән $f^{-1}(B)$ түбәһенә ҡабырға булырға тейеш. Ориентирлашҡан граф осрағында был биекция шулай уҡ ҡабырғаның ориентацияһын һаҡларға тейеш. Үлсәүле граф осрағында биекция шулай уҡ ҡабырғаның ауырлығын һаҡларға тейеш. Иҫәпләү ҡатмарлылығы теорияһында әлегә тиклем графтар изоморфлығы мәсьәләләре ҡатмарлылығы тураһында һорау асыҡ ҡала. Әлеге ваҡытта уның $P$ класына ингәнлеге лә, $NP$ -тулылығы ла иҫбат ителмәгән.

Бәйле билдәләмәләр

Алгебраик системаның үҙенә изоморфизмы автоморфизм тип атала.

Тарихы

Изоморфизм төшөнсәһе математикала төркөмдәргә ҡарата ҡулланылып барлыҡҡа килә һәм тәбиғи рәүештә математик структураларҙың киң класына таратыла.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

Изоморфизм төшөнсәһен (һәм башҡа яҡын төшөнсәләрҙе) аныҡлаусы ниндәйҙер дөйөм теория Бурбаки төркөмө тарафынан уларҙың «Теория множеств» (Глава 4. Структуралар) китабында тәҡдим ителә.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Иҫкәрмәләр

↑ Л. С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 392
↑ Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — С. 200—201. — 416 с.
↑ Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. стр. 48
↑ Петр Бородин, А. Савчук, И. Шейпак. Задачи по функциональному анализу. — МЦНМО, 2017. — С. 28. — 337 с. — ISBN 9785040485147.

Әҙәбиәт

Ван дер Варден Б. Л. Алгебра.(недоступная ссылка) СПб.: Лань, 2004, 624 стр., ISBN 5-8114-0552-9.
Понтрягин, Лев Семёнович. Непрерывные группы. — М.: УРСС, — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.

Һылтанмалар

Земятченский П. А. Изоморфизм // Брокгауз һәм Ефрондың энциклопедик һүҙлеге: 86 томда (82 т. һәм 4 өҫтәмә том). — СПб., 1890—1907. (рус.)

[Pontr_392-1] Л. С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 392

[2] Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984. — С. 200—201. — 416 с.

[Shen_48-3] Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. стр. 48

[4] Петр Бородин, А. Савчук, И. Шейпак. Задачи по функциональному анализу. — МЦНМО, 2017. — С. 28. — 337 с. — ISBN 9785040485147.

[1]

[2]

[3]

[4]