Яҫылыҡ

геометрия объекты

Яҫылыҡ — геометрияның төп төшөнсәләренең береһе. Геометрияның логик төҙөлөшөндә яҫылыҡ төшөнсәһе тәүге төшөнсәләрҙең береһе итеп ҡабул ителә, ул геометрияның аксиомалары аша ситләтеп кенә билдәләнә.

Яҫылыҡ
Закон йәки теорема формулаһы
Commons-logo.svg Яҫылыҡ Викимилектә
Ике киҫешеүсе яҫылыҡ

Яҫылыҡ — тура һыҙыҡтан ғибәрәт булған төҙөүсене йүнәлтеүсе тура һыҙыҡ буйлап кинематик хәрәкәт иттергәндә барлыҡҡа килгән йөҙ йәки фигура (һыҙма геометрия).

Яҫылыҡтың ҡайһы бер характерлы үҙсәнлектәреҮҙгәртергә

  • Яҫылыҡ — уның теләһә ниндәй нөктәләрен тоташтырыусы һәр тура һыҙыҡ тулыһынса унда ятҡан йөҙ;
  • Ике Яҫылыҡ йә параллель, йәки тура һыҙыҡ буйлап киҫешә.
  • Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
  • Бер үк яҫылыҡҡа перпендикуляр булған ике тура һыҙыҡ бер-береһенә параллель.
  • Бер үк тура һыҙыҡҡа перпендикуляр булған ике яҫылыҡ бер-береһенә параллель.
 
Яҫылыҡ һәм уның ике нормаль векторы: n1 и n2

Яҫылыҡ тигеҙләмәһеҮҙгәртергә

Беренсе булып А. К. Клеро хеҙмәттәрендә осрай (1731).

Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе, күренеүенсә, беренсе булып Г. Ламе хеҙмәттәрендә осрай (18161818).

Нормаль тигеҙләмәне Л. О. Гессе индергән (1861).

Яҫылыҡ — беренсе тәртиптәге алгебраик йөҙ: координаталарҙың декарт системаһында яҫылыҡ беренсе дәрәжә тигеҙләмә менән бирелә.

  • Яҫылыҡтың дөйөм (тулы) тигеҙләмәһе
 

бында   һәм   — һандар, шуның менән бергә   һәм   бер үк ваҡытта нулгә тигеҙ түгел; Векторлы формала:

 

бында   —   нөктәһенең радиус-векторы,   векторы яҫылыҡҡа перпендикуляр (нормаль вектор).   векторының йүнәлтеүсе косинустары:

 
 
 

Әгәр яҫылыҡ тигеҙләмәһендә коэффициенттарҙың береһе нулгә тигеҙ булһа, тигеҙләмә тулы булмаған тигеҙләмә тип атала.   булғанда яҫылыҡ координаталар башы аша үтә,   (йәки  ,  ) булһа яҫылыҡ   (ярашлы рәүештә   йәки  ) күсәренә параллель була. Әгәр   ( , йәки  ) булһа, яҫылыҡ   (ярашлы рәүештә   йәки  ) яҫылығына параллель була.

  • Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе:
 

бында  ,  ,   — яҫылыҡ тарафынан   һәм   күсәрҙәренән киҫеп алынған киҫектәр.

  •   нормаль векторға перпендикуляр булған,   нөктәһе аша үткән яҫылыҡтың тигеҙләмәһе:
 

векторлы формала:

 
  • Бер тура һыҙыҡта ятмаған бирелгән өс   нөктә аша үткән яҫылыҡ тигеҙләмәһе:
 

(векторҙарҙың ҡатнаш ҡабатландығы), башҡаса

 
  • Яҫылыҡтың нормаль (нормалаштырылған) тигеҙләмәһе
 

векторлы формала:

 

бында  - берәмек вектор,   — яҫылыҡтың координаталар башынан алыҫлығы. (2) тигеҙләмә (1) тигеҙләмәнән нормалаштырыусы ҡабатлашыусыға ҡабатлап килеп сыға

 

(  һәм   тамғалары ҡапма-ҡаршы).

Нөктә һәм нормаль вектор буйынса билдәләмәҮҙгәртергә

Өс үлсәмле арауыҡта яҫылыҡты билдәләүҙең мөһим ысулдарының береһе булып яҫылыҡта ятҡан нөктәне һәм уға нормаль векторҙы күрһәтеү тора.

  — яҫылыҡта бирелгән   нөктәһенең радиус-векторы булһын, ти, һәм n — яҫылыҡҡа перпендикуляр булған (нормаль) нулдән айырмалы вектор булһын. Идея шунан тора, r радиус-векторлы   нөктәһе яҫылыҡта ята шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр   нөктәһенән   нөктәһенә үткәрелгән вектор n векторына перпендикуляр булһа.

Ике вектор бер-береһенә перпендикуляр шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың скаляр ҡабатландығы нулгә тигеҙ булһа. Ошонан сығып, беҙгә кәрәкле яҫылыҡ шундай r нөктәләре күмәклеге булып тора, бында:

  (Бында нөктә скаляр ҡабатландыҡты аңлата, ә ҡабатлауҙы түгел.)

Аңлатманы үҙгәртеп табабыҙ:

 

был беҙгә таныш яҫылыҡ тигеҙләмәһе булып тора.

Мәҫәлән: Бирелә: яҫылыҡта ятҡан   нөктәһе һәм нормаль вектор  .

Яҫылыҡтың тигеҙләмәһе ошолай яҙыла:

 

 

 

Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡҮҙгәртергә

Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ — был нөктә менән яҫылыҡтың нөктәләре араһындағы иң ҡыҫҡа алыҫлыҡ ул. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ был нөктәнән яҫылыҡҡа төшөрөлгән перпендикуляр оҙонлоғона тигеҙ булыуы билдәле.

  •   нормалаштырылған тигеҙләмә:
 

менән бирелгән яҫылыҡтан   нөктәһенең тайпылышы

 ,әгәр   һәм координаталар башы яҫылыҡтың төрлө яғында ятһа, ҡапма-ҡаршы осраҡта  . Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ   тигеҙ.
  •   нөктәһенән   тигеҙләмәһе менән бирелгән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ   түбәндәге формула буйынса иҫәпләнә:
 

Параллель яҫылыҡтар араһында алыҫлыҡҮҙгәртергә

  •   һәм   тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:
 
  •   һәм   тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:
 
 
Өс һәм әҙерәк яҫылыҡтарҙың үҙ-ара торошо осраҡтары. Айырып әйткәндә, 4 тип — ике яҫылыҡ киҫешә, 11 тип — E3 яҫылығы E1 һәм E2 яҫылыҡтарының киҫешеү һыҙығы аша үтә, 12 тип — өс яҫылыҡ бер нөктәлә киҫешә

Бәйле төшөнсәләрҮҙгәртергә

  • Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш. Әгәр яҫылыҡтарҙың тигеҙләмәһе (1) күренештә бирелһә, ул саҡта
 

Әгәр векторлы формала бирелһә, ул саҡта

 
  йәки   булһа. (Векторлы ҡабатландыҡ)
  • Яҫылыҡтар перпендикуляр, әгәр
  йәки   булһа. (Скаляр ҡабатландыҡ)
  • Яҫылыҡтар шәлкеме — ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән бөтә яҫылыҡтар. Яҫылыҡтар шәлкеме тигеҙләмәһе, йәғни ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә[1]:222:
 
бында   һәм   — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Ә һыҙыҡтың үҙенең тигеҙләмәһен шәлкем тигеҙләмәһенә α=1, β=0 һәм α=0, β=1 ҡиммәттәрен ҡуйып табып була.
  • Яҫылыҡтар бәйләме — өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән бөтө яҫылыҡтар[1]:224. Яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһе, йәғни өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә:
 
бында  ,   һәм   — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Нөктәнең үҙен яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһенә α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 һәм α=0, β=0, γ=1 ҡиммәттәрен ҡуйып һәм килеп сыҡҡан тигеҙләмәләр системаһын сығарып табып була.

арауығында m-яҫылыҡҮҙгәртергә

Ысын һандар яланында n-үлсәмле аффинно-сикле үлсәмле арауыҡ   бирелһен, ти. Унда тура мөйөшлө координаталар системаһы   алынған. m-яҫылыҡ тип радиус векторҙары түбәндәге нисбәтте ҡәнәғәтләндергән   нөктәләр күмәклеге атала:     — матрица, бағаналары яҫылыҡтың йүнәлтеүсе аҫарауығын төҙөй,   — үҙгәреүсәндәр векторы,   — яҫылыҡ нөктәләренең береһенең радиус-векторы.
Килтерелгән нисбәтте матрица-векторлы күренештән векторлы күренешкә үҙгәртергә мөмкин:
  — m-яҫылыҡтың векторлы тигеҙләмәһе.
  векторҙары йүнәлтеүсе аҫарауыҡ төҙөйҙәр. Ике m-яҫылыҡ   параллель тип атала, әгәр уларҙың йүнәлтеүсе аҫарауыҡтары тап килһә һәм  .

(n-1)-яҫылыҡ n-үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ йәки ябай яҫылыҡ тип атала. Гиперяҫылыҡ өсөн яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе бар.   — яҫылыҡтың нормаль векторы булһын, ти.   — үҙгәреүсәндәр векторы,   — яҫылыҡта ятҡан нөктәнең радиус векторы, ул саҡта:
  — яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе.
Йүнәлтеүсе векторҙарҙың матрицаһы булғанда, яҫылыҡ тигеҙләмәһен ошолай яҙырға мөмкин:  , йәки:
 .
Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш тип уларҙың нормаль векторҙары араһындағы иң бәләкәй мөйөш атала.

m-яҫылыҡтарға миҫалдарҮҙгәртергә

  1. Өс үлсәмле арауыҡта (n=3) 1-яҫылыҡтың миҫалы булып тура һыҙыҡ хеҙмәт итә. Уның векторлы тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә:  . n = 2 булған осраҡта тура һыҙыҡ гиперяҫылыҡ була.
  2. Өс үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ ғәҙәти яҫылыҡ төшөнсәһе менән тап килә.

Шулай уҡ ҡарағыҙҮҙгәртергә

ИҫкәрмәләрҮҙгәртергә

  1. 1,0 1,1 Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах — М.: Высшая школа, 1985. — 232 б.

ӘҙәбиәтҮҙгәртергә

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 б.

ҺылтанмаларҮҙгәртергә

Викиһүҙлектә «плоскость» мәҡәләһе бар