Комплекслы һан

Ко́мпле́кслы һандар (от лат. complex — берҙәм, тығыҙ бәйләнгән) — $a+bi$ күренешендәге һандар, бында $a,b$ — ысын һандар, $i$ — уйланма берәмек, йәғни, $i^{2}=-1$ тигеҙлеге үтәлгән һан. «Комплекслы һан» терминын фәнгә Гаусс 1831 йылда индерә. Комплекслы һандар күмәклеге ғәҙәттә  $\mathbb {C} ,$ символы менән тамғалана, ул $\mathbb {R}$ ысын һандар күмәклеген үҙ эсенә ала һәм уның киңәйеүе тип ҡаралырға мөмкин. Комплекслы һандар системаһы ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ^[⇨] булыуы иҫбат ителгән.

Комплекслы һан
Кем ҡушҡан	Лазар Карно[d]
Тәртип буйынса һуңыраҡ килеүсе	кватернион[d]
Закон йәки теорема формулаһы	$z=x+\mathrm {i} y$
Обозначение в формуле	$z$, $x$, $y$ һәм $\mathrm {i}$
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Ҡапма-ҡаршыһы	ысын һан
Комплекслы һан Викимилектә

$i^{2}=-1$

Комплекслы һанды геометрик һүрәтләү $z=a+bi$

Ысын һандар кеүек үк, комплекслы һандар өсөн дә ҡушыу^[⇨], алыу, ҡабатлау^[⇨] һәм бүлеү^[⇨] ғәмәлдәре билдәләнгән. Ләкин комплекслы һандарҙың күп үҙсәнлектәре ысын һандар үҙсәнлектәренән айырыла; мәҫәлән, ике комплекслы һандың ҡайһыһы ҙурыраҡ йәки бәләкәйерәк икәнлеген әйтеп булмай^[⇨]. Алгебраик яҙылыштағы комплекслы һандарҙы комплекслы яҫылыҡта^[⇨] нөктәләр рәүешендә күрһәтеү уңайлы; мәҫәлән, эйәртеүле һандарҙы һүрәтләү өсөн көҙгөләгесә сағылыу операцияһы ҡулланыла^[⇨]. Альтернативалы комплекслы һандарҙың тригонометрик яҙылышы дәрәжәләрҙе һәм тамырҙарҙы^[⇨] иҫәпләү өсөн уңайлы булып сыға.

Иң тәүҙә комплекслы һандарҙы ҡулланыу кәрәклеге идеяһы кубик тигеҙләмәләрҙе формаль сығарыу һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килә, был осраҡта Кардано формулаһында квадрат тамыр тамғаһы аҫтында тиҫкәре һан килеп сыға. Комплекслы һандарҙы тикшереүгә уйланма берәмек өсөн дөйөм танылған тамғалау $i$ индергән Леонард Эйлер, Рене Декарт, Гаусс кеүек математиктар ҙур өлөш индерәләр^[⇨]. Комплекслы аргумент функциялары комплекслы анализда өйрәнеләләр^[⇨].

Комплекслы һандарҙың һәм функцияларҙың уникаль үҙсәнлектәре математиканың, физиканың һәм техниканың төрлө өлкәләрендә күп практик мәсьәләләрҙе хәл итеүҙә киң ҡулланыу таптылар — сигналдарҙы эшкәртеү, идара итеү теорияһы, электромагнетизм, тирбәлеүҙәр теорияһы, һығылмалылыҡ теорияһы һәм бик күп башҡа^[⇨]. Комплекслы яҫылыҡты үҙгәртеү оказались полезны в картографияла һәм гидродинамикала файҙалы булып сыҡты. Хәҙерге физика нигеҙҙә донъяны квант механикаһы ярҙамында һүрәтләүгә иҫәп тота, ул комплекслы анализға нигеҙләнә.

Шулай уҡ комплекслы һандарҙың, кватерниондар кеүек бер нисә дөйөмләштереүе билдәле^[⇨].

Комплекслы арифметика

Бәйләнешле билдәләмәләре

Һәр $z=a+bi$ комплекслы һаны ике компоненттан тора:

• $a$ дәүмәле $z$ һанының ысын өлөшө тип атала һәм $\operatorname {Re} \,z$ йәки $\operatorname {Re} (z).$ тип тамғалана. Сит ил сығанаҡтарында готик символ осрай: $\Re (z).$
  • Әгәр $a=0$ булһа, ул саҡта $z$ уйланма йәки тик уйланма һан тип атала.
• $b$ дәүмәле $z$ һанының уйланма өлөшө тип атала һәм $\operatorname {Im} \,z$ йәки $\operatorname {Im} (z).$ тип тамғалана. Сит ил сығанаҡтарында $\Im (z).$ готик символы осрай.
  • Әгәр $b=0$ булһа, ул саҡта $z$ ысын һан була. $a+0i$ урынына ғәҙәттә тик $a.$ тип яҙалар.

$z=a+bi$ комплекслы һаны өсөн ҡапма-ҡаршы һан тип $-z=-a-bi.$ һаны атала. Мәҫәлән $1-2i$ һаны өсөн $-1+2i.$ һаны ҡапма-ҡаршы һан була.

Комплекслы һандар өҫтөндә арифметик операциялар, уларға оҡшаш ысын һандар менән ғәмәлдәр кеүек үк үҙсәнлектәргә эйә. Тәртип бәйләнеше (ҙурыраҡ-бәләкәйерәк) менән бәйле үҙсәнлектәр генә был ҡағиҙәнән ситләшә, сөнки ысын һандар өсөн бирелгән тәртипте комплекслы һандарға, арифметик ғәмәлдәр һәм тәртип ярашлы булырлыҡ итеп киңәйтеп булмай (мәҫәлән, $a<b$ тигеҙһеҙлегенән $a+c<b+c$ тигеҙһеҙлеге килеп сығырлыҡ итеп). Комплекслы һандарҙы тик «тигеҙ йәки тигеҙ түгел» тип кенә сағыштырып була:

• $a+bi=c+di$ $a=c$ һәм $b=d$ булыуын аңлата (ике комплекслы һан үҙ-ара тигеҙ шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың ысын һәм уйланма өлөштәре тигеҙ булһа).

Ҡушыу һәм алыу

Комплекслы һандарҙы ҡушыу һәм алыу билдәләмәһе:

$\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i$.

$\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i$.

Түбәндәге таблица теләһә ниндәй $u,v,w$ комплекслы һандары өсөн ҡушыуҙың төп үҙсәнлектәрен күрһәтә.

Үҙсәнлек	Алгебраик яҙылышы
Коммутативлыҡ (урын алмаштырыу)	$u+v=v+u$
Ассоциативлыҡ (төркөмләү)	$u+(v+w)=(u+v)+w$
Нуль үҙсәнлеге	$u+0=u$
Ҡапма-ҡаршы элемент үҙсәнлеге	$u+(-u)=0$
Алыуҙы ҡушыу аша башҡарыу	$u-v=u+(-v)$

Ҡабатлау

$a+bi$ һәм $c+di$ комплекслы һандарын ҡабатлауға билдәләмә бирәйек:

$(a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$.

Түбәндәге таблица теләһә ниндәй $u,v,w$ комплекслы һандары өсөн ҡабатлау ғәмәленең төп үҙсәнлектәрен күрһәтә.

Үҙсәнлек	Алгебраик яҙылышы
Коммутативлыҡ (урын алмаштырыу)	$u\cdot v=v\cdot u$
Ассоциативлыҡ (төркөмләү)	$u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w$
Берәмек үҙсәнлеге	$u\cdot 1=u$
Нуль үҙсәнлеге	$u\cdot 0=0$
Дистрибутивлыҡ (ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата таратыу үҙсәнлеге)	$u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$

Бүлеү

Нүлдән башҡа һәр $a+bi$ комплекслы һаны өсөн, уға кире булған шундай $c+di$ комплекслы һаны бар, был ике һандың ҡабатландығы бергә тигеҙ:

$c+di={\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

$a+bi$ комплекслы һанын нулдән айырмалы $c+di$ һанына бүлеү һөҙөмтәһенә билдәләмә бирәйек:

${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i$

Ысын һандар осрағындағы кеүек, бүлеү ғәмәлен бүленеүсене бүлеүсегә кире һанға ҡабатлау менән алмаштырырға була.

Комплекслы һандарҙың ысын һандарҙан төп айырмаһы

Әйтеп кителгәнсә, комплекслы һандарҙы ҙурыраҡ-бәләкәйерәк тип сағыштырып булмай. Икенсе айырмаһы: ысын йәки комплекслы коэффициентлы теләһә ниндәй күпбыуын, уның дәрәжәһе ниндәй, тапҡырлыҡты иҫәпкә алып, шул һанда тамыры (дөйөм әйткәндә, комплекслы) бар (алгебраның төп теоремаһы).

Ысын һандар системаһында тиҫкәре һандан йоп дәрәжә тамыр алырға мөмкин түгел ине. Комплекслы һандар өсөн теләһә ниндәй һандан теләһә ниндәй дәрәжә тамыр алырға мөмкин, ләкин һөҙөмтә бер төрлө түгел — нулдән айырмалы һандан $n$-сы дәрәжә комплекслы тамырҙың $n$ төрлө комплекслы ҡиммәте бар. Мәҫәлән, берәмектән тамырҙарҙы ҡара.

Комплекслы һандар өсөн шулай уҡ дәрәжәгә күтәреү һәм логарифмлауға билдәләмә бирелгән. Комплекслы үҙгәреүсәнле функцияларҙың өҫтәмә айырмалары бар^[⇨]..

Иҫкәрмәләр

$i$ һаны, $x^{2}=-1$ тигеҙләмәһен ҡәнәғәтләндереүсе берҙән бер һан булмауын билдәләп китәйек. $-i$ һаны шулай уҡ был тигеҙләмәне ҡәнәғәтләндерә.

Шулай уҡ билдәләп китергә кәрәк, элегерәк йыш ҡына $i$ урынына ҡулланылған ${\sqrt {-1}}$ аңлатмаһы бик үк корректлы түгел, сөнки арифметик тамыр тиҫкәре булмаған һандар күмәклегендә билдәләнә. Хаталар булмаһын өсөн, хәҙерге ваҡытта тиҫкәре дәүмәлдәр тамыры булған аңлатмаларҙы ошолай яҙыу ҡабул ителгән $5+i{\sqrt {3}}$, ә $5+{\sqrt {-3}}$ түгел, хатта XIX быуатта ла яҙыуҙың икенсе варианты ҡулланылырға мөмкин тип иҫәпләнеүгә ҡарамаҫтан.

Иҫкергән яҙманы һаҡһыҙ ҡулланған осраҡта мөмкин булған хатаға миҫал:

${\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {\left(-3\right)\cdot \left(-3\right)}}={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}={\sqrt {9}}=3$.

Хәҙерге яҙманы ҡулланған осраҡта ундай хата килеп сыҡмаҫ ине:

$\left(i{\sqrt {3}}\right)\cdot \left(i{\sqrt {3}}\right)=\left(i\cdot {\sqrt {3}}\right)^{2}=i^{2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{2}=-3.$

Геометрик һүрәтләү

Комплекслы яҫылыҡ

Комплекслы һанды геометрик һүрәтләү

Тура мөйөшлө координаталар системаһы менән яҫылыҡ ҡарайыҡ. Һәр $z=x+iy$ комплекслы һанына яҫылыҡтың $\left\{x,y\right\}$ координаталы нөктәһен ярашлы ҡуяйыҡ (шулай уҡ координаталар башын был нөктә менән тоташтырыусы радиус-векторҙы). Бындай яҫылыҡ комплекслы тип атала. Ысын һандар унда горизонталь күсәрҙе биләйҙәр, уйланма берәмек вертикаль күсәрҙәге берәмек менән һүрәтләнә; шул сәбәпле горизонталь һәм вертикаль күсәрҙәр ярашлы рәүештә ысын һәм уйланма күсәрҙәр тип атала.

Йыш ҡына комплекслы яҫылыҡта поляр координаталар системаһын ҡарау уңайлы була, унда нөктәнең координаталары булып координаталар башына тиклемге алыҫлыҡ (модуль) һәм нөктәнең радиус-векторының горизонталь күсәр менән мөйөшө (һүрәттә күк уҡ менән күрһәтелгән) (аргумент) торалар. Ентекләберәк артабанғы бүлекте ҡара.

Был күргәҙмәле һүрәтләүҙә комплекслы һандарҙың суммаһына ярашлы радиус-векторҙарҙың векторлы суммаһы ярашлы. Комплекслы һандарҙы ҡабатлағанда уларҙың модулдәре ҡабатлана, ә аргументтары ҡушыла. Әгәр икенсе ҡабатлашыусының модуле  1-гә тигеҙ булһа, ул саҡта был һанҡа ҡабатлау геометрик беренсе һандың радиус-векторын икенсе һандың аргументына тигеҙ булған мөйөшкә бороуҙы аңлата. Был факт тирбәлеүҙәр теорияһында комплекслы һүрәтләүҙең киң ҡулланылыуын аңлата, унда «модуль» һәм «аргумент» терминдары урынына «амплитуда» һәм «фаза» терминдары ҡулланыла.

Модуль һәм аргумент

Комплекслы һандың $r$ модуле һәм $\varphi$ аргументы

Комплекслы һандың модуле (абсолют дәүмәле) тип комплекслы яҫылыҡта ярашлы нөктәнең радиус-векторы оҙонлоғо атала (йәки, шуны уҡ аңлатыусы, комплекслы яҫылыҡтың был һанға ярашлы нөктәһенән координаталар башына тиклемге алыҫлыҡ). $z=x+iy$ комплекслы һанының модуле $\left|z\right|$ тип тамғалана (ҡайһы берҙә $r$ йәки $\rho$) һәм:

$\left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ аңлатмаһы менән билдәләнә.

Әгәр $z$ ысын һан булһа, ул саҡта $\left|z\right|$ был ысын һандың абсолют дәүмәле менән тап килә.

Теләһә ниндәй $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ һандары өсөн модулдең түбәндәге үҙсәнлектәре үтәлә:

1) $\left|z\right|\geqslant 0$, шуның менән бергә $\left|z\right|=0$ шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр $z=0$ булһа;

2) $\left|z_{1}+z_{2}\right|\leqslant \left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$ (өсмөйөш тигеҙһеҙлеге);

3) $\left|z_{1}\cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|\cdot \left|z_{2}\right|$;

4) $\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}$.

5) $z_{1}$ һәм $z_{2}$ комплекслы һандар пары өсөн уларҙың айырмаһының модуле $\left|z_{1}-z_{2}\right|$ комплекслы яҫылыҡтың ярашлы нөктәләре араһындағы алыҫлыҡҡа тигеҙ.

6) $z$ һанының модуле был һандың ысын һәм уйҙырма өлөштәре менән түбәндәге нисбәттәр менән бәйләнгән:

$-|z|\leqslant \operatorname {Re} (z)\leqslant |z|;\quad -|z|\leqslant \operatorname {Im} (z)\leqslant |z|;\quad |z|\leqslant |\operatorname {Re} (z)|+|\operatorname {Im} (z)|$

$z$ һанына ярашлы нөктәнең радиус-векторы мөйөшө $\varphi$ (радиандарҙа) , $z$ һанының аргументы тип атала һәм $\operatorname {Arg} \left(z\right)$ тип тамғалана. Был билдәләмәнән:

$\operatorname {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x}}$; $\cos \varphi ={\frac {x}{\left|z\right|}}$; $\sin \varphi ={\frac {y}{\left|z\right|}}$ булыуы килеп сыға.

Комплекслы нуль өсөн аргументтың ҡиммәте билдәләнмәгән, нулдән айырмалы $z$ һаны өсөн аргумент $2k\pi$ аныҡлығы менән билдәләнә, бында $k$ — теләһә ниндәй бөтөн һан. Аргументтың төп ҡиммәте тип $\varphi$-дың $-\pi <\varphi \leqslant \pi$ булған ҡиммәте атала. Йыш ҡына төп ҡиммәте $\operatorname {arg} \left(z\right)$ тип тамғалана.

Аргументтың ҡайһы бер үҙсәнлектәре:

1) Кире һандың аргументы бирелгән һандың аргументынан тик тамғаһы менән генә айырыла:

$\operatorname {Arg} \left({\frac {1}{z}}\right)=-\operatorname {Arg} \left(z\right).$

2) Юғарыла әйтелгәнсә, ҡабатландыҡтың аргументы ҡабатлашыусыларҙың аргументтары суммаһына тигеҙ:

$\operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}).$

3) Бүлендектең аргументы бүленеүсе менән бүлеүсе аргументтары айырмаһына тигеҙ:

$\operatorname {Arg} {\frac {z_{1}}{z_{2}}}=\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}).$

Эйәртеүле һандар

Эйәртеүле һандарҙы геометрик һүрәтләү

Әгәр $z=x+iy$ комплекслы һан булһа, ул саҡта ${\bar {z}}=x-iy$ һаны $z$-ҡа эйәртеүле һан (йәки комплекслы эйәртеүле) тип атала (шулай уҡ йыш ҡына $z^{*}$ тип тамғалана). Комплекслы яҫылыҡта эйәртеүле һандар бер береһенән ысын күсәргә ҡарата көҙгөләгесә сағылыу ярҙамында килеп сығалар. Эйәртеүле һандың модуле бирелгән һандыҡы кеүек, ә уларҙың аргументтары тамғаһы менән генә айырыла.

Эйәртеүле һанға күсеүҙе бер урынлы операция итеп ҡарарға мөмкин; уның үҙсәнлектәрен һанап китәйек.

• $z={\bar {z}}$ шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр $z$ — ысын һан булһа.
• ${\bar {\bar {z}}}=z$ (Эйәртеүле һанға эйәртеүле һан бирелгән һанға тигеҙ).

Комплекслы-эйәртеүле һандарҙың ҡабатландығы һәм суммаһы ысын һан:

• $z\cdot {\bar {z}}=\left|z\right|^{2}=x^{2}+y^{2}$
• $z+{\bar {z}}=2\operatorname {Re} \left(z\right)$

Башҡа бәйләнештәр:

• ${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}$
• ${\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2}$
• $\left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$
• $\operatorname {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \operatorname {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.$

Дөйөмләштереү: ${\overline {p\left(z\right)}}=p\left({\bar {z}}\right)$, бында $p\left(z\right)$ — ысын коэффициентлы ирекле күпбыуын. Ошонан сығып, әгәр ысын коэффициентлы күпбыуындың комплекслы тамырҙары булһа (нулдән айырмалы уйланма өлөшлө), ул саҡта улар бөтәһе лә комплекслы-эйәртеүле парҙарға бүләнәләр.

Комплекслы кәсерҙе каноник күренештә күрһәтеү өсөн, йәғни знаменателдә уйланма өлөшөнән ҡотолоу өсөн, числитель һәм знаменателде знаменателгә эйәртеүле һанға ҡабатларға кәрәк. Миҫал:

${\frac {2+5i}{3-4i}}={\frac {(2+5i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}}={\frac {-14+23i}{25}}=-{\frac {14}{25}}+{\frac {23}{25}}i.$

Тригонометрик һәм күрһәткесле форма

Юғарыла $z$ комплекслы һанын $x+iy$ күренешендә яҙыу ҡулланылды; бындай яҙыу комплекслы һандың алгебраик формаһы тип атала. Практик яҡтан комплекслы һанды яҙыуҙың поляр координаталарҙа тағы ике төрө бик ныҡ файҙалы.

Тригонометрик форма

Әгәр комплекслы һандың ысын $x$ һәм уйланма $y$ өлөштәре модуль $r=\left|z\right|$ һәм аргумент $\varphi$ аша күрһәтһәң(йәғни $x=r\cos \varphi$, $y=r\sin \varphi$), ул саҡта нулдән башҡа һәр $z$ комплекслы һанын тригонометрик формала яҙырға була:

$z=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)$

Күрһәткесле форма

Комплекслы анализда Эйлер формулаһы фундаменталь әһәмиәткә эйә:

$e^{iz}=\cos z+i\sin z,$

бында $e$ — Эйлер һаны, $\cos ,\sin$ — аргумент комплекслы ҡиммәттәр ҡабул итерлек итеп киңәйтелгән косинус һәм синус функциялары, ә $e^{iz}$ — дәрәжә күрһәткесе комплекслы һан булған осраҡ өсөн киңәйтелгән экспонента.

Был формуланы тригонометрик формаға ҡулланып, комплекслы һандың күрһәткесле формаһын табабыҙ:

$z=re^{i\varphi }$

Бынан түбәндәге киң ҡулланылған тигеҙлектәр килеп сыға:

$\cos \varphi ={\frac {e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}{2}};\quad \sin \varphi ={\frac {e^{i\varphi }-e^{-i\varphi }}{2i}}.$

Муавр формулаһы һәм тамыр алыу

Был формула тригонометрик формала яҙылған нулдән айырмалы комплекслы һанды бөтөн дәрәжәгә күтәрергә ярҙам итә. Муавр формулаһы түбәндәге күренештә:

$z^{n}=\left[r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\right]^{n}=r^{n}\left(\cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)$,

бында $r$ — модуль, ә $\varphi$ — комплекслы һандың аргументы. Хәҙерге символикала ул Эйлер тарафынан 1722 йылда баҫтырып сығарылған. Килтерелгән формула $n$-дың ыңғай ғына түгел, теләһә ниндәй бөтөн ҡиммәтендә дөрөҫ.

Шуға оҡшаш формула нулдән айырмалы комплекслы һандан $n$-сы дәрәжә тамыр иҫәпләгәндә лә ҡулланыла:

$z^{1/n}=\left[r\left(\cos \left(\varphi +2\pi k\right)+i\sin \left(\varphi +2\pi k\right)\right)\right]^{1/n}=$

$={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\quad k=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1.$

берҙән бишенсе дәрәжә тамырҙар (бишмөйөш түбәләре)

Был шуны аңлата, нулдән айырмалы комплекслы һандан $n$-сы дәрәжә тамырҙар һәр ваҡытта ла бар, һәм уларҙың һаны $n$-ға тигеҙ. Комплекслы яҫылыҡта, формуланан күренеүенсә, бөтә был тамырҙар үҙәге координаталар башында һәм радиусы ${\sqrt[{n}]{r}}$ тигеҙ булған әйләнәгә ҡамалған төҙөк $n$-мөйөштөң түбәләре булып торалар (һүрәтте ҡара).

Стандарт форматта яҙылған $a+bi,$ комплекслы һанынан квадрат тамыр алыу өсөн, был һанды тригонометрик формаға әйләндерергә кәрәк һәм $n=2.$ осрағы өсөн юғарыла килтерелгән формуланы ҡулланырға кәрәк. Әммә тамырҙың ике ҡиммәте өсөн алгебраик күренеше лә бар: $\pm (c+di),$ где:

$c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}$

$d=\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}$

Бында sgn — «билдә» функцияһы, ә радикалдар тиҫкәре булмаған ысын һандан ғәҙәттәге арифметик тамырҙы аңлата. Формуланы $c+di$-ны квадратҡа күтәреп еңел тикшереп була.

Миҫал: $3+4i$ һанынан квадрат тамыр өсөн формула ике ҡиммәтте бирә: $2+i;\;-2-i.$

Тарих

Тәү башлап, күренеүенсә, уйланма дәүмәлдәр «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545) исемле Кардано хеҙмәттәрендә, суммаһы  10-ға, ә ҡабатландығы — 40 тигеҙ булған ике һанды табыу тураһындағы мәсьәләне формаль сығарыу сиктәрендә телгә алына. Ул был мәсьәләне сығарыу өсөн, тамырҙары: $5+{\sqrt {-15}}$ һәм $5-{\sqrt {-15}}$ булған квадрат тигеҙләмә таба. Сығарылышҡа аңлатмаһында ул былай тип яҙа: «был бик ҡатмарлы дәүмәлдәр, ғәйәт хикмәтле булһалар ҙа, файҙаһыҙҙар», һәм «Арифметик фекерҙәр, нескәлектең, шулай уҡ файҙаһыҙлыҡтың сигенә етеп, һаман нығыраҡ һиҙелер-һиҙелмәҫерәк була баралар».

Кубик тигеҙләмәләрҙе сығарғанда уйланма һандарҙы ҡулланыу мөмкинлеген беренсе булып Бомбелли (1572) яҙып сыға, шулай уҡ ул комплекслы һандарҙы ҡушыу, алыу, ҡабатлау һәм бүлеү ҡағиҙәләрен сығара. $x^{3}=15x+4$ тигеҙләмәһенең $x=4$ ысын тамыры бар, ләкин Кардано формулаһы буйынса табабыҙ: $x={\sqrt[{3}]{2+11i}}+{\sqrt[{3}]{2-11i}}$. Бомбелли, суммалары кәрәкле ысын тамырҙы биргән ${\sqrt[{3}]{2\pm 11i}}=2\pm i$ һандарын асыҡлай. Ул, ошоға оҡшаш (килтерелмәгән) осраҡтарҙа, тигеҙләмәнең комплекслы тамырҙары һәр саҡ эйәртеүле булыуын билдәләй, шуға күрә суммала һәр саҡ ысын ҡиммәт килеп сыға. Бомбелли биргән аңлатмалар математикала комплекслы һандарҙы уңышлы ҡуллана башлауға сәбәпсе булалар.

Квадрат һәм кубик тигеҙләмәләрҙе сығарғанда килеп сыҡҡан $a+b{\sqrt {-1}}$ күренешендә күрһәтелгән аңлатмаларҙы, XVI—XVII быуаттарҙа Декарт тәҡдиме менән «уйланма» тип атай башлайҙар, ул, был һандарҙың ысынбарлыҡта булыуын кире ҡағып, шулай атай. XVII быуаттың башҡа күп ҙур ғалимдары өсөн уйланма һандарҙың асылы һәм ысынбарлыҡҡа хоҡуғы бик шикле тойола. Лейбниц, мәҫәлән, 1702 йылда былай тип яҙа: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Бындай шикләнеүҙәргә ҡарамаҫтан, математиктар ысын дәүмәлдәр алгебраһы ысулдарын ышаныслы рәүештә комплекслы дәүмәлдәргә ҡуллана башлайҙар һәм корректлы һөҙөмтәләргә киләләр.

Оҙаҡ ваҡыт комплекслы һандар өҫтәндә бөтә ғәмәлдәр ҙә комплекслы йәки ысын һөҙөмтәләргә килтерәме икәнлеге билдәһеҙ була, йәки, мәҫәлән, тамыр алыу тағы ла ниндәйҙер яңы типтағы һандар асыуға килтерергә мөмкин. Бирелгән һандан $n$-сы дәрәжә тамырҙы кәүҙәләндереү тураһында мәсьәлә Муаврҙың (1707) һәм Котстың (1722) хеҙмәттәрендә хәл ителә.

Уйланма берәмекте тамғалау өсөн $i$ символын Эйлер (1777, 1794 йылда баҫыла) тәҡдим итә, бының өсөн ул латин телендәге imaginarius — «уйланма» һүҙенең беренсе хәрефен ала. Шулай уҡ ул, логарифмды ла ҡушып, бөтә стандарт функцияларҙы комплекслы өлкәгә тарата. Шулай уҡ Эйлер ҙа 1751 йылда, комплекслы һандар системаһында теләһә ниндәй күпбыуындың тамыры бар, тигән фекер әйтә (алгебраның төп теоремаһы, Эйлерға тиклем шундайыраҡ фекерҙәрҙе Альбер Жирар һәм Рене Декарт әйтәләр). Шундай уҡ фекергә д’Аламбер (1747) килә, ләкин был фактты беренсе ҡәтғи иҫбатлаусы Гаусс (1799) була. Гаусс «комплекслы һан» терминын 1831 йылда киң ҡулланыуға индерә лә инде (алдараҡ терминды шул уҡ мәғәнәлә француз математигы Лазар Карно 1803 йылда ҡуллана, ләкин ул саҡта термин киң таралыу алмай).

XVIII быуат аҙағында — XIX быуат башында тәүҙә Вессель һәм Арган (уларҙың хеҙмәттәре иғтибарҙы йәлеп итмәй), ә аҙаҡ Гаусс тәҡдим иткән комплекслы һандарҙы геометрик һүрәтләү уларҙың легаль хәлгә күсеүен тәьмин итә. Комплекслы һандарҙың ысын һандар пары кеүек арифметик (стандарт) моделе Гамильтон тарафынан төҙөлә («Теория алгебраических пар», 1837); был уларҙың үҙсәнлектәренең ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ булыуын иҫбатлай. «Модуль», «аргумент» һәм «эйәртеүле һандар» терминдарын XIX быуат башында комплекслы анализды һиҙелерлек алға ебәреүсе Коши индерә. XIX быуаттан башлап комплекслы үҙгәреүсән функцияһын тикшереү йылдам һәм үтә уңышлы үҫеш ала..

Был уңышлы ҡарашты иҫәпкә алып, комплекслы яҫылыҡҡа оҡшаш рәүештә, векторҙарҙы өс үлсәмле арауыҡта һүрәтләү ысулдарын эҙләү башлана. Ун биш йыллыҡ эҙләнеүҙәр һөҙөмтәһендә Гамильтон 1843 йылда комплекслы һандарҙы дөйөмләштереүҙе — кватерниондарҙы тәҡдим итә, уларҙы өс үлсәмле итеп түгел, ә дүрт үлсәмле итеп эшләргә мәжбүр була (өс үлсәмле векторҙарҙы кватерниондарҙың уйланма өлөшө һүрәтләй); шулай уҡ Гамильтонға ҡабатлау ғәмәленең коммутативлығынан баш тартырға тура килә.

Комплекслы функциялар

Аналитик функциялар

Бер үҙгәреүсәнле комплекслы функция — комплекслы яҫылыҡтың ниндәйҙер өлкәһендә билдәләнгән һәм был өлкәнең $z$ нөктәһенә $w$ комплекслы ҡиммәттәрен ярашлы ҡуйған $w=f(z)$ функцияһы ул. Миҫалдар:

$w=z^{2}+z+1;\quad w=z+{\frac {1}{z}}$

Һәр комплекслы функцияны $w=f(z)=f(x+iy)$, ярашлы рәүештә уның ысын һәм уйланма өлөштәрен билдәләүсе, ике үҙгәреүсәнле ысын функциялар пары итеп ҡарарға мөмкин: $f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$. $u$, $v$ Функциялары $f(z).$ комплекслы функцияһының компоненттары тип аталалар. Бер нисә комплекслы үҙгәреүсәнле функция ошоға оҡшаш рәүештә билдәләнә.

Анализдың бөтә стандарт функциялары — күпбыуындар, кәсерле-һыҙыҡлы функция, дәрәжәле функция, экспонента, тригонометрик функциялар, кире тригонометрик функциялар, логарифм — комплекслы яҫылыҡҡа киңәйтелергә мөмкиндәр. Шуның менән бергә, улар өсөн, ысын оригинал өсөн хас булған бөтә алгебраик, дифференциаль һәм башҡа тождестволар урынлы, мәҫәлән:

$\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}$

Комплекслы функциялар өсөн, ысын һандар анализындағы кеүек, абсолют дәүмәлде комплекслы модулгә алмаштырып сикләнмә, өҙлөкһөҙлөк һәм сығарылма төшөнсәләре билдәләнә.

Дифференциалланыусы комплекслы функцияларҙың (йәғни сығарылмаһы булған функциялар) ысын функциялар менән сағыштырғанда бер нисә үҙенсәлеге бар.

• Дифференциалланыусы функцияның ысын һәм уйланма өлөштәре — Коши — Риман шарттары менән бәйләнгән гармоник функциялар.
• Һәр $z$ нөктәһенең ниндәйҙер эргә-тирәһендә дифференциалланыусы комплекслы функция был нөктәлә сикһеҙ күп тапҡыр дифференциалланыусы (йәғни аналитик, йәки голоморфлы).

Бер комплекслы үҙгәреүсәнле функциялар өсөн билдәле интеграл, ғөмүмән алғанда, интеграллау юлына бәйле (йәғни комплекслы яҫылыҡтың башланғыс нөктәһенән һуңғы нөктәһенә тиклемге кәкре һыҙыҡты һайлауға бәйле). Әммә әгәр интегралланыусы функция бер бәйләнешле өлкәлә аналитик булһа, ул саҡта уның интегралы юлға бәйле түгел.

Комплекслы яҫылыҡты үҙгәртеүҙәр

Һәр комплекслы функцияны комплекслы яҫылыҡты үҙгәртеү итеп ҡарарға мөмкин (йәки бер комплекслы яҫылыҡты икенсеһенә үҙгәртеү кеүек итеп). Миҫалдар:

• $w=z+c$ — $c.$ нөктәһенең радиус-векторы менән билдәләнеүсе параллель күсереү
• $w=uz$, бында $u$ — берәмек модулле комплекслы һан — координаталар башы тирәләй аргумент $u.$-ға тигеҙ булған мөйөшкә боролош
• $w={\bar {z}}$ — ысын күсәр тирәләй көҙгөләгесә сағылыу.

Теләһә ниндәй яҫылыҡта хәрәкәт һынап киткән өс үҙгәртеүҙең комбинацияһы булғанлыҡтан, $w=uz+c$ һәм $w=u{\bar {z}}+c$ функциялары комплекслы яҫылыҡта хәрәкәт өсөн дөйөм аңлатма бирәләр.

Башҡа һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәр:

• $w=rz$, бында $r$ — ыңғай ысын һан, масштабы $r$-ға бәйле булған һуҙылыуҙы бирә,(ҡыҫыу, әгәр $r<1$) булһа.
• $w=az+b$ һәм $w=a{\bar {z}}+b$ үҙгәртеүҙәре, бында $a,b$ — ирекле комплекслы һандар, оҡшашлыҡ үҙгәртеүен бирә.
• $w=az+b{\bar {z}}+c,$ бында $|a|\neq |b|$ үҙгәртеүе — комплекслы яҫылыҡта аффиналы үҙгәртеүҙең дөйөм күренеше.

Комплекслы анализда кәсерле-һыҙыҡлы үҙгәртеүҙәр мөһим роль уйнайҙар:

$w={\frac {az+b}{cz+d}}$

Шуның менән бергә $ad\neq bc$ (юҡһа $w(z)$ функцияһы константаға әйләнә). Кәсерле-һыҙыҡлы үҙгәртеүҙең характерлы үҙсәнлеге: ул әйләнә һәм тура һыҙыҡтарҙы әйләнә һәм тура һыҙыҡтарға күсерә. Шуның менән бергә әйләнәнең образы тура һыҙыҡ булырға мөмкин, һәм киреһенсә.

Башҡа практик файҙалы үҙгәртеүҙәр функциялары араһында: инверсия $w=1/z,$ Жуковский функцияһы.

Комплекслы яҫылыҡта аналитик геометрия

Яҫы фигураларҙы өйрәнеү, уларҙы комплекслы яҫылыҡҡа күсергәндә, йыш ҡына еңелләшә. Планиметрияның күп теоремалары комплекслы һандар ярҙамында асыҡ һәм компактлы яҙылалар, мәҫәлән:

• Өс (төрлө) $z_{1},z_{2},z_{3}$ нөктәләре бер тура һыҙыҡта яталар шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр:

${\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}$ ысын һан булһа.

• Дүрт (төрлө) $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ нөктәләре бер әйләнәлә (йәки бер тура һыҙыҡта) яталар шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр:

${\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}$ бүлендеге ысын һан булһа.

Комплекслы яҫылыҡта тура һыҙыҡтың параметрлы тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә:

$z=ut+v,$ бында $u,v$ — комплекслы һандар, $u\neq 0,t$ — ирекле ысын параметр.

Ике $z=ut+v$ һәм $z=u't+v'$ тура һыҙыҡтары араһындағы мөйөш $\operatorname {arg} (u'/u).$-ға тигеҙ. Айырып әйткәндә, тура һыҙыҡтар перпендикуляр, әгәр $u'/u$ — саф уйланма һандар булһа. Ике тура һыҙыҡ параллель шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр $u'/u$ ысын һан булһа; әгәр шуның менән бергә $(v'-v)/u$ һаны ла ысын һан булһа, ике тура һыҙыҡ тап килә. Һәр $z=ut+v$ тура һыҙығы комплекслы яҫылыҡты ике ярымяҫылыҡҡа бүлә: уларҙың береһендә $t=\operatorname {Im} (z-v)/u$ аңлатмаһы ыңғай, икенсеһендә — тиҫкәре.

Үҙәге $c$ һәм радиусы $r$ булған әйләнәнең тигеҙләмәһе үтә ябай күренештә: $|z-c|=r.$ $|z-c|<r$ тигеҙһеҙлеге әйләнәнең эске өлкәһен билдәләй.

Дөйөм алгебрала, топологияла һәм күмәклектәр теорияһында урыны

$\mathbb {C}$ комплекслы һандар күмәклеге ялан төҙөй, ул $\mathbb {R}$ ысын һандар яланының 2 дәрәжә сикле киңәйеүе булып тора. Комплекслы яландың характеристикаһы нулгә тигеҙ, $\mathbb {C}$ яланының күмәклек булараҡ ҡеүәте, ысын һандар яланыныҡы кеүек, йәғни континуум. Фробениус теоремаһы асыҡлауынса, $\mathbb {R}$-ҙың сикле киңәйеүе булған ике генә есем бар — поле комплекслы һандар яланы һәм кватерниондар есеме.

Комплекслы һандар яланын тәртипкә килтерелгән яланға әйләндереү мөмкин түгел, сөнки тәртипкә килтерелгән яланда теләһә ниндәй элементтың квадраты тиҫкәре түгел, уйланма берәмек тә унда була алмай.

$\mathbb {C}$ төп алгебрак үҙсәнлеге — ул алгебраик йомоҡ, йәғни унда теләһә ниндәй күпбыуындың тамырҙары (комплекслы)бар, шунлыҡтан, һыҙыҡлы ҡабатлашыусыларға тарҡала.

Модулдең үҙсәнлегенән, комплекслы һандар $\mathbb {R}$ яланында ике үлсәмле нормалаштырылған арауыҡ структураһын төҙөүе килеп сыға.

$\mathbb {C}$ яланы сикһеҙ күп автоморфизмдарҙы рөхсәт итә, тик уларҙың береһе генә (тождестволыны иҫәпкә алмайынса) ысын һандарҙы урынында ҡалдыра.

$\mathbb {R}$ һәм $\mathbb {C}$ яландары — берҙән-бер бәйләнгән локаль компактлы топологик яландар.

Ҡайһы бер практик ҡулланылышы

Комплекслы һандарҙың һәм функцияларҙың ысын һандарҙан айырмалы үҙенсәлектәре математикала, тәбиғәт фәндәрендә һәм техникала файҙалы, йыш ҡына алмаштырғыһыҙ булып торалар.

Математика

Комплекслы һандарҙың ҡушымтаһы математикала күренекле урын биләй — айырып әйткәндә, алгебраик һандар төшөнсәһе, күпбыуын тамырҙарын табыу, Галуа теорияһы, комплекслы анализ һ. б.шундайҙар.

Геометрик мәсьәләне ябай яҫылыҡтан комплекслыға күсереп, беҙ йыш ҡына уның сығарылышын һиҙелерлек ябайлаштырыуға өлгәшәбеҙ.

Һандар теорияһының һәм (ысын) математик анализдың күп ҡатмарлы мәсьәләләрен (мәҫәлән, ҡатмарлы йәки үҙ булмаған интегралдарҙы иҫәпләү) комплекслы анализ саралары менән генә сығарырға мөмкинлек булды. Һандар теорияһында $a+bi,$ күренешендәге Гаусс һандары, бында $a,b$ — бөтөн һандар, асыштар өсөн ҡеүәтле инструмент булып сыға. Для исследования распределения простых чисел понадобилась комплексная дзета-функция Римана.

Йыш ҡына ысын анализ проблемалары, уларҙы комплекслы дөйөмләштергәндә асыҡланалар. Классик миҫал — рәткә тарҡатыу

${\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots$

Был рәт, $\pm 1$ нөктәләре килтерелгән функция өсөн ниндәйҙер үҙенсәлекле нөктәләр булмаһалар ҙа, $(-1;\;1)$ интервалында ғына йыйылыусан. Хәл $f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}$ комплекслы үҙгәреүсәнле функцияһына күскәс асыҡлана, уның ике үҙенсәлекле нөктәһе булыуы асыҡлана: $\pm i$. Шуға ярашлы, был функцияны тик берәмек радиуслы түңәрәктә Тейлор рәтенә тарҡатып була.

Һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙе сығарғанда тәүҙә характерлы күпбыуындың бөтә комплекслы тамырҙарын табыу мөһим, ә аҙаҡ база экспоненталар терминдарында системаны сығарып ҡарарға кәрәк. Айырмалы тигеҙләмәләрҙә ошондай маҡсатта айырмалы тигеҙләмәләр системаһы характеристик тигеҙләмәһенең комплекслы тамырҙары ҡулланыла. Комплекслы анализдың бер өлөшө булып торған ҡалдыҡтар теорияһы ярҙамында, йомоҡ контурҙар буйынса күп ҡатмарлы интегралдарҙы иҫәпләп була.

Функцияларҙы тикшереү йыш ҡына комплекслы Фурье үҙгәртеүе йәки Лаплас үҙгәртеүе ярҙамында уның йышлыҡ спектрын анализлау менән бәйле.

Конформ сағылыш

Конформ сағылышҡа миҫал

Юғарыла билдәләп кителгәнсә, һәр комплекслы функцияны бер комплекслы яҫылыҡты икенсеһенә үҙгәртеү тип ҡарарға була. Тигеҙ (аналитик) функция ике үҙенсәлеккә эйә: әгәр бирелгән нөктәлә сығарылмаһы нулгә тигеҙ булмаһа, ул саҡта был үҙгәртеүҙә һуҙыу/ҡыҫыу коэффициенты бөтә йүнәлештә лә бер тигеҙ, боролоу мөйөшө шулай уҡ даими (конформ сағылыш). Комплекслы функцияларҙың картографияла һәм гидродинамикала киң ҡулланылыуы ошо факт менән бәйле.

Квант механикаһы

Комплекслы тулҡынлы функция төшөнсәһе квант механикаһының нигеҙе булып тора. Квант системаһының динамикаһын тасуирлау өсөн Шрёдингер тигеҙләмәһе тибындағы комплекслы коэффициентлы дифференциаль тигеҙләмәләр ҡулланыла. Был тигеҙләмәләрҙең сығарылыштары комплекслы Гильберт арауығында бирелгән. Квант өйрәнелеүсе дәүмәлдәргә ярашлы операторҙар Эрмитов операторҙар. Координата һәм импульс операторҙары коммутаторы уйланма һан булып тора: $\left[{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {p}}_{x}{\hat {x}}=i\hbar$. Квант механикаһында Паули матрицалары һәм Дирак матрицалары мөһим роль уйнайҙар, уларҙың ҡайһы берҙәрендә комплекслы ҡиммәттәр бар.

Электротехника

Алмаш ток тирбәлеү процессы булғанлыҡтан, уны комплекслы һандар ҡулланып һүрәтләү һәм өйрәнеү уңайлы. Шулай уҡ электр сынйырының һыйҙырышлыҡ һәм индуктивлыҡ кеүек реактив элементтары өсөн импеданс йәки комплекслы ҡаршылыҡ төшөнсәләре индерелә — был сынйырҙа токты иҫәпләүгә ярҙам итә. Электротехникала традиция буйынса $i$ символы менән ток көсө тамғаланылғанлыҡтан, уйланма берәмекте унда $j$ хәрефе менән тамғалайҙар. Электротехниканың күп өлкәләрендә (нигеҙҙә радиойышлыҡ һәм оптика) сынйыр өсөн ток көсө һәм көсөргәнеш тигеҙләмәһе түгел, ә туранан-тура спектраль күренештәге Максвелл тигеҙләмәләре ҡулланыла, унда физик дәүмәлдәр комплекслы яҫылыҡта бирелә һәм Фурье үҙгәртеүе ярҙамында (t, x)-тан - (ω, k)-арауыҡҡа күскәндә, сығарылмаһыҙ ябайыраҡ тигеҙләмәләр килеп сыға.

Логик нигеҙ

Ысын һандар яланын комплекслы яланға тиклем киңәйтеү, алгебраик структураны теләһә ниндәй башҡа киңәйтеү кеүек, бик күп һорауҙар ҡуя, уларҙың мөһимерәктәре — яңы типтағы һандар өҫтөндә ғәмәлдәрҙе нисек билдәләргә, яңы ғәмәлдәр ниндәй үҙсәнлектәргә эйә булыр һәм (иң мөһим һорау) бындай киңәйтеү мөмкинме, ул төҙәтеп булмаҫлыҡ ҡапма-ҡаршылыҡтарға алып килмәҫме. Бындай һорауҙарҙы анализлау өсөн комплекслы һандар өсөн аксиомалар йыйылмаһы булдырырға кәрәк.

Комплекслы һандар аксиоматикаһы

Иң ябайы, $\mathbb {C}$ комплекслы һандар күмәклеге аксиоматикаһын, төҙөлгән $\mathbb {R}$ ысын һандар күмәклегенә таянып эшләү (ул ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ, ә үҙсәнлектәре билдәле тип фараз ителә). Тап шулай, $\mathbb {C}$ күмәклегенә ысын һандар күмәклеген һәм (унан тыш) уйланма берәмекте индергән минималь ялан булараҡ билдәләмә бирәбеҙ. Ҡәтғи әйткәндә, комплекслы һандар аксиомалары түбәндәгеләр.

С1: Теләһә ниндәй $u,v$ комплекслы һандары өсөн уларҙың $u+v$ суммаһы бар.

С2: Ҡушыу ғәмәле коммутатив: $u+v=v+u$. Ҡыҫҡартыу өсөн «теләһә ниндәй $u,v,w$ һандары өсөн» өҫтәмәһен артабан, ҡағиҙә булараҡ, төшөрөп ҡалдырабыҙ.

С3: Ҡушыу ғәмәле ассоциатив: $(u+v)+w=u+(v+w).$

С4: Шундай 0 (ноль) элементы бар, бында $u+0=u$.

С5: Теләһә ниндәй $u$ комплекслы һаны өсөн «уға ҡапма-ҡаршы» элемент $-u$ бар, бында $u+(-u)=0.$

С6: Теләһә ниндәй $u,v$ комплекслы һандары өсөн уларҙың ҡабатландығы $uv$ бар.

С7: Ҡабатлау ғәмәле коммутатив: $uv=vu.$

С8: Ҡабатлау ғәмәле ассоциатив: $(uv)w=u(vw).$

С9: Ҡабатлау ғәмәле ҡушыу менән таратыу (дистрибутивлыҡ) законы менән бәйләнгән: $(u+v)w=uw+vw.$

С10: Нулдән айырмалы шундай 1 (берәмек) элементы бар, бында $u\cdot 1=u$.

С11: Нулдән айырмалы теләһә ниндәй $u$ һаны өсөн «уға кире» шундай $u'$ һаны бар, бында $u\cdot u'=1.$

С12: $\mathbb {C}$ комплекслы һандар күмәклегенең, $\mathbb {R}$ ысын һандар күмәклегенә изоморфлы аҫяланы бар. Ябайлыҡ өсөн был аҫялан шул уҡ $\mathbb {R}$ хәрефе менән тамғалана.

С13: Шундай $i$ (уйланма берәмек) элемент бар, бында $i^{2}+1=0.$

С14 (минималлек аксиомаһы): $M$ — $\mathbb {C}$ күмәклегенең түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә булған аҫкүмәклеге булһын, ти: ул $\mathbb {R}$ күмәклеген һәм уйланма берәмекте үҙ эсенә ала һәм ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата йомоҡ. Ул саҡта $M$ бөтә $\mathbb {C}$ менән тап килә.

Был аксиомаларҙан эҙемтә булараҡ бөтә башҡа үҙсәнлектәре килеп сыға. Килтерелгән аксиоматика ҡәтғи, йәғни уның теләһә ниндәй моделдәре ялан булараҡ изоморфлы. Был төрлө моделдәренең бөтә үҙсәнлектәре берҙәй булыуын аңлатмай; мәҫәлән, p-алыҡ һандар яланының алгебраик йомолоуы $\mathbb {Q} _{p}$ килтерелгән аксиоматиканы ҡәнәғәтләндерә һәм шуға күрә ялан булараҡ $\mathbb {C}$-ға изоморфлы, ләкин топологик арауыҡ булараҡ изоморфлы түгел.

Ҡапма-ҡаршылыҡһыҙлыҡ һәм моделдәр

Яңы структураның ҡапма-ҡаршылыҡһыҙлығын иҫбатлауҙың стандарт ысулы — ҡапма-ҡаршылыҡһыҙлығы икеләнеү тыуҙырмаған икенсе структура объекттары ярҙамында уның аксиомаларын моделләштереү (интерпретациялау). Беҙҙең осраҡта беҙ был аксиомаларҙы ысын һандар базаһында тормошҡа ашырырға тейешбеҙ.

Стандарт модель

Ысын һандарҙың бөтә мөмкин булған тәртипкә килтерелгән парҙарын ҡарайыҡ $(a,b)$. Артабанғы билдәләмәләрҙең мәғәнәһе аңлашылһын өсөн, артабан шундай һәр парҙы $a+bi.$ комплекслы һаны итеп ҡараясаҡбыҙ икәнде асыҡлап китергә кәрәк.

Артабан билдәләмә бирәбеҙ:

1. $(a,b)$ һәм $(c,d)$ парҙары тигеҙ тип атала, әгәр $a=c$ һәм $b=d$ булһа.
2. Ҡушыу: $(a,b)$ һәм $(c,d)$ парҙары суммаһы $(a+c,b+d)$ пары булараҡ билдәләнә.
3. Ҡабатлау: $(a,b)$ һәм $(c,d)$ парҙары ҡабатландығы $(ac-bd,ad+bc)$ пары булараҡ билдәләнә.

Аңлатма: тәү ҡарауға ҡатмарлы күренгән ҡабатлау билдәләмәһе $i^{2}=-1$ бәйләнешенән еңел сығарыла:

$(a+bi)(c+di)=(a+bi)c+(a+bi)di=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+i(ad+bc)$

Был тасуирланған парҙар структураһы ялан төҙөүенә һәм комплекслы һандарҙың килтерелгән аксиомалар теҙмәһен ҡәнәғәтләндереүенә ышаныу ауыр түгел. Ысын һандар $\mathbb {R}$ аҫяланын барлыҡҡа килтергән $(a,0)$ парҙары менән бирелә,шуның менән бергә бындай парҙар менән ғәмәлдәр ысын һандарҙы ғәҙәттәге ҡушыу һәм ҡабатлау менән тап килә. $(0,0)$ һәм $(1,0)$ парҙары яландың нуленә һәм берәмегенә тап килә. Бындай ысул Кэли — Диксон процедураһының айырым осрағы булып тора.

Уйланма берәмек — ул $(0,1)$ пары. Уның квадраты $\left(-1,\;0\right)$-гә тигеҙ, йәғни $-1.$ Теләһә ниндәй комплекслы һанды $(a,b)=(a,0)(1,0)+(b,0)(0,1)=a(1,0)+b(0,1)=a+bi.$ күренешендә яҙырға мөмкин.

Тасуирланған модель килтерелгән комплекслы һандар аксиоматикаһы ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ булыуын иҫбатлай. Сөнки, әгәр унда ҡапма-ҡаршылыҡ булһа, был бирелгән модель өсөн база булып торған, беҙ баштан уҡ ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ тип уйлаған ысын һандар арифметикаһында ҡапма-ҡаршылыҡ булыуын аңлатыр ине.

Матрицалы модель

Комплекслы һандарға, ғәҙәттәге матрицаларҙы ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре менән,  2×2 күренешендәге ысын матрицалар ҡулсаһының аҫҡулсаһы булараҡ билдәләмә бирергә лә мөмкин

${\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}$

Ысын берәмеккә

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ ярашлы,

уйланма берәмеккә —

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$.

Бындай матрицалар күмәклеге ике үлсәмле векторлы арауыҡ. $x+iy$ комплекслы һанына ҡабатлау һыҙыҡлы оператор була. $e_{1}=1,e_{2}=i$ базисында $x+iy$ һанына ҡабатлау һыҙыҡлы операторы A юғарыла күрһәтелгән матрица менән күрһәтелә, сөнки:

$(x+iy)\cdot 1=x\cdot 1+y\cdot i$

$(x+iy)\cdot i=(-y)\cdot 1+x\cdot i$

Күпбыуындарҙың фактор-ҡулса моделы

Ысын коэффициентлы күпбыуындар ҡулсаһы $\mathbb {R} [x]$ ҡарайбыҙ һәм $x^{2}+1$ күпбыуыны модуле буйынса (йәки, шул уҡ булған, күрһәтелгән күпбыуын менән булдырылған идеал буйынса) уның фактор-ҡулсаһын төҙөйбөҙ. Был шуны аңлата, $\mathbb {R} [x]$-тан ике күпбыуынды, әгәр $x^{2}+1$ күпбыуынына бүлгәндә улар бер үк ҡалдыҡ бирһәләр, беҙ эквивалентлы тип иҫәпләйбеҙ. Мәҫәлән, $x^{2}$ күпбыуыны $-1$ константаһына эквивалентлы, $x^{3}$ күпбыуыны $-x$-ҡа эквивалентлы Ҡалып:Итд

Эквивалентлыҡ кластары күмәклеге берәмек менән ҡулса төҙөй. $x^{2}+1$ күпбыуыны килтерелмәгән булғанлыҡтан, был фактор-ҡулса ялан була. Уйланма берәмек ролен $i(x)=x$ күпбыуыны уйнай, сөнки уның квадраты (юғарыла ҡара) $-1.$-гә эквивалентлы. Һәр эквивалентлыҡ класында $a+bx$ күренешендәге ҡалдыҡ бар ($x^{2}+1$ күпбыуынына бүлеүҙән ҡалдыҡ), уны, әйтелгәндәрҙән сығып, $a+bi.$ күренешендә яҙырға мөмкин. Ошонан сығып, был ялан комплекслы һандар яланына изоморфлы.

Вариациялар һәм дөйөмләштереү

Комплекслы һандарҙың яҡындағы һөҙөмтәһе 1843 йылда билдәле була. Был кватерниондар есеме була, уның, комплекслы һандар яланынан айырмалы рәүештә, өс уйланма берәмеге бар, традицион рәүештә i , j , k тип тамғаланалар . {\displaystyle i,j,k.} {\displaystyle i,j,k.} Комплекслы һандар, Фробениус теоремаһына ярашлы, ысын һандар яланында сикле үлсәмле алгебраның өс мөмкин булған осрағының береһе булып тора. 1919 йылда асыҡланыуынса, комплекслы һандар ысын һандарҙан, һәм кватерниондар комплекслы һандарҙан. бер үк «Кэли — Диксон процедураһы» кеүек үлсәмде икеләтеү процедураһы ярҙамында килеп сығырға мөмкин. Был процедураны артабан ҡулланып, процедура ярҙамында билдәле булғанға тиклем үк Артур Кэли 1845 йылда тасуирлаған һандар килеп сыға, улар «Кэли һандары» (октониондар, октавалар) тип аталалар. Процедураны артабан ҡулланып табылған һандар седениондар тип аталалар. Был процедураны ҡулланыуҙы артабан да ҡулланырға мөмкин булыуға ҡарамаҫтан, артабанғы һандарҙың әлегә атамалары юҡ.

Әҙәбиәт

• Балк М. Б., Балк Г. Д., Полухин А. А. Реальные применения мнимых чисел. — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.
• Виленкин Н. Я., Ивашов-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие. — Изд. 6-е. — М.: Просвещение, 1998. — 288 с. — ISBN 5-09-008036-4.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Глазков Ю. А., Варшавский И. К., Гаиашвили М. Я. Комплексные числа. 9—11 классы. — М.: Экзамен, 2012. — 157 с. — ISBN 978-5-377-03467-4.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
• Кириллов А. А. Что такое число?. — М., 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд. — М.: Наука, 1972.
• Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Смирнов В. И. Курс высшей математики в трёх томах. — Изд. 10-е. — СПб.: БХВ-Петербург, 2010. — Т. 3, часть 2-я. — 816 с. — ISBN 978-5-9775-0087-6.
• Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1951. — Т. 1. — С. 160—168. — 448 с.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.

Һылтанмалар

• Глейзер Г. Комплексные числа (часть 1 из 2)  (билдәһеҙ). Журнал «Математика». — № 10 (2001). Дата обращения: 18 апрель 2017.
  • (часть 2 из 2) 2018 йыл 10 февраль архивланған., «Математика» № 11 (2001).
• Понтрягин Л. Комплексные числа // Квант. — 1982. — № 3.
• Формульный калькулятор комплексных чисел под [[Microsoft Windows|Windows]]  (билдәһеҙ). Дата обращения: 17 ғинуар 2018.