Экспонента

Экспоне́нта — күрһәткесле функция $f(x)=\exp(x)=e^{x}$, бында $e$ — Эйлер һаны$(e\approx 2,718)$.

Экспонента графигы $y=e^{x}$ (күк).
$e^{x}$ функцияһы графигына нуль нөктәһендә тейеүсе (ҡыҙыл) ${\frac {\pi }{4}}~(45^{\circ })$ ауышлыҡта.
Миҫал өсөн $y=2^{x}$ (нөктәләр менән) һәм $y=4^{x}$ (пунктирлы) функцияларының да графигы бирелгән

Билдәләмә

Экспоненциаль функцияға билдәләмәне төрлө эквивалент ысулдар менән бирергә мөмкин. Мәҫәлән, Тейлор рәте аша:

$e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$

йәки сикләмә аша: $e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$. Бында $x$ — теләһә ниндәй комплекслы һан.

Үҙсәнлектәре

• $(e^{x})'=e^{x}$, айырым алғанда, экспонента — $y'=y$ дифференциаль тигеҙләмәһенең $y(0)=1$ башланғыс шарттары өсөн берҙән-бер сығарылышы. Бынан тыш, бер төрлө дифференциаль тигеҙләмәләрҙең уртаҡ сығарылыштары экспонента аша күрһәтеләләр.
• Экспонентаның билдәләнеү өлкәһе бөтә ысын һандар күмәклеге. Ул бөтә һандар күмәклегендә үҫә барыусы һәм тик ыңғай ҡиммәттәр ала.
• Экспонента — ҡабарынҡы функция.
• Уға кире функция — натураль логарифм $(\ln x)$.
• Экспонентаның Фурье-образы юҡ.
• Ләкин Лаплас үҙгәртеүе бар.
• Экспонентаның сығарылмаһы нуль нөктәһендә $1$-гә тигеҙ, шуға күрә экспонентаға тейеүсе был нөктәлә x күсәренә $45^{\circ }~{\Big (}{\frac {\pi }{4}}{\Big )}$ ауышлыҡта
• Экспонентаның, һәр төрлө күрһәткесле функция кеүек, төп функциональ үҙсәнлектәре:

  $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$.

  • Ундай үҙсәнлеккә эйә булған өҙлөкһөҙ функция йәки тождестволы $0$-гә тигеҙ, йәки $\exp(cx)$ күренешендә, бында $c$ — ниндәйҙер константа.
• $e^{x}=\sinh x+\cosh x$, бында $\sinh$ һәм $\cosh$ — гиперболалы синус һәм косинус.

Комплекслы экспонента

Комплекслы яҫылыҡта экспонентаның графигы.
Легенда

Комплекслы экспонента — $f(z)=e^{z}$ формулаһы менән бирелгән математик функция, бында $z$ комплекслы һан. Комплекслы экспонента ысын $x$ үҙгәреүсәнле $f(x)=e^{x}$ экспонентаның аналитик дауамы булараҡ билдәләнә: Формаль аңлатма билдәләмә бирәйек: $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}$. Шул рәүешле билдәләнгән аңлатма ысын һандар күсәрендә классик ысын үҙгәреүсәнле экспонента менән тап килә. Ҡоролоштоң тулыһынса дөрөҫлөгө өсөн $e^{z}$ функцияһының аналитик булыуын иҫбат итергә кәрәк, йәғни $e^{z}$, сикләмәһе был функцияға тигеҙ булған ниндәйҙер рәткә тарҡала икәнде күрһәтергә кәрәк. Быны күрһәтәйек: $f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ Был рәттең сикләмәһе булыуы еңел иҫбатлана: $\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}$. Рәттең һәр саҡ сикләмәһе бар, шулай итеп, был рәттең һәр конкрет нөктәлә суммаһы $f(z)=e^{z}$ аналитик функцияһының ҡиммәтен билдәләйәсәк. Берҙән-берлек теоремаһына ярашлы, килеп сыҡҡан дауам берҙән-бер була. Ошонан сығып, комплекслы яҫылыҡта $e^{z}$ функцияһы һәр саҡ билдәләнгән һәм аналитик.

Үҙсәнлектәре

• Комплекслы экспонента — бөтә комплекслы яҫылыҡта бөтөн голоморфлы функция. Бер нөктәлә лә ул нулгә әйләнмәй.
• $e^{z}$ — периодлы функция, төп периоды 2πi: $e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}$. Периодлы булғанлыҡтан комплекслы экспонента күп ҡиммәтле функция. Уның бер ҡиммәтлелек өлкәһе сифатында $2\pi$ бейеклегендәге теләһә ниндәй горизонталь һыҙатты алырға мөмкин.
• $e^{z}$ — сығарылмаһы (шулай уҡ ярашлы рәүештә интегралы ла) үҙенә тигеҙ булған берҙән-бер функция.
• Комплекслы аргументлы $z=x+iy$ алгебрак экспонента түбәндәгесә билдәләнергә мөмкин:

  $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ (Эйлер формулаһы)

  • Атап әйткәндә, (Эйлер тождествоһы)

    $e^{i\pi }+1=0$ тигеҙлеге дөрөҫ

Вариациялары һәм дөйөмләштереүҙәр

Оҡшаш рәүештә экспонента ирекле ассоциатив алгебра элементы өсөн билдәләнә. Конкрет осраҡта шулай уҡ күрһәтелгән сикләмәләр бар икәнен иҫбатлау талап ителә.

Матрицалы экспонента

Квадрат матрицанан (йәки һыҙыҡлы операторҙан) экспонентаны формаль рәүештә, матрицаны ярашлы рәткә ҡуйып билдәләргә мөмкин:

$\exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.$

Шул рәүешле билдәләнгән рәттең теләһә ниндәй сикләнгән нормалы $A$ операторы өсөн сикләмәһе бар, сөнки $A:$ нормаһы экспонентаһы $\exp \|A\|.$ өсөн рәт менән мажорлана (мажорируется). Тимәк, $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ матрицаһынан экспонента һәр ваҡыт билдәләнә һәм үҙе матрица булып тора. Матрицалы экспонента ярҙамында коэффициенттары даими булған һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылышы күренешен еңел бирергә мөмкин: башланғыс шарты $x(0)=x_{0}$ булған ${\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}$ тигеҙләмәһенең сығарылышы $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

h-экспонента

$h$-экспонентаны индереү икенсе бик яҡшы сикләмәгә нигеҙләнгән: $e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.$ $h\to 0$ булғанда ғәҙәттәге экспонента килеп сыға.

Кире функция

Экспоненциаль функцияға кире функция — натураль логарифм. $\ln x$ тип тамғалана: $\ln x=\log _{e}x.$

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Күрһәткесле функция
• Экспоненциаль функцияларҙың интегралдары исемлеге

Әҙәбиәт

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Һылтанмалар

• "Экспонента и число е: просто и понятно 2015 йыл 25 сентябрь архивланған." — перевод статьи An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained (инг.)