Эквивалентлыҡ бәйләнеше

Эквивалентлыҡ бәйләнеше (рус. Отношение эквивалентности) — бирелгән күмәклектең үҙсәнлектәре тигеҙлек бәйләнешенең үҙсәнлектәренә оҡшаш булған элементтары араһында бинар бәйләнеш.

Билдәләмә

$X$ күмәклегендә эквивалентлыҡ бәйләнеше ($\sim$) — ул $X$ күмәклегенән теләһә ниндәй $a,b,c$ өсөн түбәндәге шарттар үтәлгән бинар бәйләнеш:

1. рефлексивлыҡ: $a\sim a$;
2. симметриялыҡ: әгәр $a\sim b$ булһа, ул саҡта $b\sim a$;
3. транзитивлыҡ: әгәр $a\sim b$ һәм $b\sim c$ булһа, ул саҡта $a\sim c$.

«$a\sim b$» күренешендәге яҙыу «$a$ эквивалентлы $b$-ға» тип уҡыла.

Бәйле билдәләмәләр

$a\in X$ элементының эквивалентлыҡ класы $[a]\subset X$ тип $a$-ға эквивалентлы элементтары аҫкүмәклеге атала; йәғни,

$[a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}$.

Юғарыла килтерелгән билдәләмәнән кисекмәҫтән, әгәр $b\in [a]$ булһа, ул саҡта $[a]=[b]$ булыуы килеп сыға.

Факторкүмәклек — бирелгән $X$ күмәклегенең бирелгән $\sim$ бәйләнеше буйынса бөтә эквивалентлыҡ кластары күмәклеге, $X/{\sim }$ тип тамғалана.

$a$ элементының эквивалентлыҡ класы өсөн ошондай тамғалауҙар ҡулланыла: $[a]$, $a/{\sim }$, ${\overline {a}}$.

$\sim$ эквивалентлыҡ бәйләнешенә ҡарата эквивалентлыҡ кластары күмәклеге күмәклектең бүленеүе булып тора.

Миҫалдар

• Тигеҙлек («$=$»), теләһә ниндәй күмәклектә тривиаль эквивалентлыҡ бәйләнеше, айырым алғанда, ысын һандар күмәклегендә.
• Модуле буйынса сағыштырыу: а ≡ b (mod n).
• Евклид геометрияһында
  • Конгруэнтлыҡ бәйләнеше («$\cong$»).
  • Оҡшашлыҡ бәйләнеше («$\sim$»).
  • Тура һыҙыҡтарҙың параллеллеге бәйләнеше («$\|$») (әгәр һәр тура һыҙыҡты үҙ-үҙенә параллель тип иҫәпләгәндә).
• Математик анализда функцияларҙың эквивалентлығы:

  $x\rightarrow x_{0}$-да $f(x)$ функцияһы $g(x)$ функцияһына эквивалентлы була, әгәр уны $f(x)=\alpha (x)g(x)$ күренешендә күрһәтеп булһа, бында $x\rightarrow x_{0}$-да $\alpha (x)\rightarrow 1$. Был осраҡта $f(x)\sim g(x)$ тип яҙалар, кәрәк булғанда һүҙ $x\rightarrow x_{0}$-да функцияларҙы сағыштырыу тураһында барыуы иҫкә төшөрөлә. Әгәр $x\neq x_{0}$ булғанда $g(x)\neq 0$ булһа, $x\rightarrow x_{0}$-да $f(x)$ һәм $g(x)$ функцияларының эквивалентлығы, күренеүенсә, $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$ нисбәтенә тиң.

• Векторлы арауыҡта Нормаларҙың эквивалентлығы.
• Күмәклектәрҙең тиң ҡеүәтлелек бәйләнеше.
• Төркөмдәрҙең, ҡулсаларҙың, векторлы арауыҡтарҙың изоморфизмы
• Категорияларҙың эквивалентлығы.
• Ниндәйҙер категорияла изоморфизм был категорияла эквивалентлыҡ бәйләнешен бирә.
• Шыма күп төрлөлөктөң шыма атластары эквивалентлығы.

Эквивалентлыҡ кластары

$\sim$ эквивалентлыҡ бәйләнешенә яуап биргән бөтә эквивалентлыҡ кластары күмәклеге, $X/{\sim }$ символы менән тамғалана һәм $\sim$ эквивалентлыҡ бәйләнешенә ҡарата факторкүмәклек тип атала. Шул уҡ ваҡытта

$p\colon x\mapsto [x]$ сюръектив сағылышы

$X$ күмәклегенең $X/{\sim }$ факторкүмәклегенә тәбиғи сағылышы (йәки каноник проекцияһы) тип атала.

$X$ һәм $Y$ — күмәклектәр, $f\colon X\to Y$ — сағылышы булһын, ти, ул саҡта

$x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X$ ҡағиҙәһе менән билдәләнгән $x\sim y$ бинар бәйләнеше $X$ күмәклегендә эквивалентлыҡ бәйләнеше була.

Был ваҡытта $f$ сағылышы

${\overline {f}}([x])=f(x)$ ҡағиҙәһе,

йәки, шул уҡ булған,

$({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)$ менән билдәләнгән ${\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y$ сағылышын тыуҙыра.

Был ваҡытта $f$ сағылышының $p$ сюръектив сағылышына һәм ${\overline {f}}$ инъектив сағылышна факторизацияһы килеп сыға.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Отношение толерантности — эквивалентлыҡтың көсһөҙ формаһы.
• Эквиваленция — логик операция.
• Тигеҙлек тамғаһы.

Әҙәбиәт

• А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
• А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
• Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.