Коммутатив ҡулса

Ҡалып:Классы колец Коммутатив ҡулса  — ҡабатлау операцияһы коммутатив (ғәҙәттә шулай уҡ уның ассоциативлығы һәм берәмектең булыуы ла күҙаллана) булған ҡулса. Коммутатив ҡулсаларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеү менән коммутатив алгебра шөғөлләнә.

Ҡулсаның идеалдары һәм спектрҙары

Артабанғы билдәләмәләрҙең ҡайһы берҙәре коммутатив булмаған ҡулсалар өсөн дә ҡулланыла, ләкин ҡатмарлыраҡ була башлайҙар. Мәҫәлән, коммутатив ҡулсала идеал автоматик рәүештә ике яҡлы була, был хәлде һиҙелерлек ябайлаштыра.

Идеалдар һәм факторҡулсалар

Коммутатив ҡулсаның эске структураһы уның идеалдарының, йәғни ҡушыуға ҡарата, шулай уҡ ҡулсаның ирекле элементына ҡабатлауға ҡарата йомоҡ булған, буш булмаған аҫкүмәклектәренең структураһы менән билдәләнә. R коммутатив ҡулсаның бирелгән F = {f_j}_{j ∈ J} аҫкүмәклеге буйынса был аҫкүмәклек ингән иң бәләкәй идеал төҙөргә мөмкин. Атап әйткәндә, был түбәндәге күренештәге сикле һыҙыҡлы комбинациялар арауығы

r₁f₁ + r₂f₂ + … + r_nf_n.

Бер элемент барлыҡҡа килтергән идеал төп идеал тип атала. Бөтә идеалдары ла төп идеал булған ҡулса төп идеалдар ҡулсаһы тип атала. Бындай ҡулсаларға ике мөһим миҫал — $\mathbb {Z}$ һәм k яланы өҫтөндә $k[x]$ күпбыуындар ҡулсаһы. Һәр ҡулсаның кәм тигәндә ике идеалы бар — нуль идеал һәм ҡулса үҙе. Икенсе үҙенеке булмаған (ҡулсаның үҙе менән тап килмәгән) идеалға кермәгән идеал максималь тип атала. Цорн леммаһынан теләһә ниндәй ҡулсала бер булһа ла максималь идеал булыуы килеп сыға.

Идеалдың билдәләмәһе ҡулсаны үға «бүлергә» мөмкинлек бирерлек итеп төҙөлгән, йәғни R / I факторҡулсаһы бар: был I буйынса

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I and (a + I)(b + I) = ab + I операциялары менән йәнәшә кластар күмәклеге.

Был операциялар тәртип менән индерелгәндәр, мәҫәлән, (a + I)(b + I) = ab + aI + Ib + I*I = ab + I, сөнки aI I-гә инә һәм б. ш.. Ошонан сығып, ни өсөн идеалдың билдәләмәһе тап шулай икәне аңлашыла.

Локалләштереү

Ҡулсаны локалләштереү — ниндәйҙер мәғәнәлә фактор алыуға ҡапма-ҡаршы операция: факторҡулсала ниндәйҙер аҫкүмәклектең элементтары нулгә әйләнәләр, ә локалләштереүҙә ниндәйҙер күмәклектең элементтары әйләндерелмәле булып китәләр. Атап әйткәндә, әгәр S — R-ҙың ҡабатлауға ҡарата йомоҡ аҫкүмәклеге булһа, ул саҡта S⁻¹R тип тамғаланған S буйынса локалләштереү, ғәҙәттәге ҡағиҙәгә оҡшаш (ләкин уның менән тап килмәгән) числитель һәм знаменателде ҡыҫҡартыу ҡағиҙәһе менән, түбәндәге күренештәге формаль символдарҙан тора

${\frac {r}{s}}$, бында r ∈ R, s ∈ S.

Бындай «кәсерҙәрҙе» ҡушыу һәм ҡабатлау операциялары ғәҙәттәгесә билдәләнәләр.

Был телдә Q — нулдән айырмалы бөтөн һандар Z күмәклеге буйынса локалләштереү ул. Ошо уҡ операцияны Z урынына теләһә ниндәй бөтөн ҡулса менән башҡарырға мөмкин: (R \ {0})⁻¹R локалләштереүе R ҡулсаһының бүлендектәр яланы. Әгәр S f билдәләнгән элементтың бөтә дәрәжәләренән торһа, локалләштереү R_f тип тамғалана.

Ябай идеалдар һәм спектр

Идеалдарҙың үтә мөһим төрө — ябай идеалдар, уларҙы йыш ҡына p тип тамғалайҙар. Билдәләмә буйынса, ябай идеал — үҙенеке булмаған шундай идеал, әгәр уға ике элементтың ҡабатландығы инһә, ул саҡта уға был элементтарҙың береһе булһа ла инә. Эквивалентлы билдәләмә — R / p факторҡулсаһы бөтөн. Тағы ла бер эквивалентлы билдәләмә — R \ p тултырыуы ҡабатлауға ҡарата йомоҡ. (R \ p)⁻¹R локалләштереүе үтә мөһим, шуға күрә уның шәхси тамғаланышы бар: R_p. Был ҡулсаның тик бер генә максималь идеалы бар: pR_p. Шундай ҡулсалар локаль ҡулса тип аталалар.

Ябай идеалдар — Spec R ҡулса спектры ярҙамында ҡулсаны геометрик һүрәтләү өсөн төп элемент. Күмәклек булараҡ, Spec R ябай идеалдарҙан тора. Әгәр R — ялан булһа, унда тик бер генә ябай идеал (нуль) бар, шуға күрә яландың спектры — нөктә. Икенсе миҫал — Spec Z нуль идеал өсөн бер нөктәһе һәм бер нөктәһе — һәр ябай һан p өсөн. Спектры Зарисский топологияһы менән тәьмин ителгән, унда асыҡ күмәклектәр — D(f) = {p ∈ Spec R, f ∉ p} күренешендәге күмәклектәр, бында f — ҡулсаның ирекле элементы. Был топология анализдағы топологияларҙың ғәҙәттәге миҫалдарынан айырыла: мәҫәлән, нуль идеалға ярашлы нөктәнең осо — ул һәр ваҡытта бөтә спектр.

Спектрҙың билдәләмәһе коммутатив алгебра һәм алгебраик геометрия өсөн нигеҙ булып тора. Алгебраик геометрияла спектр ${\mathcal {O}}$ шәлкеме менән тәьмин ителә. «Арауыҡ һәм унда шәлкем» пары аффинлы схема тип атала. Аффинлы схема буйынса, глобаль киҫелештәр функторын ҡулланып, баштағы ҡулсаны тергеҙергә мөмкин. Улай ғына түгел, был ярашлылыҡ функториаль: ул ҡулсаларҙың һәр f : R → S гомоморфизмына ҡапма-ҡаршы йүнәлештә өҙлөкһөҙ сағылышты ярашлы ҡуя:

Spec S → Spec R, q ↦ f⁻¹(q) (теләһә ниндәй ябай идеалдың прообразы ябай).

Шулай итеп, аффинлы схемаларҙың һәм коммутатив ҡулсаларҙың категориялары эквивалентлы. Ошонан сығып, ҡулсаларға һәм уларҙың гомоморфизмдарына ҡулланылған күп билдәләмәләр геометрик интуициянан килеп сығалар. Аффинлы схемалар схемалар өсөн локаль бирелеш булып торалар (яҡынса, нисек Rⁿ арауыҡтары төрлөлөктәр өсөн локаль бирелеш булып торалар, шулай), улар алгебраик геометрияның төп өйрәнеү объекты булып торалар.

Ҡулсалар гомоморфизмдары

Алгебрала ғәҙәттәгесә гомоморфизм тип алгебраик объекттар араһында уларҙың структураһын һаҡлаусы сағылышты атайҙар. Атап әйткәндә, берәмеге булған (коммутатив) ҡулсаларҙың гомоморфизмы — ул шундай f : R → S сағылышы, бында

f(a + b) = f(a) + f(b), f(ab) = f(a)f(b) and f(1) = 1.

Был осраҡта S шулай уҡ R-алгебра була: ысынлап та, S-тың элементтарын R-ҙың элементтарына түбәндәге ҡағиҙә буйынса ҡабатларға мөмкин

r · s := f(r) · s.

f гомоморфизмының үҙәге һәм образы — ул ker (f) = {r ∈ R, f(r) = 0} һәм im (f) = f(R) = {f(r), r ∈ R} күмәклектәре. Үҙәк R-ҙа идеал була, ә образ — S-тың аҫҡулсаһы.

Үлсәнеш

Крулль үлсәнеше (йәки тик үлсәнеш) ҡулсаның «үлсәмен» билдәләү ысулы ул. Атап әйткәндә, ул түбәндәге күренештәге ябай идеалдар сынйырының максималь оҙонлоғо n

${\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}$.

Мәҫәлән, яландың үлсәнеше 0, сөнки уның бер генә идеалы бар — нуль. Бөтөн һандарҙың үлсәнеше — бер; ябай идеалдарҙың берҙән бер сынйыры түбәндәге күренештә

$0={\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq p\mathbb {Z} ={\mathfrak {p}}_{1}$, бында p — ябай һан.

Локаль ҡулса максималь идеалы m менән, әгәр уның үлсәнеше R/m өҫтөндә векторлы арауыҡ кеүек m/m² үлсәнешенә тигеҙ булһа, регуляр ҡулса тип атала.

Әҙәбиәт

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Факториал Пресс, 2003 — ISBN 5-88688-067-4.
• Eisenbud, David (1995), «Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry.», vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1 
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). «Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas». — Publications Mathématiques de l’IHÉS 4
• Matsumura, Hideyuki (1989), «Commutative Ring Theory» (2nd ed.), Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 
• Pinter-Lucke, James (2007), "«Commutativity conditions for rings: 1950–2005»", Expositiones Mathematicae Т. 25 (2): 165–174, ISSN 0723-0869, DOI 10.1016/j.exmath.2006.07.001 
• Zariski, Oscar & Samuel, Pierre (1958-60), «Commutative Algebra I, II», University series in Higher Mathematics, Princeton, N.J.: D. van Nostrand, Inc.