Парабола

Пара́бола (грек. παραβολή — ҡушымта) — бирелгән тура һыҙыҡтан (параболаның директрисаһы тип аталған) һәм бирелгән нөктәнән (параболаның фокусы тип аталған) бер тигеҙ алыҫлыҡта ятҡан нөктәләрҙең геометрик урыны.

Парабола
Парабола, уның фокусы һәм директрисаһы
Конус киҫелеше:	Парабола конус киҫелеше булараҡ
Эксцентриситет:	$\textstyle e=1$
Тигеҙләмәләр:	${\begin{smallmatrix}y=x^{2}\\[10pt]y=ax^{2}+bx+c\\[10pt]Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\\(B^{2}-4AC=0)\end{smallmatrix}}$
гипербола парабола эллипс әйләнә

Эллипс һәм гипербола менән бер рәттән, парабола конус киҫелеше булып тора. Уға берәмек эксцентриситетлы конус киҫелеше тип билдәләмә бирергә мөмкин.

Парабола булған конус киҫелеше һүрәте

Параболаны конус киҫелеше булараҡ төҙөү

Конус киҫелештәре

Түбәһе

Параболаның, уның директрисаһына иң яҡын ятҡан нөктәһе был параболаның түбәһе тип атала. Түбәһе фокустан директрисаға төшөрөлгән перпендикулярҙың уртаһы була.

Тигеҙләмәләр

Параболаның тура мөйөшлө координаталар системаһында каноник тигеҙләмәһе:

$\textstyle y^{2}=2px,p>0$ (йәки $\textstyle x^{2}=2py$, әгәр күсәрҙәрҙең урындарын алмаштырғанда).

p һаны фокаль параметр тип атала, ул фокустан директрисаға тиклемге алыҫлыҡҡа тигеҙ. Поскольку каждая точка Параболаның һәр нөктәһе фокустан һәм директрисанан бер тигеҙ алыҫлыҡта булғас, түбәһе лә — шулай уҡ, шуға күрә ул фокус һәм директриса араһында икеһенән дә ${\frac {p}{2}}$ алыҫлығында ята.

Вывод

PQ директрисаһының тигеҙләмәһе: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$, F фокусының координаталары $\left({\frac {p}{2}};0\right).$ Шулай итеп, координаталар башы O — CF киҫегенең уртаһы. Параболаның тигеҙләмәһе буйынса, унда ятҡан теләһә ниндәй M нөктәһе өсөн, KM = FM тигеҙлеге үтәлә. Артабан, ${\textrm {KM=KD+DM}}={\frac {p}{2}}+x$ һәм ${\textrm {FM}}={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}$ булғанлыҡтан, тигеҙлек түбәндәге күренеште ала: ${\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x.$ Квадратҡа күтәргәндән һәм үҙгәртеүҙәр башҡарғандан һуң тиң көслө тигеҙләмә килеп сыға: $y^{2}=2px.$

Квадратик функция менән бирелгән парабола

$y=ax^{2}+bx+c$ квадратик функцияһы $a\neq 0$ булғанда шулай уҡ параболаның тигеҙләмәһе була һәм графикта $y=ax^{2}$ параболаһы кеүек үк парабола итеп һүрәтләнә, тик һуңғыһынан айырмалы рәүештә, түбәһе координаталар башында түгел, ә координаталары түбәндәге формулалар буйынса иҫәпләнгән ниндәйҙер A нөктәһендә:

$x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a}},$ бында $D=b^{2}-4ac$ — квадрат өсбыуындың дискриминанты.

Квадратик функция менән бирелгән параболаның симметрия күсәре түбәһе аша ординаталар күсәренә параллель үтә. a > 0 (a < 0) булғанда фокус был күсәрҙә түбәһе өҫтөнән (аҫтынан) 1/4a алыҫлығында ята, ә директриса — түбәһе өҫтөнән (аҫтынан) шул уҡ алыҫлыҡта һәм абсциссалар күсәренә параллель үтә. $y=ax^{2}+bx+c$ тигеҙләмәһе $y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}}$ күренешендә күрһәтелергә мөмкин, ә координаталар башын A нөктәһенә күсергәндә параболаның тигеҙләмәһе каноник тигеҙләмәгә әйләнә. Шулай итеп, һәр квадратик функция өсөн шундай координаталар системаһын табырға мөмкин, был системала ярашлы парабола тигеҙләмәһе каноник күренештә була. Шуның менән бергә $p={\frac {1}{|2a|}}.$

Параболаның дөйөм тигеҙләмәһе

Дөйөм осраҡта параболаның координаталар күсәрҙәренең береһенә параллель симметрия күсәре булыуы мотлаҡ түгел. Ләкин, теләһә ниндәй башҡа конус киҫелеше кеүек, парабола икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ булып тора, шунлыҡтан, яҫылыҡта Декарт координаталар системаһында уның тигеҙләмәһе квадрат күпбыуын күренешендә яҙылырға мөмкин:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.$

Әгәр ошондай күренештә бирелгән икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ парабола булһа, ул саҡта өлкән быуындарҙың коэффициенттарынан төҙөлгән дискриминант $B^{2}-4AC$ нулгә тигеҙ.

Поляр системала тигеҙләмәһе

Үҙәге фокуста булған һәм параболаның күсәре буйлап нуль йүнәлешле (фокустан түбәгә) $(\rho ,\vartheta )$ поляр координаталар системаһында парабола түбәндәге тигеҙләмә менән бирелергә мөмкин

$\rho (1+\cos \vartheta )=p,$

бында p — фокаль параметр (фокустан директрисаға тиклемге алыҫлыҡ йәки фокустан түбәгә тиклемге икеләтелгән алыҫлыҡ)

Квадрат функцияның коэффициенттарын иҫәпләү

Әгәр күсәре ординаталар күсәренә параллель булған параболаның тигеҙләмәһе $y=ax^{2}+bx+c$ өсөн төрлө өс нөктәһенең координаталары $(x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3})$ билдәле булһа, ул саҡта уның коэффициенттары ошолай табылырға мөмкин:

$a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.$

Әгәр түбәһе $(x_{0};y_{0})$ һәм өлкән коэффициент $a$ билдәле булһа, ул саҡта ҡалған коэффициенттар һәм тамырҙары түбәндәге формулалар буйынса иҫәпләнә:

$b=-2ax_{0}$

$c=ax_{0}^{2}+y_{0}$

$x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}$

$x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}$

Үҙсәнлектәре

Параболаның сағылдырыу үҙсәнлеге (оптика)

P_n-тан фокусҡа F тиклемге алыҫлыҡ, P_n-тан Q_n-ҡа тиклемге алыҫлыҡҡа тигеҙ (L директрисаһында)

FP_nQ_n һыҙыҡтарының оҙонлоҡтары тигеҙ. Эллипстан айырмалы рәүештә, параболаның икенсе фокусы — сикһеҙлектә (шулай уҡ ҡарағыҙ Шары Данделена)

• Парабола — икенсе тәртиптәге кәкере һыҙыҡ.
• Уның, параболаның күсәре тип аталған симметрия күсәре бар. Күсәр фокус һәм түбәһе аша директрисаға перпендикуляр үтә.
• Оптик үҙсәнлеге. Параболаның күсәренә параллель нурҙар шәлкеме, параболала сағылып, уның фокусында йыйыла. Һәм киреһенсә, фокуста урынлашҡан сығанаҡтан яҡтылыҡ, параболанан сағылып уның күсәренә параллель нурҙар шәлкеме булып тарала.
• Әгәр параболаның фокусын тейеүсегә ҡарата сағылдырһаң, ул саҡта уның образы директрисала ятасаҡ.
• Параболаның ирекле хордаһының уртаһын һәм был хорданың остарында уға үткәрелгән тейеүселәрҙең киҫешеү нөктәһен тоташтырған киҫек директрисаға перпендикуляр, ә уның уртаһы параболала ята.
• Парабола тура һыҙыҡтың антиподераһы була.
• Бөтә параболалар оҡшаш. Фокус һәм директриса араһындағы алыҫлыҡ масштабты билдәләй.
• Тура һыҙыҡ буйлап тәгәрәгән парабола фокусының траекторияһы сылбырлы һыҙыҡ .

Бәйле билдәләмәләр

• Парабола симметрия күсәре тирәләй әйләнгәндә эллиптик параболоид барлыҡҡа килә.

Дөйөмләштереү

Парабола $\textstyle n=-{\frac {1}{2}}$ булғандағы синусоидаль спираль;

Параболалар физик арауыҡта

Леонардо да Винчиҙың параболалы компасы

Йондоҙҙарға йәки башҡа массив объекттарға (йондоҙҙарға йәки планеталарға) яҡын ҙур тиҙлектә үткән ҡайһы бер космос есемдәренең (кометаларҙың, астероидтарҙың һәм башҡалар) траекториялары парабола (йәки гипербола) формаһында була. Был есемдәр үҙҙәренең ҙур тиҙлеге арҡаһында йондоҙҙоң гравитация яланына эләкмәйҙәр һәм ирекле осошон дауам итәләр. Был күренеш космос караптарының (айырып әйткәндә, Вояджер аппараттарының)гравитацион манёврҙары өсөн ҡулланыла.

Ер шарттарында ауырлыҡты юғалтыу булдырыу өсөн, самолёттарҙың Кеплер параболаһы тип аталған парабола траекторияһы буйлап осошо үткәрелә.

Һауа ҡаршылығы булмаған осраҡта есемдең осош траекторияһы, бер төрлө гравитация ҡырына яҡынайғанда, парабола күренешендә була.

Шулай уҡ параболалы көҙгөләр һәүәҫкәрҙәрҙең Кассерген, Шмидт — Кассерген, Ньютон системаһындағы күсереп йөрөтмәле телескоптарында ҡулланыла, а параболаның фокусында окулярға сағылыш биреүсе ярҙамсы көҙгөләр ҡуйыла.

Шыйыҡлыҡ һалынған һауыт вертикаль күсәре тирәләй әйләнгәндә, һауыттағы шыйыҡлыҡ йөҙө һәм вертикаль яҫылыҡ парабола буйлап киҫешәләр.

Параболаның, уның күсәренә параллель нурҙар шәлкемен фокусҡа йыйыу үҙсәнлеге прожекторҙар, фонарҙәр, фарҙар, шулай уҡ телескоп-рефлекторҙар (оптик, инфраҡыҙыл, радио- …) конструкцияларында, мәғлүмәтте алыҫ араларға тапшырыусы (спутник һәм башҡа) тар йүнәлешле антенналарҙың конструкцияларында, ҡояш электр станцияларында һәм башҡа өлкәләрҙә ҡулланыла.

Парабола формаһы ҡайһы берҙә архитектурала ҡыйыҡтар һәм көмбәҙҙәрҙе төҙөүҙә ҡулланыла.

• 
  Параболалы орбита һәм юлдаштың уның буйынса хәрәкәте (анимация)
• 
  Баскетбол тубының төшөүе
• 
  Калифорнияла, АҠШ параболалы ҡояш электр станцияһы
• 
  Һыу ағымының параболалы траекторияһы
• 
  Әйләнеүсе шыйыҡлыҡ ҡойолған һауыт
• 
  Парабола — тура һыҙыҡтың антиподераһы

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Квадратичная функция
• Кривая второго порядка
• Кубическая парабола
• Конические сечения:
  • Эллипс
  • Гипербола
  • Окружность
• Парабола Ладовского
• Параболы, вписанные в треугольник (в том числе парабола Киперта)
• Полукубическая парабола (парабола Нейла)
• Параболоид
• Шары Данделена
• Цепная линия
• Каустика

Әҙәбиәт

• Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9-16.
• Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
• А. А. Акопян, А. В. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Һылтанмалар

• Статья в справочнике «Прикладная математика».
• Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
• Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
• Учебный фильм о параболе 2016 йыл 4 март архивланған.