Тура һыҙыҡ

Тура һыҙыҡ — геометрияның төп төшөнсәләренең береһе.

Тура мөйөшлө координаталар системаһында тура һыҙыҡтарҙы һүрәтләү.

Геометрияны системаға һалып төҙөгәндә, тура һыҙыҡ ғәҙәттә төп төшөнсәләрҙең береһе итеп ҡабул ителә, ул тик геометрияның аксиомалары ярҙамында ситләтелгән рәүештә билдәләнә. Д. Гильберттың миҫалына ярашлы («нөктә тип хатта ултырғысты ла атап була»), тура һыҙыҡ ирекле объекттарҙы аңлатырға мөмкин, хатта уларҙың һүрәтләнеше һайланған Гильберт аксиоматикаһына һәм/йәки геометрия моделенә бәйле булһа ла. Мәҫәлән, Лобачевский геометрияһының Пуанкаре моделендә тура һыҙыҡ ярымәйләнә була.

Әгәр геометрияны төҙөүҙең нигеҙе булып арауыҡтың ике нөктәһе араһындағы алыҫлыҡ төшөнсәһе торһа, ул саҡта тура һыҙыҡҡа, уның буйлап барғанда, юл ике нөктә араһындағы алыҫлыҡҡа тигеҙ булған һыҙыҡ тип билдәләмә бирергә була.

Аналитик, тура һыҙыҡ беренсе дәрәжә тигеҙләмә (өс үлсәмле арауыҡта — тигеҙләмәләр системаһы) менән бирелә.

Евклид геометрияһында тура һыҙыҡтың үҙсәнлектәре

• Теләһә ниндәй нөктә аша сикһеҙ күп тура һыҙыҡ үткәрергә мөмкин.
• Теләһә ниндәй ике тап килмәгән нөктә аша берҙән-бер тура һыҙыҡ үткәрергә мөмкин.
• Яҫылыҡта ике тап килмәгән тура һыҙыҡ йә бер нөктәлә киҫешә, йәки параллель булалар (алдағы аксиоманан килеп сыға).
• Өс үлсәмле арауыҡта ике тура һыҙыҡтың үҙ-ара торошоноң өс варианты бар:
  • Тура һыҙыҡтар киҫешә;
  • тура һыҙыҡтар параллель;
  • тура һыҙыҡтар асамай.
• Тура һыҙыҡ — беренсе тәртиптәге алгебраик кәкере һыҙыҡ: Яҫылыҡта Декарт координаталар системаһында тура һыҙыҡ беренсе дәрәжә тигеҙләмә (һыҙыҡлы тигеҙләмә) менән бирелә.

Яҫылыҡта тура һыҙыҡ тигеҙләмәһе

Тура һыҙыҡты биреү ысулдары:
$\scriptstyle {y=kx+b,\;{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$ или $\scriptstyle {x\cos \theta +y\sin \theta -p=0}$.

Тура һыҙыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе

Тура һыҙыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе яҫылыҡта Декарт координаталарында:

$Ax+By+C=0,$

бында $A,B$ һәм $C$ — ирекле һандар, шуның менән бергә $A$ һәм $B$ бер юлы нулгә тигеҙ түгелдәр.

$A=0$ булғанда тура һыҙыҡ $Ox$ күсәренә параллель, $B=0$ булғанда тура һыҙыҡ — $Oy$ күсәренә параллель.

Координаталары $(A,B)$ булған вектор нормаль вектор тип атала, ул тура һыҙыҡҡа перпендикуляр.

$C=0$ булғанда тура һыҙыҡ координаталар башы аша үтә.

Тигеҙләмәне шулай уҡ ошондай күренештә күсереп яҙырға мөмкин

$A(x-x_{0})+B(y-y_{0})=0.$

Тура һыҙыҡтың мөйөшсә коэффициентлы тигеҙләмәһе

$Oy$ күсәрен $(0,\;b)$ нөктәһендә киҫеп үтеүсе һәм $Ox$ күсәренең ыңғай йүнәлеше менән $\varphi$ мөйөшө яһаусы тура һыҙыҡтың тигеҙләмәһе:

$y=kx+b,\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi .$

$k$ коэффициенты тура һыҙыҡтың мөйөшсә коэффициенты тип атала.

$Oy$ күсәренә параллель булған тура һыҙыҡты был күренештә күрһәтеп булмай (был осраҡта ҡайһы берҙә формаль рәүештә мөйөшсә коэффициент «сикһеҙлеккә әйләнә» тип әйтәләр.)

Киҫектәрҙә тура һыҙыҡ тигеҙләмәһен табыу

Тура һыҙыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе

$Ox$ күсәрен $(a,\;0)$ нөктәһендә һәм $Oy$ күсәрен $(0,\;b)$ нөктәһендә киҫеүсе тура һыҙыҡтың тигеҙләмәһе:

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\quad (a\neq 0,\;b\neq 0).$

Координаталар башы аша үтеүсе тура һыҙыҡты был күренештә күрһәтеп булмай.

Тура һыҙыҡтың нормаль тигеҙләмәһе

$x\cos \theta +y\sin \theta -p=0,$

бында $p$ — координаталар башынан тура һыҙыҡҡа төшөрөлгән перпендикулярҙың оҙонлоғо, ә $\theta$ — $Ox$ күсәренең ыңғай йүнәлеше менән был перпендикуляр йүнәлеше араһындағы (ыңғай йүнәлештә үлсәнгән) мөйөш. Әгәр $p=0$ булһа, ул саҡта тура һыҙыҡ координаталар башы аша үтә, ә $\theta =\varphi +{\frac {\pi }{2}}$ мөйөшө тура һыҙыҡтың ауышлыҡ мөйөшөн күрһәтә.

Әгәр тура һыҙыҡ $Ax+By+C=0$ дөйөм тигеҙләмәһе менән бирелһә, ул саҡта тура һыҙыҡ күсәрҙәрҙән киҫеп алған $a$ һәм $b$ киҫектәре, $k$ мөйөшсә коэффициенты, тура һыҙыҡтың координаталар башынан алыҫлығы $p,$ $\cos \theta$ һәм $\sin \theta$ $A$, $B$ һәм $C$ коэффициенттары аша түбәндәгесә күрһәтелә:

$a=-{\frac {C}{A}},\quad b=-{\frac {C}{B}},\quad k=\mathrm {tg} \,\varphi =-{\frac {A}{B}},\quad \varphi =\theta -{\frac {\pi }{2}},$

$p={\frac {C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {A}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {B}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}.$

Билдәһеҙлектән ҡотолоу өсөн радикал алдындағы тамғаны, $p>0$ шарты үтәлерлек итеп һайлайҙар. Был осраҡта $\cos \theta$ һәм $\sin \theta$ тура һыҙыҡтың ыңғай нормален — координаталар башынан тура һыҙыҡҡа төшөрөлгән перпендикулярҙы йүнәлтеүсе косинустар булып торалар. Әгәр $C=0$ булһа, ул саҡта тура һыҙыҡ координаталар башы аша үтә һәм ыңғай йүнәлеште һайлау ирекле.

Бирелгән ике тап килмәүсе нөктә аша үтеүсе тура һыҙыҡтың тигеҙләмәһе

Әгәр координаталары $(x_{1},\;y_{1})$ һәм $(x_{2},\;y_{2})$ булған ике тап килмәүсе нөктә бирелһә, улар аша үтеүсе тура һыҙыҡ түбәндәге тигеҙләмә менән бирелә

${\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0$

йәки

${\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

йәки дөйөм күренештә

$\left(y_{1}-y_{2}\right)x+\left(x_{2}-x_{1}\right)y+\left(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right)=0.$

Тура һыҙыҡтың векторлы параметрлы тигеҙләмәһен табыу

Тура һыҙыҡтың векторлы параметрлы тигеҙләмәһе

Тура һыҙыҡтың векторлы параметрлы тигеҙләмәһе, осо тура һыҙыҡта ятҡан ${\vec {r}}_{0}$ векторы һәм тура һыҙыҡтың ${\vec {u}}$ йүнәлтеүсе векторы менән бирелә. $t$ параметры бөтә ысын ҡиммәттәрҙе ҡабул итеп сыға.

${\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.$

Тура һыҙыҡтың параметрлы тигеҙләмәһе

Тура һыҙыҡтың параметрлы тигеҙләмәһе ошондай күренештә яҙылырға мөмкин:

${\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}$

бында $t$ — ирекле параметр, $a_{x},\;a_{y}$ — тура һыҙыҡтың йүнәлтеүсе векторы координаталары $x$ һәм $y$. Шуның менән бергә

$k={\frac {a_{y}}{a_{x}}},\quad a={\frac {a_{y}x_{0}-a_{x}y_{0}}{a_{y}}},\quad b={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{a_{x}}},$

$p={\frac {a_{x}y_{0}-a_{y}x_{0}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \cos \theta ={\frac {a_{x}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}},\quad \sin \theta ={\frac {a_{y}}{\pm {\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}}.$

$t$ параметрының мәғәнәһе векторлы-параметрлы тигеҙләмәләге параметрҙыҡына оҡшаш.

Тура һыҙыҡтың каноник тигеҙләмәһе

Тура һыҙыҡтың каноник тигеҙләмәһе тура һыҙыҡтың параметрлы тигеҙләмәһенән бер тигеҙләмәне икенсеһенә бүлгәндә килеп сыға: Ҡалып:Вывод

${\frac {x-x_{0}}{y-y_{0}}}={\frac {a_{x}}{a_{y}}}\Longleftrightarrow {\frac {x-x_{0}}{a_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{a_{y}}}$

бында $a_{x},a_{y}$ — тура һыҙыҡтың йүнәлтеүсе векторы координаталары $x$ һәм $y$, $x_{0}$ һәм $y_{0}$ тура һыҙыҡта ятҡан нөктәнең координаталары.

Тура һыҙыҡтың поляр координаталарҙа тигеҙләмәһе

Тура һыҙыҡтың $\rho$ һәм $\varphi$ поляр координаталарҙа тигеҙләмәһе:

$\rho (A\cos \varphi +B\sin \varphi )+C=0$

йәки

$\rho \cos(\varphi -\theta )=p.$

Тура һыҙыҡтың тангенциаль тигеҙләмәһе

Яҫылыҡта тура һыҙыҡтың тангенциаль тигеҙләмәһе:

$\xi x+\eta y=1.$

$\xi$ һәм $\eta$ һандары уның тангенциаль, һыҙыҡлы йәки Плюккер координаталары тип аталалар.

Арауыҡта тура һыҙыҡтың тигеҙләмәһе

Арауыҡта тура һыҙыҡтың векторлы параметрлы тигеҙләмәһе:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+t{\vec {a}},\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),$

бында ${\vec {r}}_{0}$ — тура һыҙыҡта ятҡан ниндәйҙер билдәләнгән $M_{0}$ нөктәһенең радиус-векторы, ${\vec {a}}$ — нулдән айырмалы, был тура һыҙыҡҡа коллинеар (уның йүнәлтеүсе векторы тип аталған) вектор, ${\vec {r}}$ — тура һыҙыҡтың ирекле нөктәһенең радиус-векторы.

Арауыҡта тура һыҙыҡтың параметрлы тигеҙләмәһе:

$x=x_{0}+t\alpha ,\;y=y_{0}+t\beta ,\;z=z_{0}+t\gamma ,\quad t\in (-\infty ,\;+\infty ),$

бында $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ — тура һыҙыҡта ятҡан ниндәйҙер билдәләнгән $M_{0}$ нөктәһенең арауыҡтағы координаталары; $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$ — был тура һыҙыҡҡа коллинеар векторҙың координаталары.

Арауыҡта тура һыҙыҡтың каноник тигеҙләмәһе:

${\frac {x-x_{0}}{\alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\beta }}={\frac {z-z_{0}}{\gamma }},$

бында $(x_{0},\;y_{0},\;z_{0})$ — тура һыҙыҡта ятҡан ниндәйҙер билдәләнгән $M_{0}$ нөктәһенең арауыҡтағы координаталары; $(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )$ — был тура һыҙыҡҡа коллинеар векторҙың координаталары.

Арауыҡта тура һыҙыҡтың дөйөм векторлы тигеҙләмәһе:

Тура һыҙыҡ, ярашлы рәүештә:

$({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0$ һәм $({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0,$ дөйөм тигеҙләмәләре менән бирелгән төрлө ике яҫылыҡтың киҫелеше булғанлыҡтан,

тура һыҙыҡтың тигеҙләмәһен был тигеҙләмәләр системаһы менән бирергә мөмкин:

${\begin{cases}({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{1})+D_{1}=0,\\({\vec {r}},\;{\vec {N}}_{2})+D_{2}=0.\end{cases}}$

Арауыҡта тура һыҙыҡтың векторлы тигеҙләмәһе^:196-199:

Арауыҡта тура һыҙыҡтың тигеҙләмәһен, был тура һыҙыҡтың ирекле нөктәһенең ${\vec {r}}$ радиус-векторы менән был тура һыҙыҡтың бирелгән ${\vec {a}}$ йүнәлтеүсе векторының векторлы ҡабатландығы күренешендә яҙырға мөмкин:

$[{\vec {r}},{\vec {a}}]={\vec {M}},$

бында ${\vec {a}}$ векторына ортогональ ${\vec {M}}$ бирелгән векторын, был тигеҙләмәгә тура һыҙыҡтың ниндәй ҙә булһа билдәле нөктәһенең радиус-векторын ҡуйып табып була.

Яҫылыҡта нөктәләрҙең һәм тура һыҙыҡтарҙың үҙ-ара торошо

Өс $(x_{1},\;y_{1})$, $(x_{2},\;y_{2})$ һәм $(x_{3},\;y_{3})$ нөктәләре бер тура һыҙыҡта яталар шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр түбәндәге шарт үтәлһә:

${\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}=0.$

$(x_{1},\;y_{1})$ нөктәһенең $Ax+By+C=0$ тура һыҙығынан тайпылышын

$\delta ={\frac {Ax_{1}+By_{1}+C}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}}$ формулаһы буйынса табырға мөмкин,

бында радикал алдындағы тамға $C$ тамғаһына ҡапма-ҡаршы. Тайпылыш модуле буйынса нөктә менән тура һыҙыҡ араһындағы алыҫлыҡҡа тигеҙ; әгәр нөктә менән координаталар башы тура һыҙыҡтан төрлө яҡта ятһалар, ул ыңғай, һәм әгәр бер яҡта ятһалар тиҫкәре була.

Арауыҡта $(x_{1},\;y_{1},\;z_{1})$ нөктәһенән

${\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb {R} \\z=z_{0}+t\gamma ,\end{cases}}$

параметрлы тигеҙләмә менән бирелгән тура һыҙыҡҡа тиклемге алыҫлыҡты, бирелгән нөктәнән тура һыҙыҡтың ирекле нөктәһенә тиклемге минималь алыҫлыҡ булараҡ табырға мөмкин. Был нөктәнең $t$ коэффициентын

$t_{\min }={\frac {\alpha (x_{1}-x_{0})+\beta (y_{1}-y_{0})+\gamma (z_{1}-z_{0})}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}$ формулаһы буйынса табырға мөмкин

Яҫылыҡта бер нисә тура һыҙыҡтың үҙ-ара торошо

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$

йәки

$y=k_{1}x+b_{1},\quad y=k_{2}x+b_{2}$ тигеҙләмәләре менән бирелгән ике тура һыҙыҡ

$x={\frac {B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {b_{1}-b_{2}}{k_{2}-k_{1}}},\quad y={\frac {C_{1}A_{2}-C_{2}A_{1}}{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}}={\frac {k_{2}b_{1}-k_{1}b_{2}}{k_{2}-k_{1}}}$ нөктәһендә киҫешә

Киҫешеүсе тура һыҙыҡтар араһындағы $\gamma _{12}$ мөйөшө

$\mathrm {tg} \,\gamma _{12}={\frac {A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}$ формулаһы буйынса табыла

Шуның менән бергә, $\gamma _{12}$ мөйөшө аҫтында, беренсе ($A_{1}$, $B_{1}$, $C_{1}$, $k_{1}$ һәм $b_{1}$ параметрҙары менән бирелгән) тура һыҙыҡты киҫешеү нөктәһе тирәһендә икенсе тура һыҙыҡ менән беренсе тап булғанға тиклем борорға кәрәк булған мөйөштө аңлайбыҙ.

Әгәр $A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0$ йәки $k_{1}=k_{2}$ булһа, был тура һыҙыҡтар параллель, һәм әгәр $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0$ йәки $k_{1}=-{\frac {1}{k_{2}}}$ булһа, был тура һыҙыҡтар перпендикуляр.

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ тигеҙләмәһе менән бирелгән тура һыҙыҡҡа параллель булған теләһә ниндәй тура һыҙыҡты $A_{1}x+B_{1}y+C=0$ тигеҙләмәһе менән бирергә мөмкин. Шуның менән бергә был тура һыҙыҡтар араһындағы алыҫлыҡ

$\delta ={\frac {C_{1}-C}{\pm {\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}}$ тигеҙ була;

Әгәр тура һыҙыҡтың тигеҙләмәһе $y_{1}=kx_{1}+b_{1}$ күренешендә бирелһә, уға параллель булған тура һыҙыҡтың тигеҙләмәһе $y=kx+b$, ул саҡта алыҫлыҡты

$\delta ={\frac {|b_{1}-b|}{\sqrt {1+k^{2}}}}$ тип иҫәпләргә мөмкин.

Әгәр радикал алдындағы тамға $C_{1}$-гә ҡапма-ҡаршы булһа, ул саҡта, икенсе тура һыҙыҡ һәм координаталар башы беренсе тура һыҙыҡтан төрлө яҡта ятҡан осраҡта, $\delta$ ыңғай була.

Өс тура һыҙыҡ

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\quad A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0$

бер нөктәлә киҫешһен йәки бер-береһенә параллель булһын өсөн,

${\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0$

шарты үтәлеүе кәрәк һәм етерлек.

Әгәр $A_{2}=-B_{1}$ һәм $B_{2}=A_{1}$ булһа, $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0$ һәм $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0$ тура һыҙыҡтары перпендикуляр.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Нөктә
• Интервал
• Киҫек
• Геодезик
• Александр тура һыҙығы
• Суслин тура һыҙығы
• Яҫылыҡ

Һылтанмалар

• Математическая энциклопедия (в 5 томах), Москва, «Советская энциклопедия», 1982 г.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике 2017 йыл 26 август архивланған.. — Выпуск 4. — Гостехиздат, 1952 г. — 32 стр.
• Прямая в пространстве, справочник математических формул «Прикладная математика»
• Прямая на плоскости, справочник математических формул «Прикладная математика»