Аксиома

Аксио́ма (бор. грек. ἀξίωμα «раҫлама, положение») йәки постула́т — ниндәй ҙә булһа бер теорияның сығанаҡ положениеһы, был теория сиктәрендә иҫбатламалар талап итмәйенсә дөрөҫ тип табыла һәм уның башҡа положениеларын иҫбат итеү өсөн ҡулланыла, ә был положениелар теорема тип атала.

Тәғәйенләнеше

Аксиомаларҙы иҫбатһыҙ ҡабул итеү зарурлығы индуктив сәбәпкә бәйле: һәр бер иҫбатлама ниндәй ҙә булһа раҫламаларға нигеҙләнергә тейеш, һәм уларҙың һәр береһенә иҫбатламалар булыу талабы ҡуйылһа, осһоҙ-ҡырыйһыҙ сынйыр барлыҡҡа килер ине. Сикһеҙлеккә китмәҫ өсөн, был сынйырҙы берәй урында өҙөргә кәрәк — йәғни ҡайһы бер раҫламаларҙы иҫбатһыҙ көйө, сығанаҡ итеп ҡабул итеү зарур. Нәҡ ошо иҫбатһыҙ сығанаҡ раҫламалар аксиома тип атала ла инде.

Хәҙерге фәндә теге йәки был теория нигеҙендә ятҡан аксиомаларҙың дөрөҫ булыуы мәсьәләһе йә башҡа фәнни теориялар сиктәрендә, йә ҡаралған теорияны интерпретациялау аша хәл ителә

Теорияны аксиомалаштырыу  — сикле йә һаналыусы (мәҫәлән, Пеано аксиоматикаһындағы кеүек) аксиомаларҙан һәм һығымта ҡағиҙәләренән торған йыйылманы күрһәтеү. Өйрәнелеүсе объекттар һәм уларҙың төп мөнәсәбәттәре, шулай уҡ был мөнәсәбәттәр буйһонған аксиомалар әйтелгәс, артабан өйрәнеү тик ошо аксиомаларға нигеҙләнергә тейеш.

Һайланған аксиомалар йыйылмалары бер нисә булырға мөмкин. Мәҫәлән, математик логикала, Евклид геометрияһында тиң әһәмиәткә эйә аксиомалар йыйылмалары осрай.

Йыйылмалағы аксиомаларҙан сығып, логика ҡағиҙәләрен файҙаланғанда ҡаршылыҡҡа юлығылмаһа, йәғни бер үк ваҡытта раҫлауҙы иҫбатлап та, уны кире ҡағып та булмаһа, был йыйылма ҡаршылыҡһыҙ тип атала.

Австрия математигы Курт Гёдель «тулы түгеллек тураһындағы теоремалар»ҙы иҫбатлай, уларға ярашлы, математик аксиомаларҙың натураль һанды асыҡлап, ҡушып һәм ҡабатлап була торған теләһә ҡайһы системаһы (формаль система) тулы түгел. Был шуны аңлата: дөрөҫлөгө лә, ялғанлығы ла был аксиомалар системаһы тарафынан иҫбатлана алмаған иҫәпһеҙ-һанһыҙ күп математик раҫламалар (функциялар, аңлатмалар) бар.

Тарихы

«Аксиома» терминын тәүләп Аристотель (б.э.т. 384—322 йй.) ҡуллана, артабан ул Боронғо Греция фәйләсүфтәренән математикаға күсә. Евклид «постулат» һәм «аксиома» тигән төшөнсәләрҙе айыра, әммә уларҙың мәғәнәһен аңлатмай. Боэций замандарынан постулаттар — талап (petitio), аксиомалар дөйөм төшөнсә булараҡ тәржемә ителә. Тәүҙә «аксиома» һүҙе «күҙгә күренеп торған хәҡиҡәт» мәғәнәһендә йөрөй. Евклид «Башланғыстар»ының төрлө манускриптында раҫламаларҙы аксиомаларға һәм постулаттарға бүлеү төрлөсә башҡарыла, уларҙың тәртибе тура килмәй. Күрәһең, күсереп яҙыусылар был төшөнсәләрҙе төрлөсә аңлағандыр.

Аксиомаларҙы күҙгә күренеп торған хәҡиҡәт тип ҡабул итеү оҙаҡ ваҡыттар дауам итә. Мәҫәлән, Даль һүҙлегендә аксиома — «күҙгә күренеп торған, иҫбатлауҙы талап итмәгән бәхәсһеҙ хәҡиҡәт».

Аксиоманы аңлауҙың үҙгәреүенә Рәсәй математигы Николай Лобачевскийҙың Евклидтыҡы булмаған геометрияһы сәбәпсе була, ул тәүләп 1820-се йылдар аҙағында баҫылып сыға. Студент сағында уҡ ул Евклидтың бишенсе постулатын иҫбатларға тырыша, әммә һуңынан был ниәтенән дүнә. Лобачевский бишенсе постулаттың бары тик ирекле сикләү булыуы һәм башҡа сикләү менән алмаштыра алыуы тураһында һығымта яһай. Әгәр Евклидтың бишенсе постулаты иҫбатлана алһа, Лобачевский ҡаршылыҡтарға осрар ине. Әммә бишенсе постулаттың яңы версияһы, күҙгә күренеп тормаһа ла, аксиома ролен үтәй һәм геометрияның яңы ҡаршылыҡһыҙ системаһын төҙөү мөмкинлеген бирә.

Тәүҙә Лобачевский идеялары танылыу алмай (мәҫәлән, академик Остроградский улар тураһында кире фекер әйтә). Һуңыраҡ, Лобачевский хеҙмәттәрен башҡа телдәрҙә нәшерләгәс, уға Гаусс иғтибар итә, ул үҙе лә Евклидтыҡы булмаған геометрия өлкәһендә бер аҙ эшләгән була. Ул ситләтеп булһа ла был хеҙмәт менән һоҡланыуын белдерә. Лобачевский геометрияһы авторҙың вафатынан һуң 10-12 йыл үткәс кенә танылыу таба. Ул математика донъяһында революция яһай. Гильберт бөтә математиканы аксиомалаштырыу буйынса ҙур күләмле проект башлай. Әммә Гёделдең тулы түгеллек тураһындағы теоремалары арҡаһында был пландар тормошҡа ашмай. Шулай ҙа был математиканы формалләштереүгә этәргес бирә. Мәҫәлән, натураль һандар һәм уларҙың арифметикаһы аксиомалары, Канторҙың күмәклектәр теорияһы барлыҡҡа килә. Был математиктарға теоремалар өсөн ҡәтғи дөрөҫ иҫбатламалар эшләү мөмкинлеген бирә.

Хәҙер аксиомалар үҙҙәренән-үҙҙәре түгел, ә теорияның база элементы сифатында нигеҙләнә — аксиомалар ярайһы уҡ ирекле була, әммә күҙгә күренеп тороуы мотлаҡ түгел. Аксиоматик системаларға берҙән-бер талап — уларҙың эске ҡаршылыҡһыҙлығы. Конкрет теория сиктәрендәге аксиомалар йыйылмаһының формалашыуы критерийҙары йыш ҡына прагматик була: формулировканың ҡыҫҡалығы, манипуляциялау еңеллеге, сығанаҡ төшөнсәләр һанының мөмкин тиклем әҙ булыуы һ. б. Бындай ҡараш ҡабул ителгән аксиомаларҙың дөрөҫлөгөн гарантияламай. Поппер критерийына ярашлы, берҙән-бер кире миҫал теорияны кире ҡаға һәм, эҙемтә булараҡ, аксиомалар системаһының ялғанлығын иҫбатлай, шул уҡ ваҡытта раҫлаусы миҫалдарҙың күмәклеге аксиомалар системаһының дөрөҫлөгө ихтималлығын арттыра ғына.

Миҫалдар

Аксиомаларға миҫалдар

1. Һайлау аксиомаһы
2. Евклидтың параллеллек аксиомаһы
3. Архимед аксиомаһы
4. Күләмлелек аксиомаһы
5. Регулярлыҡ аксиомаһы
6. Тулы индукция аксиомаһы
7. Колмогоров аксиомаһы
8. Булеан аксиомаһы.

Аксиомалар системалары миҫалдары

1. Күмәклектәр теорияһы аксиоматикаһы
2. Ысын һандар аксиоматикаһы
3. Евклид аксиоматикаһы
4. Гильберт аксиоматикаһы.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Догмат
• Айыҡ аҡыл
• Концепция
• Логика
• Гипотеза
• Формализм (математика)
• Факт
• Теорема
• Күмәклектәр теорияһы
• Категориялар теорияһы

Әҙәбиәт

• Начала Евклида. Книги I—VI. М.-Л., 1950
• Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., 1948

Һылтанмалар

• Аксиома // Брокгауз һәм Ефрондың энциклопедик һүҙлеге: 86 томда (82 т. һәм 4 өҫтәмә том). — СПб., 1890—1907. (рус.)