sh
x
{\displaystyle \operatorname {sh} x}
ch
x
{\displaystyle \operatorname {ch} x}
Гиперболик функциялар түбәндәге формулалар менән биреләләр:
sh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
(инглиз телендәге әҙәбиәттә
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
ch
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
(инглиз телендәге әҙәбиәттә
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
th
x
=
sh
x
ch
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {sh} x}{\operatorname {ch} x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
(инглиз телендәге әҙәбиәттә
tanh
x
{\displaystyle \tanh x}
cth
x
=
1
th
x
{\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1}{\operatorname {th} x}}}
(инглиз телендәге әҙәбиәттә
coth
x
{\displaystyle \coth x}
sch
x
=
1
ch
x
{\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1}{\operatorname {ch} x}}}
Гиперболик секанс ҡайһы берҙә шулай уҡ
sech
x
{\displaystyle \operatorname {sech} x}
csch
x
=
1
sh
x
{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\operatorname {sh} x}}}
Файл:Hyperbola-hyperbolic functions.png Гиперболикх функцияларға гипербола аша билдәләмә биреү Гиперболик синусты параметрлаштырыу (анимация).
ch
2
t
−
sh
2
t
=
1
{\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}t-\operatorname {sh} ^{2}t=1}
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
гиперболаһының параметрлы күҙаллауын бирә. (
x
=
ch
t
{\displaystyle x=\operatorname {ch} t}
y
=
sh
t
{\displaystyle y=\operatorname {sh} t}
t
=
2
S
{\displaystyle t=2S}
S
{\displaystyle S}
O
X
{\displaystyle OX}
O
Q
R
{\displaystyle OQR}
синус тигеҙләмәләре параметрлы формала:
x
=
t
,
y
=
f
(
t
)
{\displaystyle x=t,y=f(t)}
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
гипербола нөктәһенең
t
=
2
S
{\displaystyle t=2S}
әйләнә аша билдәләмәһенә оҡшаш, уны шулай уҡ оҡшаш рәүештә төҙөргә мөмкин.
Тригонометрик функциялар менән бәйләнеш
үҙгәртергә
Гиперболик функциялар уйланма аргументтың тригонометрик функциялары аша күрһәтеләләр.
sh
x
=
−
i
sin
(
i
x
)
,
ch
x
=
cos
(
i
x
)
,
th
x
=
−
i
tg
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sh} x=-i\sin(ix),\quad \operatorname {ch} x=\cos(ix),\quad \operatorname {th} x=-i\operatorname {tg} (ix)}
sh
(
i
x
)
=
i
sin
x
,
ch
(
i
x
)
=
cos
x
,
th
(
i
x
)
=
i
tg
x
{\displaystyle \operatorname {sh} (ix)=i\sin x,\quad \operatorname {ch} (ix)=\cos x,\quad \operatorname {th} (ix)=i\operatorname {tg} x}
Гудерман функцияһы тригонометрик функцияларҙы һәм гиперболик функцияларҙы комплекслы һандарҙы ҡулланмайынса бәйләй.
ch
2
x
−
sh
2
x
=
1.
{\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}x-\operatorname {sh} ^{2}x=1.}
йоп/таҡ булыу :
sh
(
−
x
)
=
−
sh
x
.
{\displaystyle \operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x.}
ch
(
−
x
)
=
ch
x
.
{\displaystyle \operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x.}
th
(
−
x
)
=
−
th
x
.
{\displaystyle \operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} x.}
Ҡушыу формулалары:
sh
(
x
±
y
)
=
sh
x
ch
y
±
sh
y
ch
x
.
{\displaystyle \operatorname {sh} (x\pm y)=\operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {ch} x.}
ch
(
x
±
y
)
=
ch
x
ch
y
±
sh
y
sh
x
.
{\displaystyle \operatorname {ch} (x\pm y)=\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y\pm \operatorname {sh} y\,\operatorname {sh} x.}
th
(
x
±
y
)
=
th
x
±
th
y
1
±
th
x
th
y
.
{\displaystyle \operatorname {th} (x\pm y)={\frac {\operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y}{1\pm \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y}}.}
cth
(
x
±
y
)
=
1
±
cth
x
cth
y
cth
x
±
cth
y
.
{\displaystyle \operatorname {cth} (x\pm y)={\frac {1\pm \operatorname {cth} x\,\operatorname {cth} y}{\operatorname {cth} x\pm \operatorname {cth} y}}.}
Икеләтелгән мөйөш формулалары:
sh
2
x
=
2
ch
x
sh
x
=
2
th
x
1
−
th
2
x
.
{\displaystyle \operatorname {sh} 2x=2\operatorname {ch} x\,\operatorname {sh} x={\frac {2\,\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.}
ch
2
x
=
ch
2
x
+
sh
2
x
=
2
ch
2
x
−
1
=
1
+
2
sh
2
x
=
1
+
th
2
x
1
−
th
2
x
.
{\displaystyle \operatorname {ch} 2x=\operatorname {ch} ^{2}x+\operatorname {sh} ^{2}x=2\operatorname {ch} ^{2}x-1=1+2\operatorname {sh} ^{2}x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}.}
th
2
x
=
2
th
x
1
+
th
2
x
.
{\displaystyle \operatorname {th} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1+\operatorname {th} ^{2}x}}.}
cth
2
x
=
1
2
(
th
x
+
cth
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {cth} 2x={\frac {1}{2}}(\operatorname {th} x+\operatorname {cth} x).}
th
x
=
ch
2
x
−
1
sh
2
x
=
sh
2
x
1
+
ch
2
x
.
{\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {\operatorname {ch} 2x-1}{\operatorname {sh} 2x}}={\frac {\operatorname {sh} 2x}{1+\operatorname {ch} 2x}}.}
ch
2
x
±
sh
2
x
=
(
sh
x
±
ch
x
)
2
.
{\displaystyle \operatorname {ch} 2x\pm \operatorname {sh} 2x=(\operatorname {sh} x\pm \operatorname {ch} x)^{2}.}
Тапҡырлы мөйөш формулалары:
sh
3
x
=
4
sh
3
x
+
3
sh
x
.
{\displaystyle \operatorname {sh} 3x=4\operatorname {sh} ^{3}x+3\operatorname {sh} x.}
ch
3
x
=
4
ch
3
x
−
3
ch
x
.
{\displaystyle \operatorname {ch} 3x=4\operatorname {ch} ^{3}x-3\operatorname {ch} x.}
th
3
x
=
th
x
3
+
th
2
x
1
+
3
th
2
x
.
{\displaystyle \operatorname {th} 3x=\operatorname {th} x{\frac {3+\operatorname {th} ^{2}x}{1+3\operatorname {th} ^{2}x}}.}
sh
5
x
=
16
sh
5
x
+
20
sh
3
x
+
5
sh
x
.
{\displaystyle \operatorname {sh} 5x=16\operatorname {sh} ^{5}x+20\operatorname {sh} ^{3}x+5\operatorname {sh} x.}
ch
5
x
=
16
ch
5
x
−
20
ch
3
x
+
5
ch
x
.
{\displaystyle \operatorname {ch} 5x=16\operatorname {ch} ^{5}x-20\operatorname {ch} ^{3}x+5\operatorname {ch} x.}
th
5
x
=
th
x
th
4
x
+
10
th
2
x
+
5
5
th
4
x
+
10
th
2
x
+
1
.
{\displaystyle \operatorname {th} 5x=\operatorname {th} x{\frac {\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+5}{5\operatorname {th} ^{4}x+10\operatorname {th} ^{2}x+1}}.}
Ҡабатландыҡ формулалары:
sh
x
sh
y
=
ch
(
x
+
y
)
−
ch
(
x
−
y
)
2
.
{\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {sh} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.}
sh
x
ch
y
=
sh
(
x
+
y
)
+
sh
(
x
−
y
)
2
.
{\displaystyle \operatorname {sh} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {sh} (x+y)+\operatorname {sh} (x-y)}{2}}.}
ch
x
ch
y
=
ch
(
x
+
y
)
+
ch
(
x
−
y
)
2
.
{\displaystyle \operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}{2}}.}
th
x
th
y
=
ch
(
x
+
y
)
−
ch
(
x
−
y
)
ch
(
x
+
y
)
+
ch
(
x
−
y
)
.
{\displaystyle \operatorname {th} x\,\operatorname {th} y={\frac {\operatorname {ch} (x+y)-\operatorname {ch} (x-y)}{\operatorname {ch} (x+y)+\operatorname {ch} (x-y)}}.}
Сумма:
sh
x
±
sh
y
=
2
sh
x
±
y
2
ch
x
∓
y
2
.
{\displaystyle \operatorname {sh} x\pm \operatorname {sh} y=2\operatorname {sh} {\frac {x\pm y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x\mp y}{2}}.}
ch
x
+
ch
y
=
2
ch
x
+
y
2
ch
x
−
y
2
.
{\displaystyle \operatorname {ch} x+\operatorname {ch} y=2\operatorname {ch} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {ch} {\frac {x-y}{2}}.}
ch
x
−
ch
y
=
2
sh
x
+
y
2
sh
x
−
y
2
.
{\displaystyle \operatorname {ch} x-\operatorname {ch} y=2\operatorname {sh} {\frac {x+y}{2}}\operatorname {sh} {\frac {x-y}{2}}.}
th
x
±
th
y
=
sh
(
x
±
y
)
ch
x
ch
y
.
{\displaystyle \operatorname {th} x\pm \operatorname {th} y={\frac {\operatorname {sh} (x\pm y)}{\operatorname {ch} x\,\operatorname {ch} y}}.}
Дәрәжәне кәметеү формулалары:
ch
2
x
2
=
ch
x
+
1
2
.
{\displaystyle \operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x+1}{2}}.}
sh
2
x
2
=
ch
x
−
1
2
.
{\displaystyle \operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {\operatorname {ch} x-1}{2}}.}
Сығарылмалар :
(
sh
x
)
′
=
ch
x
.
{\displaystyle (\operatorname {sh} x)^{\prime }=\operatorname {ch} x.}
(
ch
x
)
′
=
sh
x
.
{\displaystyle (\operatorname {ch} x)^{\prime }=\operatorname {sh} x.}
(
th
x
)
′
=
1
ch
2
x
.
{\displaystyle (\operatorname {th} x)^{\prime }={\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}.}
(
cth
x
)
′
=
−
1
sh
2
x
.
{\displaystyle (\operatorname {cth} x)^{\prime }=-{\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}.}
Интегралдар :
'Шулай уҡ ҡарағыҙ: Гиперболик функциялар интегралдары теҙеме Кире гиперболик функциялар интегралдары теҙеме
∫
sh
x
d
x
=
ch
x
+
C
.
{\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C.}
∫
ch
x
d
x
=
sh
x
+
C
.
{\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C.}
∫
th
x
d
x
=
ln
ch
x
+
C
.
{\displaystyle \int \operatorname {th} x\,dx=\ln \operatorname {ch} x+C.}
∫
1
ch
2
x
d
x
=
th
x
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {ch} ^{2}x}}\,dx=\operatorname {th} x+C.}
∫
1
sh
2
x
d
x
=
−
cth
x
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {1}{\operatorname {sh} ^{2}x}}\,dx=-\operatorname {cth} x+C.}
sh
x
=
∫
0
x
ch
t
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {sh} x=\int \limits _{0}^{x}\operatorname {ch} tdt.}
ch
x
=
1
+
∫
0
x
sh
t
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {ch} x=1+\int \limits _{0}^{x}\operatorname {sh} tdt.}
th
x
=
∫
0
x
d
t
ch
2
t
.
{\displaystyle \operatorname {th} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\operatorname {ch} ^{2}t}}.}
Мөйөштөң яртыһының гиперболик тангенсы аша күрһәтеү :
sh
x
=
2
th
x
2
1
−
th
2
x
2
{\displaystyle \operatorname {sh} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
ch
x
=
1
+
th
2
x
2
1
−
th
2
x
2
{\displaystyle \operatorname {ch} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
th
x
=
2
th
x
2
1
+
th
2
x
2
{\displaystyle \operatorname {th} x={\frac {2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
cth
x
=
1
+
th
2
x
2
2
th
x
2
{\displaystyle \operatorname {cth} x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}}
sch
x
=
1
−
th
2
x
2
1
+
th
2
x
2
{\displaystyle \operatorname {sch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}
csch
x
=
1
−
th
2
x
2
2
th
x
2
{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1-\operatorname {th} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {th} {\frac {x}{2}}}}}
Бөтә
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
0
≤
ch
x
−
1
≤
|
sh
x
|
<
ch
x
{\displaystyle 0\leq \operatorname {ch} x-1\leq |\operatorname {sh} x|<\operatorname {ch} x}
|
th
x
|
<
1
{\displaystyle |\operatorname {th} x|<1}
Дәрәжәле рәттәргә тарҡатыу
үҙгәртергә
sh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
…
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \operatorname {sh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
ch
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
…
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \operatorname {ch} \,x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
th
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
…
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {th} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}}
cth
x
=
1
x
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
…
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \operatorname {cth} \,x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\ldots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<|x|<\pi }
Лоран рәте )
sch
x
=
1
ch
x
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \operatorname {sch} \,x={\frac {1}{\operatorname {ch} \,x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}\,x^{2n}}{(2n)!}}}
Бында
B
2
n
{\displaystyle B_{2n}}
Бернулли һандары ,
E
2
n
{\displaystyle E_{2n}}
Эйлер һандары .
Файл:Гиперфункции.png sh(x) , ch(x) , th(x) , cth(x) sh , ch и th csch , sech и cth Аналитик үҙсәнлектәре
үҙгәртергә
Гиперболик синус һәм гиперболик косинус сикһеҙлектәге мөһим айырым нөктәнән башҡа бөтә комплекслы яҫылыҡта аналитик функциялар. Гиперболик тангенс
z
=
i
π
(
n
+
1
/
2
)
{\displaystyle z=i\pi (n+1/2)}
n
{\displaystyle n}
полюстарҙан башҡа бөтә урында аналитик . Вычеттар был бөтә полюстарҙа бергә тигеҙ. Гиперболик котангенс
z
=
i
π
n
{\displaystyle z=i\pi n}
аналитик , уның вычеттары был полюстарҙа шулай уҡ бергә тигеҙ.
Кире гиперболик функциялар
үҙгәртергә
Икенсе төрлө ареа-функциялар тип аталалар: ярашлы гиперболик функцияларҙың исемдәренә «ареа-» префиксы өҫтәлә — лат. «area»
arsh
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}
arch
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
;
x
≥
1
{\displaystyle \operatorname {arch} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
arth
x
=
ln
1
−
x
2
1
−
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
;
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {arth} x=\ln {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};|x|<1}
arcth
x
=
ln
x
2
−
1
x
−
1
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle \operatorname {arcth} x=\ln {\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x-1}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};|x|>1}
arsch
x
=
ln
1
+
1
−
x
2
x
;
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arsch} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1}
y
=
−
ln
1
+
1
−
x
2
x
{\displaystyle y=-\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}}
sch
y
=
x
{\displaystyle \operatorname {sch} y=x}
arcsch
x
=
ln
1
+
sgn
x
1
+
x
2
x
=
{
ln
1
−
1
+
x
2
x
,
x
<
0
ln
1
+
1
+
x
2
x
,
x
>
0
{\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln {\frac {1+\operatorname {sgn} x{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}=\left\{{\begin{array}{l}\ln {\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x<0\\\ln {\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}},\quad x>0\end{array}}\right.}
Файл:Ареафункции.png arsh(x) , arch(x) , arth(x) , arcth(x) Ҡайһы бер кире гиперболик һәм кире тригонометрик функциялар араһында бәйләнеш:
Arsh
x
=
−
i
Arcsin
(
−
i
x
)
,
{\displaystyle \operatorname {Arsh} x=-i\operatorname {Arcsin} (-ix),}
Arsh
(
i
x
)
=
i
Arcsin
x
,
{\displaystyle \operatorname {Arsh} (ix)=i\operatorname {Arcsin} x,}
Arcsin
x
=
−
i
Arsh
(
i
x
)
,
{\displaystyle \operatorname {Arcsin} x=-i\operatorname {Arsh} (ix),}
Arcsin
(
i
x
)
=
−
i
Arsh
(
−
x
)
,
{\displaystyle \operatorname {Arcsin} (ix)=-i\operatorname {Arsh} (-x),}
бында i — уйланма берәмек.
Был функциялар түбәндәге рәттәргә тарҡалалар:
arsh
x
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
+
…
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
2
n
+
1
,
x
<
1
;
{\displaystyle \operatorname {arsh} x=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad x<1;}
arch
x
=
ln
(
2
x
)
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
…
)
=
ln
(
2
x
)
−
∑
n
=
1
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
2
n
,
x
>
1
;
{\displaystyle \operatorname {arch} x=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\ldots \right)=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\quad x>1;}
arth
x
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
…
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
2
n
+
1
,
|
x
|
<
1.
{\displaystyle \operatorname {arth} x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\quad |x|<1.}
Сит ил әҙәбиәтендә кире гиперболик функцияларҙы йыш ҡына беренсе дәрәжә минус тамғаһы аша тамғалайҙар: мәҫәлән,
Arth
x
{\displaystyle \operatorname {Arth} \,x}
tanh
−
1
x
{\displaystyle \operatorname {tanh} ^{-1}x}
(
tanh
x
)
−
1
{\displaystyle (\operatorname {tanh} \,x)^{-1}}
cth
x
{\displaystyle \operatorname {cth} \,x}
Гиперболик функцияларҙың беренсе килеп сығыуын тарихсылар инглиз математигы Абрахам де Муавр (1707 , 1722 ) хеҙмәттәрендә күрәләр. Хәҙерге билдәләмәне һәм уларҙы ентекле тикшереүҙе Винченцо Риккати 1757 йылда башҡара («Opusculorum», том I), шулай уҡ уларҙың тамғаланышын тәҡдим итә:
sh
{\displaystyle \operatorname {sh} }
ch
{\displaystyle \operatorname {ch} }
#Билдәләмә бүлегендәге һүрәтте ҡарағыҙ).
Иоганн Ламберт (1768 ) бәйһеҙ рәүештә гиперболик функцияларҙы аса һәм артабан уларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнә, ул ғәҙәттәге һәм гиперболик тригонометрия формулаларының киң параллеллеген асыҡлай. Н. И. Лобачевский аҙағыраҡ, Евклид булмаған геометрияның ҡаршылыҡлы булмауын иҫбатларға тырышҡанда, был параллелизмды ҡуллана, унда түңәрәк тригонометрия гиперболиккә алмашынған.
Гиперболик функцияларҙың тамғаланышында ниндәйҙер төрлөлөк нығына. Мәҫәлән, Брокгауз һәм Эфрон энциклопедияһында
sinhyp
{\displaystyle \operatorname {sinhyp} }
coshyp
{\displaystyle \operatorname {coshyp} }
sh
,
ch
{\displaystyle \operatorname {sh} ,\operatorname {ch} }
sinh
,
cosh
{\displaystyle \sinh ,\cosh }
Гиперболик функциялар йыш ҡына төрлө интегралдарҙы иҫәпләгәндә осрай. Ҡайһы бер рациональ функцияларҙың һәм радикалдар ингән функцияларҙың интегралдары, гиперболик функцияларҙы ҡулланып үҙгәреүсәнде алмаштырыу ярҙамында, ябай ғына итеп иҫәпләнәләр.
(
cos
x
sin
x
−
sin
x
cos
x
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}}}
Евклид арауығының боролоштарын тасуирлаған кеүек,
(
c
h
x
s
h
x
s
h
x
c
h
x
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathop {\mathrm {ch} } \,x&\mathop {\mathrm {sh} } \,x\\\mathop {\mathrm {sh} } \,x&\mathop {\mathrm {ch} } \,x\end{pmatrix}}}
Минковский арауығында боролоштарҙы тасуирлайҙар. Ошоноң менән бәйле гиперболик функциялар йыш ҡына сағыштырмалыҡ теорияһында осрайҙар.
Үҙенең остарынан ирекле рәүештә эленеп ҡуйған бер үлсәмле арҡан йәки сынйыр
y
=
a
c
h
x
a
{\displaystyle y=a\,\mathop {\mathrm {ch} } \,{\frac {x}{a}}}
сынйырлы һыҙыҡ аркаларҙы проектирләгәндә ҡулланыла, сөнки арканың әйләндерелгән сынйырлы һыҙыҡ формаһы ауырлыҡты иң ныҡ эффективлы бүлә.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике ). — 25 000 экз. А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с. 
