Интеграл

Интеграл — математик анализдың иң мөһим төшөнсәләренең береһе, ул кәкре һыҙыҡ аҫтындағы майҙанды табыу, тигеҙһеҙ хәрәкәт ваҡытында үтелгән юлды табыу, бер төрлө булмаған есемдең массаһын табыу һәм шуға оҡшаш мәсьәләләрҙе сискәндә, шулай уҡ функцияны уның сығарылмаһы буйынса тергеҙеү мәсьәләһендә (аныҡһыҙ интеграл) барлыҡҡа килә. Ябайлаштырып, интегралды сикһеҙ һандағы сикһеҙ бәләкәй ҡушылыусылар суммаһы һымаҡ күҙ алдына килтерергә мөмкин. Интеграл аҫты функцияһы бирелгән арауыҡҡа бәйле рәүештә, интеграл — ике ҡатлы, өс ҡатлы, кәкре һыҙыҡлы, өҫкө һәм башҡа булырға мөмкин; шулай уҡ интегралға билдәләмә биреүгә төрлө ҡараш бар — Риман, Лебег, Стилтьес һәм башҡа төрҙәге интегралдарҙы айырып ҡарайҙар .

Бер үҙгәреүсәнле функция интегралы

Аныҡһыҙ интеграл

Ысын үҙгәреүсәнле $f(x)$ — функцияһы бирелһен ти. $f(x)$ функцияһының аныҡһыҙ интегралы, йәки уның алынмаһы тип, сығарылмаһы $f(x)$-ҡа тигеҙ булған $F(x)$ функцияһы атала, йәғни $F'(x)=f(x)$. Был ошолай тамғалана:

$F(x)=\int f(x)dx$

Был яҙыуҙа $\int$ — интеграл тамғаһы, $f(x)$ интеграл аҫты функцияһы, ә $dx$ — интеграллау элементы тип атала.

Бөтә функцияларҙың да сығарылмаһы булмай. Һис юғы бөтә өҙлөкһөҙ функцияларҙың да сығарылмаһы бар икәнен еңел күрһәтеп була. Константа менән генә айырылған ике функцияның сығарылмалары тап килгәнлектән, аныҡһыҙ интеграл аңлатмаһына ирекле $C$ даими һанды индерәләр, мәҫәлән

$\int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C$

Интегралды табыу операцияһы интеграллау тип атала. Интеграллау операцияһы һәм дифференциаллау түбәндәге мәғәнәлә бер-береһенә кире:

${\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C$

Аныҡ интеграл

Интеграл кәкре һыҙыҡлы трапецияның майҙаны булараҡ

Аныҡ интеграл төшөнсәһе кәкре һыҙыҡлы трапецияның майҙанын, тигеҙһеҙ хәрәкәт ваҡытында билдәле тиҙлек буйынса үтелгән юлды һәм башҡа табыу тураһында мәсьәләләр менән бәйле килеп сыға.

Нимә ул интеграл, анимация

Абсциссалар күсәре, $x=a$ һәм $x=b$ тура һыҙыҡтары һәм $y=f(x)$ функцияһының графигы менән сикләнгән, кәкре һыҙыҡлы трапеция тип аталған (һүрәтте ҡарағыҙ) фигураны ҡарайыҡ. Әгәр абсциссалар күсәре буйынса ваҡыт һалынһа, ә ординаталар күсәре буйынса — есемдең тиҙлеге, ул саҡта кәкре һыҙыҡлы трапецияның майҙаны есем үткән юл була.

Был фигураның майҙанын табыу өсөн түбәндәге ысулды ҡулланыу тәбиғи. $[a;b]$ киҫеген, $a=x_{0}<...<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{n}=b$ булған $x_{i}$ нөктәләре менән бәләкәй киҫектәргә, ә трапецияның үҙен — $[x_{i};x_{i+1}]$ киҫектәре өҫтөндә ятҡан тар һыҙаттарға бүләбеҙ. Һәр киҫектә ирекле $\xi _{i}\in [x_{i};x_{i+1}]$ нөктәһен алабыҙ. $i$-сы киҫектең оҙонлоғо $\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ бәләкәй булғанлыҡтан, унда $f(x)$ функцияһының ҡиммәтен даими һәм $y_{i}=f(\xi _{i})$-гә тигеҙ тип иҫәпләйбеҙ. Кәкре һыҙыҡлы трапецияның майҙаны яҡынса һүрәттә күрһәтелгән һикәлтәле фигураның майҙанына тигеҙ:

$S\approx \sum _{i=0}^{n-1}y_{i}\Delta x_{i}\qquad (*)$

Әгәр хәҙер бүлеү нөктәләрен, бөтә киҫектәрҙең оҙонлоғо сикһеҙ кәмерлек итеп ($\max \Delta x_{i}\to 0$) күбәйтһәк, һикәлтәле фигураның майҙаны кәкре һыҙыҡлы трапецияның майҙанына һаман да яҡыныраҡ булыр.

Шуға күрә ошондай билдәләмәгә киләбеҙ:

Әгәр киҫекте бүлеү нөктәләрен һәм $\xi _{i}$ нөктәләрен һайлауға бәйһеҙ рәүештә, бөтә киҫектәрҙең оҙонлоғо нулгә ынтылғанда, (*) суммаһының сикләнмәһе булһа, ул саҡты был сикләнмә (Риман мәғәнәһендә) $f(x)$ функцияһының $[a;b]$ киҫеге буйынса аныҡ интегралы тип атала һәм

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ тип тамғалана.

Функция үҙе был осраҡта $[a;b]$ киҫегендә интегралланыусы (Риман мәғәнәһендә) функция тип атала. (*) күренешендәге суммалар интеграль суммалар тип аталалар.

Интегралланыусы функцияларға миҫалдар:

• өҙлөкһөҙ функциялар
• тик сикле һандағы беренсе төр өҙөклөгө булған функциялар
• монотон функциялар.

Интегралланмаусы функцияға миҫал: Дирихле функцияһы ($x$ рациональ булғанда 1, иррациональ булғанда 0). Рациональ һандар күмәклеге ${\mathbb {R} }$-ҙа бөтә ерҙә тығыҙ булғанлыҡтан, $\xi _{i}$ нөктәләрен һайлап, интеграль суммаларҙың 0-дән $b-a$-ға тиклем теләһә ниндәй ҡиммәтен алырға мөмкин.

Аныҡ һәм аныҡһыҙ интеграл араһында ябай бәйләнеш бар. Атап әйткәндә, әгәр

$\int f(x)dx=F(x)+C$ булһа,

ул саҡта

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Был тигеҙлек Ньютон-Лейбниц формулаһы тип атала.

Ҙур үлсәмле арауыҡтарҙа интеграл

Ике ҡатлы һәм ҡабатлы интегралдар

Двойной интеграл как объём цилиндрического бруса

Ике ҡатлы интеграл төшөнсәһе, аныҡ интеграл кәкре һыҙыҡлы трапецияның майҙанын иҫәпләү менән бәйле булған кеүек, цилиндрик бурсаның күләмен иҫәпләгәндә барлыҡҡа килә. $XY$ яҫылығында ниндәйҙер ике үлсәмле $D$ фигураһын һәм унда бирелгән ике үҙгәреүсәнле $f(x,y)$ функцияһын ҡарайыҡ. Был функцияны бирелгән нөктәлә бейеклек итеп ҡарап, килеп сыҡҡан есемдең күләмен табыу мәсьәләһен ҡуяйыҡ (һүрәтте ҡарағыҙ). Бер үлсәмле осраҡҡа оҡшаш рәүештә, $D$ фигураһын етерлек бәләкәй $d_{i}$ өлкәләренә бүләбеҙ, һәр береһендә берәр $\xi _{i}=(x_{i},y_{i})$ нөктә алабыҙ һәм интеграль сумма төҙөйбөҙ

$\sum _{i}f(x_{i},y_{i})S(d_{i})$

бында $S(d_{i})$ — $d_{i}$ өлкәһенең майҙаны. Фигураны бүлгесләүгә һәм $\xi _{i}$ нөктәләрен һайлауға бәйһеҙ рәүештә, өлкәләрҙең диаметрҙары нулгә ынтылғанда был сумманың сикләмәһе булһа, ул саҡта был сикләмә $f(x,y)$ функцияһының $D$ өлкәһе буйынса ике ҡатлы интегралы (Риман мәғәнәһендә) тип атала һәм

$\int \limits _{D}f(x,y)dS$, $\int \limits _{D}f(x,y)dxdy$, йәки $\iint \limits _{D}f(x,y)dxdy$ тип тамғалана.

Цилиндрик бурсаның күләме ошо интегралға тигеҙ.

Ҡулланыу

Бер төрлө булмаған есемдең массаһы тураһында мәсьәлә тәбиғи рәүештә интеграл төшөнсәһенә килтерә. Шулай, үҙгәреүсән $\rho (x)$ тығыҙлыҡлы стержендең массаһы түбәндәге интеграл менән бирелә

$M=\int \rho (x)dx$

оҡшаш осраҡта яҫы фигураның

$M=\iint \rho (x,y)dxdy$

һәм өс үлсәмле есем өсөн

$M=\iiint \rho (x,y,z)dxdydz$

Дөйөмләштереүҙәр

Лебег интегралы

Лебег интегралына билдәләмә биреүҙең нигеҙендә $\sigma$-аддитив үлсәм төшөнсәһе ята. Үлсәм оҙонлоҡ, майҙан һәм күләм төшөнсәләрен тәбиғи дөйөмләштереү булып тора.

$X$ арауығында бирелгән $f$ функцияһының $\mu$ үлсәме буйынса Лебег интегралын

$\int \limits _{X}f\mu$, $\int \limits _{x\in X}f(x)\mu$ йәки $\int \limits _{X}f(x)\mu (dx)$

тип тамғалайҙар. Һуңғы ике тамғалауҙы, интеграллау $x$ үҙгәреүсәне буйынса башҡарыла икәнен һыҙыҡ өҫтөнә алырға кәрәк булғанда ҡулланалар. Ләкин йыш ҡына артабанғы бик үк дөрөҫ булмаған тамғалауҙы ҡулланалар

$\int \limits _{X}fd\mu .$

Киҫектең (тура дүртмөйөштөң, параллелепипедтың) үлсәмен уның оҙонлоғона (майҙанына, күләменә) тигеҙ тип, ә сикле йәки иҫәпле һандағы киҫешмәүсе киҫектәрҙең (тура дүртмөйөштәрҙең, параллелепипедтарҙың) берекмәһенең үләсәмен, ярашлы рәүештә, уларҙың үлсәмдәренең суммаһына тигеҙ тип уйлап, һәм был үлсәмде үлсәнмәле күмәклектәрҙең киңерәк класына дауам итеп, тура һыҙыҡта (${\mathbb {R} }^{2}$-та, ${\mathbb {R} }^{3})$-та) Лебег үлсәме тип аталған үлсәм алабыҙ.

Тәбиғи, был арауыҡтарҙа Лебег үлсәменән айырмалы үлсәмдәр ҙә индерергә мөмкин. Шулай уҡ үлсәмде теләһә ниндәй абстрактлы күмәклектә индерергә мөмкин. Риман интегралынан айырмалы рәүештә, Лебег интегралына билдәләмә биреү бөтә осраҡтар өсөн дә бер үк ҡала. Уның идеяһы шунан тора, интеграль сумманы төҙөгәндә аргументтың ҡиммәттәренең бер-береһенә яҡынлығы буйынса төркөмләмәйҙәр (Риман буйынса билдәләмәләге кеүек), ә уларға ярашлы функцияның ҡиммәтенең яҡынлығы буйынса төркөмләйҙәр.

Ниндәйҙер $X$ күмәклеге бар, унда $\sigma$-аддитив $\mu$ үлсәме һәм $f:X\to {\mathbb {R} }$ функцияһы бирелгән икән ти. Лебег интегралын төҙөгәндә тик үлсәнмәле функциялар ғына ҡарала, йәғни улар өсөн, теләһә ниндәй $a\in {\mathbb {R} }$ өсөн

$E_{a}=\{x\in X:f(x)<a\}$ күмәклектәре үлсәнмәле булған функциялар (был теләһә ниндәй Борелев күмәклеге прообразының үлсәнмәле булыуына эквивалентлы).

Башта интегралға һикәлтәле функциялар, йәғни сикле йәки иҫәпле һанда $a_{i}$ ҡиммәттәре ҡабул иткән функциялар өсөн билдәләмә бирелә:

$\int \limits _{X}f\mu =\sum _{i}a_{i}\mu (f^{-1}(a_{i}))$

бында $f^{-1}(a_{i})$ — $a_{i}$ нөктәһенең тулы прообразы; функциялар үлсәнмәле булғанлыҡтан был күмәклектәр үлсәнмәле. Әгәр был рәт абсолют йыйылһа, $f$ һикәлтәле функцияһы Лебег мәғәнәһендә интегралланыусы тип атала. Артабан, әгәр $f$-ҡа тигеҙ йыйылыусан интегралланыусы һикәлтәле $f_{n}$ функциялар эҙмә-эҙлелеге булһа, ирекле $f$ функцияһы Лебег мәғәнәһендә интегралланыусы тип атала. Шуның менән бергә уларҙың интегралдарының эҙмә-эҙлелеге шулай уҡ йыйыла; уның сикләнмәһе $f$ функцияһының $\mu$ үлсәме буйынса Лебег интегралы тип атала ла инде:

$\int \limits _{X}f\mu =\lim \int \limits _{X}f_{n}\mu$

Әгәр ${\mathbb {R} }^{n}$-да функцияларҙы һәм Лебег үлсәме буйынса интеграл ҡараһаҡ, ул саҡта бөтә Риман мәғәнәһендә интегралланыусы функциялар, Лебег мәғәнәһендә лә интегралланыусы булалар. Киреһе дөрөҫ түгел (мәҫәлән, Дирихле функцияһы Риман буйынса интегралланыусы түгел, ләкин Лебег буйынса интегралланыусы, сөнки бөтә ерҙә тиерлек нулгә тигеҙ). Ысынында, теләһә ниндәй сикле үлсәнмәле функция Лебег буйынса интегралланыусы.

Тарихи белешмә

Интеграль иҫәпләмәнең төп төшөнсәләре XVII быуат аҙағында Ньютондың һәм Лейбництың хеҙмәттәрендә индерелгән. Интегралды интеграль сумманы хәтерләткән $\int ydx$ тип тамғалауҙы Лейбниц индәрә, $\int$ символы үҙе ſ хәрефенән («һуҙынҡы s») — латин һүҙе summa-ның беренсе хәрефенән алынған (ул саҡта ſumma, сумма). «Интеграл» терминын Лейбництың уҡыусыһы Иоганн Бернулли тәҡдим итә. Интеграллау сикләнмәләрен $\int _{a}^{b}$ күренешендә яҙыуҙы Фурье 1820 йылда индерә.

Өҙлөкһөҙ функциялар осрағы өсөн интегралдың ҡәтғи билдәләмәһен Коши 1823 йылда, ә ирекле функциялар өсөн — Риман 1853 йылда әйтеп бирә. Лебег мәғәнәһендә интегралдың билдәләмәһен беренсе булып Лебег 1902 йылда (бер үҙгәреүсәнле функциялар осрағы һәм Лебег үлсәме өсөн) индерә.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Һанлы интеграллау
• Интеграллау ысулдары
• Элементар функциялар интегралдары теҙеме

Әҙәбиәт

• Виноградов И. М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

Һылтанмалар

• Weisstein, Eric W. Integral (инг.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• «Интеграл как умножение 2016 йыл 14 октябрь архивланған.» — перевод статьи A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication | BetterExplained (инг.)