Фурье рәте

Фурье́ рәте — $f$ функцияһын $\tau$ периоды менән рәт күренешендә күрһәтеү.

Өҙөклө киҫәкле-даими функцияны аппроксимациялағанда Фурье рәте быуындарын өҫтәү нәтижәһе. Алғы яҡтағы сығынтылар Фурье рәтенең өҙөклөк нөктәләрендә тигеҙ булмаған йыйылыусанлығы менән бәйле.

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)$

Был рәт шулай уҡ ошондай күренештә яҙылырға мөмкин

$f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{\tau }}x},$

бында

$A_{k}$ — $k$-сы гармоник тирбәлеү амплитудаһы,

$k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega$ — гармоник тирбәлеүҙең түңәрәк йышлығы,

$\theta _{k}$ — $k$-сы тирбәлеүҙең башланғыс фазаһы,

${\hat {f}}_{k}$ — $k$-сы комплекслы амплитуда

Дөйөм күренештә, ниндәйҙер функциялар арауығы элементының Фурье рәте тип, был элементтың ортонормалаштырылған функцияларҙың тулы системаһы буйынса, йәки, икенсе төрлө әйткәндә, ортогональ функцияларҙан торған базис буйынса тарҡалмаһы атала. Ҡулланылған интеграллау төрөнә бәйле рәүештә Фурье — Риман, Фурье — Лебег һәм башҡа рәттәр тураһында һөйләнелә.

Ортогональ күпбыуындарҙың һәм башҡа ортогональ функцияларҙың күп системалары бар (мәҫәлән, Хаар, Уолш һәм Котельников функциялары), улар буйынса функцияларҙы Фурье рәтенә тарҡатыу башҡарылырға мөмкин.

Функцияны Фурье рәтенә тарҡатыу күп төрлө мәсьәләләрҙе сығарғанда ҡеүәтле инструмент булып тора, сөнки Фурье рәте дифференциаллауҙа, интеграллауҙа, функцияның аргумент буйынса күсешендә һәм функциялар урамаһында үҙен асыҡ, аңлайышлы тота.

Фурье рәттәренең математиканың төрлө бүлектәрендә күп һандағы дөйөмләштереүҙәре бар. Мәҫәлән, теләһә ниндәй функцияны сикле төркөмдә, был төркөмдөң килтереп булмай торған матрицалы элементтары буйынса, Фурье рәтенә оҡшаш рәткә тарҡатырға мөмкин (тулылыҡ теоремаһы).

Тригонометрик Фурье рәте

$f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ функцияһының (йәғни, $([-\pi ,\pi ])$ аралығында суммаланыусы функцияның, йәки уның ысын тура һыҙыҡҡа периодик дауамының) тригонометрик Фурье рәте тип түбәндәге күренештәге функциональ рәт атала

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),$ (1)

бында

$a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,$

$a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,$

$b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,$

$a_{0}$, $a_{n}$ һәм $b_{n}$ ($n=1,2,\ldots$) һандары $f$ функцияһының Фурье коэффициенттары тип атала. Улар өсөн формулаларҙы ошолай аңлатырға була. $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ функцияһын (1) күренештәге рәт итеп күрһәтергә теләйбеҙ һәм беҙгә билдәһеҙ $a_{0}$, $a_{n}$ һәм $b_{n}$ коэффициенттарын табырға кәрәк икән ти. Әгәр (1) тигеҙлектең уң яғын $\cos(kx)$-ҡа ҡабатлаһаҡ һәм $[-\pi ,\pi ]$ аралығы буйынса интеграллаһаҡ, уң яҡтағы бөтә ҡушылыусылар, синустар һәм косинустарҙың был аралыҡта ортогональ булыуы арҡаһында, берәүһенән башҡа нулгә әйләнәләр. Килеп сыҡҡан тигеҙлектән $a_{k}$ коэффициенты еңел табыла. Оҡшаш рәүештә $b_{k}$ өсөн.

${\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])$ арауығының $f$ функцияһы өсөн (1) рәт был арауыҡта йыйылыусан. Икенсе төрлө әйткәндә, әгәр $S_{k}(x)$ аша (1) рәттең өлөшләтә суммаларын тамғалаһаҡ:

$S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)$,

ул саҡта уларҙың $f$ функцияһынан урта квадратик тайпылышы нулгә ынтыласаҡ:

$\lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0$.

Урта квадратик йыйылыусанлыҡҡа ҡарамай, функцияның Фурье рәте, ғөмүмән әйткәндә, уға нөктәләр буйынса йыйылырға бурыслы түгел.

Фурье рәттәре менән эшләгәндә йыш ҡына базис сифатында синустар һәм косинустар урынына уйланма аргументтың экспонентаһын алыу уңайлы була. Беҙ комплекслы ҡиммәтле функцияларҙың скаляр ҡабатландығы менән ${\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ арауығын ҡарайбыҙ

$\langle f,g\rangle :=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx$.

Беҙ шулай уҡ

$\varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z}$ функциялар системаһын ҡарайбыҙ.

Элеккесә, был функциялар пар-пар ортогональ булалар һәм тулы система барлыҡҡа килтерәләр, һәм, шулай итеп, теләһә ниндәй $f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ функцияһы улар буйынса Фурье рәтенә тарҡатылырға мөмкин:

$f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}$,

бында уң яҡтағы рәт $L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ нормаһы буйынса $f$ функцияһына йыйыла. Бында

${\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx$.

${\hat {f}}_{k}$ коэффициенттары Фурье классик коэффициентары менән артабанғы бәйләнеш менән бәйләнгәндәр:

${\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0$

${\hat {f}}_{0}=a_{0}/2$

${\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0$

$a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0$

$b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0$

Ысын ҡиммәтле функциялар өсөн ${\hat {f}}_{k}$ һәм ${\hat {f}}_{-k}$ коэффициенттары комплекслы эйәртеүле.

Дөйөмләштереүҙәр

Гильберт арауығында Фурье рәттәре

Юғарыла тасуирланған конструкцияны тригонометрик система менән $L^{2}[-\pi ,\pi ]$ арауығы осрағынан ирекле Гильберт арауығына дөйөмләштерергә мөмкин. $H$ Гильберт арауығында $\{\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...\}$ ортогональ система бирелһен һәм $f$ — $H$-тан ирекле элемент булһын ти. $f$-ты $\{\varphi _{k}\}$ элементтарының (сикһеҙ) һыҙыҡлы комбинацияһы күренешендә күрһәтергә теләйбеҙ икән ти:

$f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.$

Был аңлатманы $\varphi _{k}$-ға ҡабатлайбыҙ. $\{\varphi _{k}\}$ функциялар системаһының ортогональ булыуын иҫәпкә алып, $n=k$ булғандағы ҡушылыусынан башҡа, рәттең бөтә ҡушылыусылары нулгә әйләнә:

$(f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.$

$c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2}}}$ һандары $f$ элементының $\{\varphi _{k}\}$ системаһы буйынса координаталары, йәки Фурье коэффициенттары тип аталалар, ә

$\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}$ рәте $f$ элементының $\{\varphi _{k}\}$ ортогональ системаһы буйынса Фурье рәте тип атала.

Теләһә ниндәй $f$ элементының теләһә ниндәй ортогональ система буйынса Фурье рәте $H$ арауығында йыйыла, ләкин уның суммаһы $f$-кә мотлаҡ тигеҙ түгел. Сепарабель Гильберт арауығында ${\varphi _{k}}$ ортонормалаштырылған система өсөн артабанғы шарттар эквивалентлы:

• система базис була, йәғни теләһә ниндәй элементтың Фурье рәте суммаһы был элементҡа тигеҙ.
• система тулы була, йәғни $H$-та нулдән айырмалы булған, бөтә $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$ элементтарына бер юлы ортогональ булған элемент юҡ.
• система йомоҡ, йәғни теләһә ниндәй $f\in H$ өсөн Парсеваль тигеҙлеге үтәлә

$\sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2}$.

• $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$ элементтарының һыҙыҡлы комбинациялары $H$ арауығында тығыҙ.

Әгәр был шарттар үтәлмәһә, $f$ элементының Фурье рәте суммаһы, уның $\varphi _{1},\varphi _{2},...,\varphi _{n},...$ элементтары һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһына ортогональ проекцияһына тигеҙ. Был осраҡта Парсеваль тигеҙлеге урынына Бессель тигеҙһеҙлеге дөрөҫ:

$\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.$

Миҫалдар  

$\sin(kx)$, $\cos(kx)$ тригонометрик функциялары $L_{2}[-\pi ,\pi ]$ Гильберт арауығының базисын төҙөй. Әгәр беҙ йә тик косинустарҙы йә тик синустарҙы ғына ҡараһаҡ, ул саҡта бындай система артабан тулы булмай. $\cos(kx)$ функцияларының һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһы — ул $L_{2}$-нән бөтә йоп функциялар, ә $\sin(kx)$> функцияларының һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһы - бөтә таҡ функциялар. Результатом разложенияи $f$ функцияһының Фурье рәттәренә был системалар буйынса тарҡатыү нәтижәһе булып $f$ функцияһының ярашлы рәүештә йоп һәм таҡ өлөштәре торалар:

$\sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},$

$\sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.$

Тағы ла ҡыҙығыраҡ хәл $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty }$ системаһын ҡарағанда тыуа. Был система яңынан тулы булмай. Уның һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһы — $H_{2}$ Харди арауығы. Был арауыҡтың элементтары -- $f(t)=g(e^{it})$ күренешендә булған һәм бары тик шул $f\in L_{2}$ функциялары, бында $g$ — $|z|<1.$

Понтрягиндың ҡаршылыҡлы булыуы

Фурье рәттәре теорияһын Гильберт арауығы осрағына дөйөмләштергәндә, Фурье рәттәренең урама менән бәйләнешен күрһәтеүсе аңлатмаларҙың үҙсәнлектәре юғала — функциялар урамаһының Фурье коэффициенттары уларҙың Фурье коэффициенттарының быуын-быуынлап ҡабатландығы була, һәм киреһенсә, ҡабатландыҡтың Фурье коэффициенттары ҡабатлашыусыларҙың Фурье коэффициенттарының урамаһы була. Фурье теорияһын дифференциаль, интеграль һәм башҡа функциональ тигеҙләмәләрҙе сығарыуҙа ҡулланыу өсөн был үҙсәнлектәр бик мөһим булып торалар. Шуға күрә Фурье рәттәренең был үҙсәнлектәрҙе һаҡлаусы дөйөмләштерелеүҙәре ҙур ҡыҙыҡһыныу тыуҙыра. Шундай дөйөмләштереү булып Понтрягиндың ҡапма-ҡаршылыҡлы теорияһы тора. Ул локаль-компактлы Абель төркөмдәрендә бирелгән функцияларҙы ҡарай. Бындай функцияның Фурье рәте аналогы булып ҡаршылыҡлы төркөмдә бирелгән функция тора.

Фурье рәтенең йыйылыусанлығы

Фурье рәтенең йыйылыусанлығы

Фурье рәтенең йыйылыусанлығы һөҙөмтәләрен күҙәтеү

$f(x)$ функцияһының Фурье рәтенең өлөшләтә суммаларын $S_{N}(f,x)$ аша тамғалайыҡ:

$S_{N}(f,x):=\sum \limits _{k=-N}^{N}{\hat {f}}_{k}e^{ikx}$.

Артабан $S_{N}(f,x)$ функциялары эҙмә-эҙлелектәренең $f(x)$ функцияһына төрлө мәғәнәләрҙә йыйылыусанлығы тикшерелә. $f$ функцияһы $2\pi$-периодлы тип уйланыла (әгәр ул тик $[-\pi ,\pi ]$ аралығында ғына бирелһә, уны периодик дауам итергә мөмкин).

• Әгәр $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$ булһа, ул саҡта $S_{N}(f,x)$эҙмә-эҙлелеге $f(x)$ функцияһына $L_{2}$ мәғәнәһендә йыйыла. Бынан тыш, $S_{N}(f,x)$ ($L_{2}$-лә алыҫлыҡ мәғәнәһендә) $f$ функцияһының $N$-дан юғары булмаған дәрәжәләге тригонометрик күпбыуын менән иң яҡшы яҡынайыуы булалар.
• Фурье рәтенең бирелгән $x_{0}$ нөктәһендә йыйылыусанлығы — локаль үҙсәнлек, йәғни, әгәр $f$ һәм $g$ функциялары $x_{0}$ нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында тап килһәләр, ул саҡта $S_{N}(f,x_{0})$ һәм $S_{N}(g,x_{0})$ эҙмә-эҙлелектәре йә бер үк ваҡытта таралалар, йә бер үк ваҡытта йыйылалар, һәм был осраҡта уларҙың сикләнмәләре тап килә. (Локалләштереү принцибы).
• Әгәр $f$ функцияһы $x_{0}$ нөктәһендә дифференциалланыусы булһа, ул саҡта уның Фурье рәте был нөктәлә $f(x_{0})$-ға йыйыла. Теүәлерәк етерлек шарттар $f$ функцияһының шымалығы терминдарында Дини билдәһе менән бирелә.
• $x_{0}$ нөктәһендә өҙлөкһөҙ функцияның унда таралыусан Фурье рәте булырға мөмкин. Ләкин, әгәр ул таралһа, ул саҡта һис шикһеҙ $f(x_{0})$-ға. Был $x_{0}$ нөктәһендә өҙлөкһөҙ $f$ функцияһы өсөн $S_{N}(f,x_{0})$ эҙмә-эҙлелеге Чезаро буйынса $f(x_{0})$-ға йыйылыуынан килеп сыға.
• Әгәр $f$ функцияһы $x_{0}$ нөктәһендә өҙөклө булһа, ләкин был нөктәлә уңдан һәм һулдан $f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0)$ сикләнмәләре булһа, ул саҡта ҡайһы бер өҫтәлмә шарттар үтәлгәндә $S_{N}(f,x_{0})$ $(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0))/2$-ға йыйылалар. Ентеклерәк ҡарағыҙ. модифицирләнгән Дини билдәһе.
• Карлесон теоремаһы: әгәр $f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])$ булһа, ул саҡта уның Фурье рәте һәр ерҙә тиерлек уға йыйыла. Был $f\in L_{p}([-\pi ,\pi ]),p>1$ булғанда дөрөҫ. Әммә, $L_{1}([-\pi ,\pi ])$-дан шундай функциялар бар, уларҙың Фурье рәттәре бөтә нөктәләрҙә лә таралалар (шундай функцияның миҫалы Колмогоров тарафынан төҙөлгән).
• $x_{0}\in (-\pi ,\pi )$ нөктәһен билдәләйек. Ул саҡта Фурье рәттәре был нөктәлә йыйылған бөтә өҙлөкһөҙ функциялар күмәклеге $C([-\pi ,\pi ])$ арауығында беренсе категория күмәклек була. Ниндәйҙер мәғәнәлә был «типик» өҙлөкһөҙ функцияның таралыусан Фурье рәте бар тигәнде аңлата.

Фурье коэффициенттарының кәмеүе һәм функцияларҙың аналитиклығы

Функцияның аналитиклығы һәм Фурье коэффициенттарының кәмеү тиҙлеге араһында фундаменталь бәйләнеш бар. Функция ни тиклем «яҡшыраҡ», шул тиклем уның коэффициенттары тиҙерәк нулгә ынтыла, һәм киреһенсә. Фурье коэффициенттарының дәрәжәле кәмеүе $C^{(k)}$ класындағы функцияларға хас, ә экспоненциаль кәмеүе — аналитик функцияларға хас. Шундай төрҙәге бәйләнеш миҫалдары:

• Теләһә ниндәй интегралланыусы функцияның Фурье коэффициенттары нулгә ынтылалар (Риман — Лебег леммаһы^[en]).
• Әгәр $f$ функцияһы $C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$ класына инһә, йәғни $k$ тапҡыр дифференциалланыусы һәм уның $k$-сы сығарылмаһы өҙлөкһөҙ булһа, ул саҡта ${\hat {f}}_{n}=o\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)$
• Әгәр $\sum n^{\alpha }{\hat {f}}_{n}$ рәте абсолют йыйылһа, ул саҡта $f$ — $C^{(k)}([-\pi ,\pi ])$ класынан функция менән бөтә $k<\alpha$ өсөн һәр ерҙә тиерлек тап килә.
• Әгәр функция Гёльдер класына $\alpha >1/2$ күрһәткесе менән инһә, ул саҡта $\sum {\hat {f}}_{n}$ рәте абсолют йыйыла (Бернштейн теоремаһы).
• Әгәр ${\hat {f}}_{n}=O(a^{n}),0<a<1$, ул саҡта тригонометрик Фурье рәте аналитик функцияға йыйыла.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Фурье үҙгәртеүе
• Фурьеның тиҙ үҙгәртеүе
• Тригонометрик рәт
• Жордано билдәһе
• Дини билдәһе
• Һанлы рәт
• АТС теорема
• Тауыштарҙың гармоник рәте
• Гиббс күренеше

Әҙәбиәт

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.

Һылтанмалар

Представление периодических сигналов. Ряд Фурье  (билдәһеҙ).

Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье  (билдәһеҙ).