Тригонометрия

Тригономе́трия (бор. грек. τρίγωνον «өсмөйөш» һәм μετρέω «үлсәйем» һүҙҙәренән, йәғни өсмөйөштәрҙе үлсәү) — математиканың, тригонометрик функцияларҙы һәм уларҙың геометрияла өсмөйөштәрҙе сығарыу өсөн ҡулланылышын өйрәнгән бүлеге. Был термин тәүге мәртәбә 1595 йылда немец математигы Бартоломеус Питискустың китабы атамаһы булараҡ ҡулланыла. Шулай ҙа фән үҙе бик борондан астрономияла, геодезияла (Ерҙең формаһын һәм үлсәмдәрен өйрәнеүсе фән), архитектурала иҫәпләүҙәр өсөн ҡулланыла.

Тригонометрия
Өйрәнеү объекты	тригонометрик функциялар һәм единичная окружность[d]
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Өлөшләтә тура килә	геометрия треугольника[d]
Тригонометрия Викимилектә

Тригонометрик иҫәпләүҙәр геометрияның, физиканың һәм инженер эшенең бөтә өлкәләрендә лә ҡулланыла. Астрономияла алыҫ булмаған йондоҙҙарға тиклем, географияла ориентирҙар араһындағы алыҫлыҡты үлсәргә, спутниктарҙың навигация системаларын контролләргә мөмкинлек биргән триангуляция техникаһы ҙур әһәмиәткә эйә. Шулай уҡ тригонометрияның музыка теорияһы, акустика, оптика, финанс баҙарын анализләү, электроника, ихтималлыҡ теорияһы, статистика, биология, медицина (ультратауышлы тикшереү (УЗИ) һәм компьютер томографияһын да индереп), фармацевтика, химия, һандар теорияһы (һәм, эҙемтә булараҡ, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, физиканың күп бүлектәре, топография һәм геодезия, архитектура, фонетика, иҡтисад, электрон техника, машиналар төҙөү, компьютер графикаһы, кристаллография кеүек өлкәләрҙә ҡулланылыуын да билдәләп китергә кәрәк.

Тарихы

Боронғо Греция

Боронғо грек математиктары үҙҙәренең, түңәрәктең дуғаһын үлсәү менән бәйле төҙөүҙәрендә, хордалар техникаһын ҡулланғандар. Әйләнәнең үҙәгенән хордаға төшөрөлгән перпендикуляр, дуғаны һәм уға таянған хорданы урталай бүлә. Урталай бүленгән хорданың яртыһы — ул яртылаш мөйөштөң синусы, һәм шуға күрә синус функцияһы шулай уҡ «хорданың яртыһы» һымаҡ билдәле. Ошо бәйләнеш арҡаһында, бөгөнгө көндә билдәле булған байтаҡ тригонометрик тождестволар һәм теоремалар, шулай уҡ боронғо грек математиктарына ла билдәле булған, ләкин эквивалентлы хорда формаһында. Евклид һәм Архимедтың эштәрендә тригонометрия үҙенең ҡәтғи мәғәнәһендә булмаһа ла, уларҙың теоремалары үҙгәлекле тригонометрик формулаларға тиң булған геометрик күренештә килтерелгән. Хордаларҙы бүлеү өсөн Архимед теоремаһы мөйөштәрҙең суммаһы һәм айырмаһы өсөн синус формулаларына тиң. Хордалар таблицаһы булмауын компенсациялау өсөн Аристарх заманы математиктары ҡайһы берҙә башҡа теоремалар менән бер рәттән яҡшы билдәле булған теореманы ҡулланғандар, хәҙерге яҙылышта — sinα/sinβ < α/β < tgα/tgβ, бында 0° < β < α < 90°.

Беренсе тригонометрик таблицалар, моғайын, Гиппарх Никейский тарафынан төҙөлгән (б. э. тиклем 180—125 йылдар). Гиппарх беренсе булып мөйөштәр серияһы өсөн таблицаға ярашлы дуғалар һәм хордалар дәүмәлдәрен туплай. 360°-лыҡ тулы әйләнәне даими рәүештә ҡулланыу башлыса Гиппарх һәм уның хордалар таблицаһы арҡаһында нығына. Гиппарх бындай бүлеү идеяһын Гипсиклдан алған булыуы мөмкин, элек ул көндө 360 өлөшкә бүлгән, әммә көндө шулай бүлеүҙе Вавилон астрономдары тәҡдим иткән булыуы ла мөмкин.

Менелай Александрийский (б. э. 100 йыл) өс китапта "Сферика"ны яҙған. Беренсе китапта ул, Евклидтың "Башланғыстар"ының яҫы өсмөйөштөр тураһында I китабына оҡшаш рәүештә, Сферик өсмөйөштәр өсөн нигеҙ булдыра. Ул, әгәр ярашлы мөйөштәре тигеҙ булһа, ике сферик өсмөйөш конгруэнт була тигән, Евклидта оҡшашы булмаған теорема килтерә, ләкин ул конгруэнт һәм симметрик сферик өсмөйөштәр араһында айырма яһамай. Уның икенсе теоремаһы сферик өсмөйөштәрҙең мөйөштәренең суммаһы һәр саҡ 180°-тан ҙур тип әйтә. "Сферика"ның икенсе китабы сферик геометрияның астрономияла ҡулланылыуына арналған. Өсөнсө китабында «алты дәүмәл ҡағиҙәһе» булараҡ билдәле булған «Менелай теоремаһы» килтерелә.

Һуңғараҡ Клавдий Птолемей (б. э. 90 — 168 йылдары) "Альмагест"та Гиппархтың "Әйләнәләге хордалар"ын киңәйтә. "Альмагест"тың ун өс китабы — бөтә антиклыҡтың иң әһәмиәтле тригонометрик хеҙмәте. Птолемейҙың хорданы иҫәпләгәндә ҡулланған, бөгөнгө көндә шулай уҡ Птолемей теоремаһы булараҡ билдәле булған төп теоремаһы, ҡамалған ҡабарынҡы дүртмөйөштөң ҡапма-ҡаршы яҡтарының ҡабатландыҡтары суммаһы диагоналдәренең ҡабатландығына тигеҙ тип әйтә. Птолемей теоремаһының айырым осрағы Евклидтың «Данные» китабында 93-сө тәҡдим булып килтерелә.

Птолемей теоремаһы синус һәм косинус өсөн сумма һәм айырманың дүрт формулаһының тиң булыуын килтереп сығара. Аҙағыраҡ Птолемей ярты мөйөш формулаһын сығара. Птолемей был һөҙөмтәләрҙе үҙенең тригонометрик таблицаларын төҙөү өсөн ҡуллана, әммә, был таблицаның Гиппарх хеҙмәттәренән килтереп сығарылыуы ла мөмкин.

Урта быуаттар Һиндостаны

Хордаларҙы синустар менән алмаштырыу урта быуаттар Һиндостанының төп ҡаҙанышы булып тора. Был алмаштырыу тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтары һәм мөйөштәре менән бәйле төрлө функциялар индерергә мөмкинлек бирә. Шулай итеп, Һиндостанда тригонометрик дәүмәлдәр тураһында фән булараҡ тригонометрияға нигеҙ һалына.

Һиндостан ғалимдары төрлө тригонометрик нисбәттәр менән файҙаланғандар, шул иҫәптән хәҙерге формала түбәндәге күренештә күрһәтелгәндәре менән

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,$

$\sin \alpha =\cos(90^{\circ }-\alpha ),$

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta .$

Һиндостанлылар шулай уҡ тапҡыр мөйөштәр өсөн формулаларҙы ла белгәндәр $\sin n\alpha ,\qquad \cos n\alpha ,$ бында $n=2,3,4,5.$

Тригонометрия таблицалар рәүешендә күрһәтелгән астрономик иҫәпләүҙәр өсөн кәрәк. Беренсе синустар таблицаһы "Сурья-сиддханта"ла һәм Ариабхатала бар. Һуңғараҡ ғалимдар ентеклерәк таблицалар төҙөгәндәр: мәҫәлән, Бхаскара I синустар таблицаһын 1° аша төҙөй.

Көньяҡ Һиндостан математиктары XVI быуатта сикһеҙ һандар рәтен ҡушыу өлкәһендә ҙур уңыштарға өлгәшкәндәр. Күренеүенсә, улар был тикшеренеүҙәр менән, π һанының теүәлерәк ҡиммәтен иҫәпләү ысулдарын эҙләгәндә шөғөлләнгәндәр. Нилаканта һуҙ менән арктангенсты сикһеҙ дәрәжәле рәткә тарҡатыу ҡағиҙәһен килтерә. Ә «Каранападдхати» («Иҫәпләүҙәр техникаһы») аноним трактатта синусты һәм косинусты сикһеҙ дәрәжәле рәткә тарҡатыу ҡағиҙәләре килтерелә. Әйтергә кәрәк, Европала бындай һөҙөмтәгә тик 17-18 быуаттарҙа ғына яҡынлашҡандар. Шулай, синус һәм косинус өсөн рәттәрҙе Исаак Ньютон 1666 йылдар тирәһендә сығара, ә арктангенс рәтен Дж. Грегори 1671 йылда һәм Г. В. Лейбниц 1673 йылда таба.

VIII быуатта Яҡын һәм Урта Көнсығыш илдәре ғалимдары үҙҙәренән алда эшләүселәрҙең тригонометрияһын артабан үҫтергәндәр. IX быуат уртаһында Урта Азия ғалимы әл-Хорезми «Һиндостан иҫәбе тураһында» китабын яҙа. Мосолман ғалимдарының ғилми әҫәрҙәре латин теленә тәржемә ителгәс, грек, һинд һәм мосолман математиктарының күп идеялары Европа, ә аҙаҡ бөтә донъя фәне ҡаҙанышы булып китә.

Тригонометрик функциялар билдәләмәһе

Берәмек әйләнә эсендә θ мөйөшөнөң тригонометрик функциялары

Иң башта тригонометрик функциялар тура мөйөшлө өсмөйөштә яҡтар сағыштырмаһы менән бәйле була. Уларҙың берҙән бер аргументы булып мөйөш (был өсмөйөштөң ҡыҫынҡы мөйөштәренең береһе) тора.

• Синус — ҡаршы ятыусы катеттың гипотенузаға сағыштырмаһы.
• Косинус — теркәлгән катеттың гипотенузаға сағыштырмаһы.
• Тангенс — ҡаршы ятыусы катеттың теркәлгән катетҡа сағыштырмаһы.
• Котангенс — теркәлгән катеттың ҡаршы ятыусы катетҡа сағыштырмаһы.
• Секанс — гипотенузаның теркәлгән катетҡа сағыштырмаһы.
• Косеканс — гипотенузаның ҡаршы ятыусы катетҡа сағыштырмаһы.

Был билдәләмәләр ҡыҫынҡы мөйөштәр өсөн, йәғни 0°-тан 90°-ҡа тиклем (0-дән $\pi \over 2$ радианға тиклем) функцияларҙың ҡиммәттәрен иҫәпләргә мөмкинлек бирә. XVIII быуатта Леонард Эйлер был функцияларҙың билдәләнеү өлкәһен бөтә һандар күсәренә киңәйтеп, хәҙерге, дөйөмөрәк билдәләмә бирә. Тура мөйөшлө координаталар системаһында берәмек радиуслы әйләнә ҡарайыҡ (һүрәтте ҡара) һәм горизонталь күсәрҙән $\theta$ мөйөшөн һалайыҡ (әгәр мөйөштөң дәүмәле ыңғай булһа, сәғәт уғы йүнәлешенә ҡаршы һалабыҙ, икенсе осраҡта сәғәт уғы йүнәлешендә). Төҙөлгән мөйөштөң әйләнә менән киҫешеү нөктәһен A тип тамғалайбыҙ. Ул саҡта:

• $\theta$ мөйөшөнөң синусы A нөктәһенең ординатаһы тип билдәләнә.
• Косинус — A нөктәһенең абсциссаһы.
• Тангенс — синустың косинусҡа сағыштырмаһы.
• Котангенс — косинустың синусҡа сағыштырмаһы (йәғни тангенсҡа кире дәүмәл).
• Секанс — косинусҡа кире дәүмәл.
• Косеканс — синусҡа кире дәүмәл.

Ҡыҫынҡы мөйөштәр өсөн яңы билдәләмәләр элеккеләре менән тап килә.

Был функцияларға геометрия менән бәйле булмаған, һәр функцияны сикһеҙ рәткә тарҡалма итеп күрһәтеп, аналитик билдәләмә бирергә мөмкин.

Синус функцияһының үҙсәнлектәре

Синус

1. Функцияның билдәләнеү өлкәһе — бөтә ысын һандар күмәклеге: $D(y)=R$.
2. Функцияның ҡиммәттәре күмәклеге — [−1; 1] киҫеге: $E(y)$ = [−1;1].
3. $y=\sin \left(\alpha \right)$ функцияһы таҡ функция: $\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha$.
4. Функция периодлы, иң бәләкәй ыңғай периоды $2\pi$-гә тигеҙ: $\sin \left(\alpha +2\pi \right)=\sin \left(\alpha \right)$.
5. Функцияның графигы Ох күсәрен $\alpha =\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$ нөктәләрендә киҫә.
6. Даими тамғалы аралыҡтар: $y>0$ $\left(2\pi n+0;\pi +2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда һәм $y<0$ $\left(\pi +2\pi n;2\pi +2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда.
7. Функция өҙлөкһөҙ һәм аргументтың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә сығарылмаһы бар: $(\sin \alpha )'=\cos \alpha$
8. Функция $y=\sin \alpha$ $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда үҫә барыусы, һәм $\alpha \in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда кәмей барыусы.
9. Функция $\alpha =-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда иң бәләкәй ҡиммәтен һәм $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+2\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда иң ҙур ҡиммәтен ҡабул итә.

Косинус функцияһының үҙсәнлектәре

Косинус

1. Функцияның билдәләнеү өлкәһе — бөтә ысын һандар күмәклеге: $D(y)=R$.
2. Функцияның ҡиммәттәре күмәклеге — [−1; 1] киҫеге: $E(y)$ = [−1;1].
3. Функция $y=\cos \left(\alpha \right)$ йоп функция: $\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha$.
4. Функция периодлы, иң бәләкәй ыңғай периоды $2\pi$-гә тигеҙ: $\cos \left(\alpha +2\pi \right)=\cos \left(\alpha \right)$.
5. Функцияның графигы Ох күсәрен $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда киҫеп үтә.
6. Даими тамғалы аралыҡтар: $y>0$, әгәр $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+2\pi n;{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ һәм $y<0$, әгәр $\alpha \in \left({\frac {\pi }{2}}+2\pi n;3{\frac {\pi }{2}}+2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булһа.
7. Функция өҙлөкһөҙ һәм аргументтың теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә сығарылмаһы бар: $(\cos \alpha )'=-\sin \alpha$
8. Функция $y=\cos \alpha$ $\alpha \in \left(-\pi +2\pi n;2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда үҫә барыусы һәм $\alpha \in \left(2\pi n;\pi +2\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда кәмей барыусы.
9. Функция $\alpha =\pi +2\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда иң бәләкәй һәм $\alpha =2\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда иң ҙур ҡиммәтен ҡабул итә.

Тангенс функцияһының үҙсәнлектәре

Тангенс

1. Функцияның билдәләнеү өлкәһе — $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} \,$ ҡиммәттәренән башҡа бөтә ысын һандар күмәклеге $D(y)=R$
2. Функцияның ҡиммәттәре күмәклеге — бөтә ысын һандар күмәклеге: $E(y)=R.$
3. Функция $y=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)$ таҡ функция: $\mathrm {tg} \left(-\alpha \right)=-\mathrm {tg} \ \alpha$.
4. Функция периодлы, иң бәләкәй ыңғай периоды $\pi$-гә тигеҙ: $\mathrm {tg} \left(\alpha +\pi \right)=\mathrm {tg} \left(\alpha \right)$.
5. Функцияның графигы Ох күсәрен $\alpha =\pi n\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда киҫеп үтә.
6. Даими тамғалы аралыҡтар: $y>0$, әгәр $\left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ һәм $y<0$, әгәр $\left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булһа.
7. Функция өҙлөкһөҙ һәм аргументтың билдәләнеү өлкәһенән теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә сығарылмаһы бар: $(\mathop {\operatorname {tg} } \,x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}.$
8. Функция $y=\mathrm {tg} \ \alpha$ $\alpha \in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда үҫә барыусы.

Котангенс функцияһының үҙсәнлектәре

Котангенс

1. Функцияның билдәләнеү өлкәһе — </math> кроме чисел $\alpha =\pi n,n\in \mathbb {Z} \,$ ҡиммәттәренән башҡа бөтә ысын һандар күмәклеге $D(y)=R$
2. Функцияның ҡиммәттәре күмәклеге — бөтә ысын һандар күмәклеге: $E(y)=R.$
3. Функция $y=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha \right)$ таҡ функция: $\mathop {\operatorname {ctg} } \left(-\alpha \right)=-\mathop {\operatorname {ctg} } \ \alpha \,.$
4. Функция периодлы, иң бәләкәй ыңғай периоды $\pi$-гә тигеҙ: $\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha +\pi \right)=\mathop {\operatorname {ctg} } \left(\alpha \right).$
5. Функцияның графигы Ох күсәрен $\alpha ={\frac {\pi }{2}}+\pi n\,,n\in \mathbb {Z} \,$ булғанда киҫеп үтә.
6. Даими тамғалы аралыҡтар: $y>0$, әгәр $\left(\pi n;{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ һәм $y<0$, әгәр $\left({\frac {\pi }{2}}+\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булһа.
7. Функция өҙлөкһөҙ һәм аргументтың билдәләнеү өлкәһенән теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә сығарылмаһы бар: $(\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}.$
8. Функция $y=\mathop {\operatorname {ctg} } \ \alpha$ $\alpha \in \left(\pi n;\pi \left(n+1\right)\right)\,,n\in \mathbb {Z}$ булғанда кәмей барыусы

Тригонометрияның ҡулланылышы

Секстант — үлсәү башҡарылған урындың географик координаталарын асыҡлау маҡсатында, яҡтыртҡыстың горизонттан бейеклеген үлсәү өсөн ҡулланылған навигацион үлсәү инструменты

.

Тригонометрия һәм тригонометрик функциялар ҡулланылған бик күп өлкәләр бар. Мәҫәлән, [Триангуляция (геодезия)|триангуляция]] ысулы астрономияла иң яҡын йондоҙҙарға тиклемге алыҫлыҡты үлсәү өсөн, географияла объекттар араһындағы алыҫлыҡты үлсәү өсөн, шулай уҡ навигация системаларында ҡулланыла. Синус һәм косинус периодлы функциялар теорияһы өсөн фундаменталь әһәмиәткә эйә, мәҫәлән тауыш һәм яҡтылыҡ тулҡындарын һүрәтләү өсөн.

Тригонометрия йәки тригонометрик функциялар астрономияла (бигерәк тә күк йөҙө объекттарының урынын иҫәпләү өсөн сферик тригонометрия талап ителә), диңгеҙ һәм һауа навигацияһында, музыка теорияһында, акустикала, оптикала, финанс баҙарын анализлағанда, электроникала, ихтималлыҡ теорияһында, статистикала, биологияла, медицинала (мәҫәлән, компьютер томографияһында һәм ультратауыш тикшереүендә), дарыуханаларҙа, химияла, в һандар теорияһында (тимәк, криптологияла ла), сейсмологияла, метеорологияла, океанографияла, бик күп физик фәндәрҙә, межалауҙа һәм геодезияла, архитектурала, фонетикала, иҡтисадта, электротехникала, машиналар эшләүҙә, граждандар төҙөлөшөндә, компьютер графикаһында, картографияла, кристаллографияла, уйындар эшләгәндә һәм бик күп башҡа өлкәләрҙә ҡулланыла.

Стандарт тождестволар

Тождестволар — үҙгәреүсәндәрҙең теләһә ниндәй ҡиммәттәрендә лә дөрөҫ булған тигеҙлектәр.

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\ .$

$\sec ^{2}A-{\mathop {\operatorname {tg} } }^{2}A=1\ .$

$\csc ^{2}A-{\mathop {\operatorname {ctg} } }^{2}A=1\ .$

Мөйөштәр суммаһын үҙгәртеү формулалары

$\sin(A\pm B)=\sin A\ \cos B\pm \cos A\ \sin B.$

$\cos(A\pm B)=\cos A\ \cos B\mp \sin A\ \sin B.$

$\mathop {\operatorname {tg} } (A\pm B)={\frac {\mathop {\operatorname {tg} } A\pm \mathop {\operatorname {tg} } B}{1\mp \mathop {\operatorname {tg} } A\ \mathop {\operatorname {tg} } B}}.$

$\mathop {\operatorname {ctg} } (A\pm B)={\frac {\mathop {\operatorname {ctg} } A\ \mathop {\operatorname {ctg} } B\mp 1}{\mathop {\operatorname {ctg} } B\pm \mathop {\operatorname {ctg} } A}}.$

Дөйөм формулалар

Яҡтары a, b, c һәм ярашлы рәүештә ҡаршы ятыусы мөйөштәре A, B, C булған өсмөйөш

Артабанғы тождестволарҙа A, B һәм C өсмөйөштөң мөйөштәре; a, b, c — өсмөйөштөң ярашлы рәүештә был мөйөштәргә ҡаршы ятҡан яҡтарының оҙонлоғо була.

Синустар теоремаһы

Өсмөйөштөң яҡтары ҡаршы ятыусы мөйөштәренең синустарына пропорциональ. Ирекле өсмөйөш өсөн

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,$

бында $R$ — өсмөйөштө ҡамаусы әйләнәнең радиусы.

$R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.$

Косинустар теоремаһы

Өсмөйөштөң яғының квадраты ҡалған ике яғының квадраттары суммаһынан был яҡтарҙың һәм улар араһындағы мөйөш косинусының икеләтелгән ҡабатландығын алғанға тигеҙ:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,$

йәки:

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$

Тангенстар теоремаһы

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathop {\operatorname {tg} } \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\mathop {\operatorname {tg} } \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}$

Эйлер формулаһы

Эйлер формулаһы, теләһә ниндәй $x$ ысын һаны өсөн түбәндәге тигеҙлек үтәлә тип раҫлай:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

бында $e$ — натураль логарифмдың нигеҙе, $i$ — уйланма берәмек. Эйлер формулаһы математик анализ һәм тригонометрия араһында бәйләнеш урынлаштыра, шулай уҡ синус һәм косинус функцияларына экспоненциаль функцияның үлсәнгән суммалары һымаҡ интерпретация бирергә мөмкинлек бирә:

$\cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2},$

$\sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.$

Юғарыла килтерелгән тигеҙләмәләр Эйлер формулаларын ҡушыу һәм алыу юлы менән:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\;,$

$e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;.$

артабан синусҡа йәки косинусҡа ҡарата сығарып табылырға мөмкин.

Шулай уҡ был формулалар комплекслы үҙгәреүсәнле тригонометрик функцияларҙың билдәләмәһе булып хеҙмәт итә алалар. Мәҫәлән, x = iy алмаштырып ҡуйыуын башҡарып, табабыҙ:

$\cos iy={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\operatorname {ch} y,$

$\sin iy={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\operatorname {sh} y.$

Комплекслы экспоненталар тригонометрик иҫәпләүҙәрҙе ябайлаштырырға мөмкинлек бирәләр, сөнки улар менән, синусоидаль компоненталарға ҡарағанда манипуляция яһау еңелерәк. Ҡараштарҙың береһе синусоидаларҙы ярашлы экспоненциаль аңлатмаларға үҙгәртеүҙе күҙ уңында тота. Ябайлаштырғандан һуң аңлатманың һөҙөмтәһе ысын һан булып ҡала. Икенсе ҡараштың асылы синусоидаларҙы комплекслы аңлатманың ысын өлөштәре сифатында күрһәтеүҙән һәм туранан тура комплекслы аңлатма менән манипуляция яһауҙан тора.

Ябай тригонометрик тигеҙләмәләрҙе сығарыу

• $\sin x=a.$

Әгәр $|a|>1$ булһа — ысын сығарылыштары юҡ.

Әгәр $|a|\leqslant 1$ булһа — сығарылышы булып $x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z}$ күренешендәге һандар тора.

• $\cos x=a.$

Әгәр $|a|>1$ — ысын сығарылыштары юҡ.

Әгәр $|a|\leqslant 1$ — сығарылышы булып $x=\pm \arccos a+2\pi n;\ n\in \mathbb {Z}$ күренешендәге һандар тора.

• $\operatorname {tg} \,x=a.$

Сығарылышы булып $x=\operatorname {arctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z}$ күренешендәге һандар тора.

• $\operatorname {ctg} \,x=a.$

Сығарылышы булып $x=\operatorname {arcctg} \,a+\pi n;\ n\in \mathbb {Z}$ күренешендәге һандар тора.

Сферик тригонометрия

Тригонометрияның астрономияла, геодезияла, навигацияла һәм башҡа өлкәләрҙә ҡулланылған мөһим айырым бүлеге булып сферик тригонометрия тора. Сферик тригонометрия сферала ҙур түңәрәктәр араһындағы мөйөштәрҙең һәм был ҙур түңәрәктәр дуғаларының үҙсәнлектәрен тикшерә. Сфера геометрияһы Евклид планиметрияһынан һиҙелерлек айырыла; шулай, сферик өсмөйөштөң мөйөштәренең суммаһы, ғөмүмән алғанда, 180°-тан айырыла, өсмөйөш өс тура мөйөштән торорға мөмкин. Сферик тригонометрияла өсмөйөштөң яҡтарының оҙонлоғо (сфераның ҙур түңәрәктәенең дуғалары) был дуғаларға ярашлы үҙәк мөйөштәр ярҙамында күрһәтеләләр. Шуға күрә, мәҫәлән, сферик синустар теоремаһы түбәндәге күренештә була

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}},$

һәм бер-береһенә ҡаршылыҡлы ике сферик косинустар теоремһы бар.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Гониометрия — тригонометрияның мөйөштөрҙе үлсәү ысулдарын, тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәрен һәм улар араһындағы нисбәтте өйрәнеүсе бүлеге.
• Өсмөйөштәрҙе сығарыу
• Тригонометрик тождестволар
• Тригонометрик функциялар

Әҙәбиәт

английская

• Boyer Carl B. A History of Mathematics. — Second Edition. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — ISBN 0-471-54397-7.
• Christopher M. Linton (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy . Cambridge University Press.
• Weisstein, Eric W. «Trigonometric Addition Formulas». Wolfram MathWorld. Weiner.