Ньютондың классик тартылыу теорияһы

Ньютондың классик тартылыу теорияһы
	Ньютондың классик тартылыу теорияһы
Кем хөрмәтенә аталған	Исаак Ньютон
Асыусы йәки уйлап табыусы	Роберт Гук[d]
Закон йәки теорема формулаһы
Обозначение в формуле	, , һәм
Вики-проект	Проект:Математика[d]
	Ньютондың классик тартылыу теорияһы Викимилектә

Ньютондың универсаль гравитация законы буйынса, һәр киҫәксә бөтә башҡа киҫәксәләр менән массалары ҡабатландығына пропорциональ һәм уларҙың үҙәктәре араһындағы алыҫлыҡтың квадратына кире пропорциональ булған көс менән үҙ-ара тартыша. Айырым объекттарҙың массаһы үҙәктәре янында тупланған. Закон Ерҙәге ауырлыҡтың элек тасуирланған барлыҡ күренештәрен астрономик тәртип менәнбилдәләй һәм «Беренсе Бөйөк берләштереү» исеме менән баҫылып сыға.^[1]^[2]^[3]

Физиканың дөйөм законын, Исаак Ньютонэмпирик күҙәтеүҙәрҙән алынған индуктив фекерләү тип атай. Ул классик механиканың бер өлөшө булып тора һәм Ньютондың Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ("Принципия") хеҙмәтендә (1687 йылдың 5 июлендә беренсе тапҡыр баҫылып сыға) формалаштырыла.^[4]

Шулай итеп, универсаль гравитация тигеҙләмәһе формалаһы түбәндәгесә яҙыла:

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},

бында F - ике объект араһындағы гравитация көсө, m1 һәм m2 - объекттарҙың массалары, r - уларҙың массалары үҙәктәренең арауығы, G - гравитацион константа.

Ньютондың массалар араһындағы гравитация законының лабораториялағы тәүге һынауы булып 1798 йылда британ ғалимы Генри Кавендиш үткәргән Кавендиш эксперименты тора. Был Ньютондың «Принципия»һы баҫылып сыҡҡандан һуң 111 йыл үткәс һәм уның вафатынан һуң яҡынса 71 йыл үткәс була.

Ньютондың гравитация законы Куломбтың электр көстәренең законына оҡшаш, ул ике зарядланған есем араһында барлыҡҡа килгән электр көсө дәүмәлен иҫәпләү өсөн ҡулланыла. Икеһе лә кире квадрат законы, унда көс есемдәр араһындағы алыҫлыҡтың квадратына кире пропорциональ. Кулон законы буйынса, масса урынына заряд алына һәм башҡа оҡшашлыҡтар бар.

Ньютондың законы һуңғараҡ Альберт Эйнштейндың дөйөм сағыштырмалыҡ теорияһы менән алмаштырыла, әммә гравитацион константаның универсальлеге һаҡланып ҡала һәм закон гравитация тәьҫиренең иң яҡшы яҡынса сағылышы булараҡ ҡулланыла. Сағыштырмалыҡ теорияһы үтә ныҡ теүәллек талап ителгәндә, йәки бик көслө гравитацион ҡырҙар менән эш иткәндә, мәҫәлән, бик ҙур һәм тығыҙ объекттар янында йәки ҙур булмаған алыҫлыҡта (мәҫәлән, Меркурийҙың Ҡояш тирәләй орбитаһы) эш иткәндә талап ителә.

Тарихы

1600 йылдар тирәһендә фәнни ысул менән тикшереүҙәр башлана. Рене Декарт материя һәм ғәмәлдәр идеяларын теологиянан бойондороҡһоҙ үҫтереп, фундаменталь күҙлектән ҡарай. Галилео Галилей ҡолаған һәм тәгәрәгән предметтарҙы эксперименталь үлсәүҙәр тураһында яҙа. Иоганн Кеплер планеталарының хәрәкәте закондары Тихо Брагеның астрономик күҙәтеүҙәрен дөйөмләштерә.

1666 йылдар тирәһендә Исаак Ньютон кеплер закондары Айҙың Ер тирәләй орбитаһына, ә һуңынан Ерҙәге бөтә объекттарға ла ҡағыла тигән гипотезаны әйтә. Гравитация көсөн анализлау өсөн Ерҙең бөтә массаһы уның үҙәгендә тупланған тип фаразларға кәрәк була, был ул ваҡытта иҫбатланмаған гипотеза була. Уның Айҙың әйләнеү ваҡытын иҫәпләүҙәре билдәле ҡиммәттән 16 процен тайпылышта була. 1680 йылға Ер диаметрының яңы ҡиммәттәре уның орбита буйынса әйләнеү ваҡытын 1,6 процентҡа тиклем яҡшыртыла, әммә, иң мөһиме, Ньютон үҙенең элекке гипотезаһының дәлилен таба.^[5]^:201

1687 йылда Ньютон үҙенең Principia тигән хеҙмәтен баҫтырып сығара, унда Кеплерҙың эмпирик һөҙөмтәләрен аңлатыу өсөн уның хәрәкәт закондары яңы математик анализ менән берләштерелә. 6]: 134 Уның аңлатмаһы универсаль гравитация законы формаһында тип атала: теләһә ниндәй ике есемде уларҙың массаһына пропорциональ һәм уларҙың икеһе араһындағы алыҫлыҡтың квадратына кире пропорциональ көс менән тартыла. Ньютондың тәүге формулаһы:

{\rm {Force\,of\,gravity}}\propto {\frac {\rm {mass\,of\,object\,1\,\times \,mass\,of\,object\,2}}{\rm {distance\,from\,centers^{2}}}}

бында $\propto$ символы пропорциональ тигәнде аңлата. унда символ Был формуланы йәки тигеҙләмәне тигеҙ яҡлы итеү өсөн, массаларҙың ҡиммәтенә йәки улар араһындағы алыҫлыҡҡа ҡарамаҫтан, гравитация көстө дөрөҫ биреүсе ҡабатлаусы фактор йәки даими булырға тейеш булған (гравитацион даими). Ньютонға үҙенең кире квадрат законын иҫбатлау өсөн был константаны аныҡ үлсәү кәрәк була. (Ньютон 1686 йылдың апрелендә баҫылмаған текстың 1-се китабын Король йәмғиәтенә тәҡдим иткәс, Роберт Хук Ньютон квадраттың кире законын унан алған, тип раҫлай, был, ахыр сиктә, еңелсә ғәйепләү була)^[5]^:204)

Ньютондың "әлегә тиклем билдәһеҙ сәбәптәре"

Ньютон үҙенең ғәйәт ҙур хеҙмәтендә гравитация законын төҙөй алған, әммә уның тигеҙләмәләре "алыҫ араға тәьҫир итеү" тигән төшөнсә менән бик риза булмаған. 1692 йылда Бентлиға яҙған өсөнсө хатында ул былай тип яҙа: "Бер есемдең икенсе есемгә вакуум аша алыҫтан тәьҫир итеүе, уның тәьҫире һәм көсө бер-береһенән башҡа бер нәмә ярҙамында тапшырылмауы минең өсөн шул тиклем абсурд, һәм, минеңсә, философик һорауҙарҙа фекер йөрөтөү һәләтенә эйә булған бер кем дә быға ышанмаҫ".

Ул бер ҡасан да, үҙенең һүҙҙәре буйынса, "был көстөң сәбәбен билдәләмәгән". Бөтә башҡа осраҡтарҙа ул есемдәргә тәьҫир иткән төрлө көстәрҙең килеп сығышын аңлатыу өсөн хәрәкәт феноменын ҡуллана, әммә гравитация осрағында ул гравитация көсөн тыуҙырған хәрәкәтте эксперименталь рәүештә асыҡлай алмай (әммә ул 1675 һәм 1717 йылдарҙа ике механик гипотеза уйлап таба). Өҫтәүенә, ул был көстөң сәбәбе тураһында фараздар яһауҙан баш тарта, сөнки был дөрөҫ фәнгә ҡаршы килә. Ул гравитация көсөнең сығанағы тураһында "философтарҙың әлегә тиклем тәбиғәтте бушҡа эҙләүенә" зарланған, сөнки ул бөтә "тәбиғәт күренештәренең" нигеҙендә "әлегә тиклем билдәһеҙ булған сәбәптәрҙең" булыуына "күп кенә сәбәптәр арҡаһында" инанған булған. Был фундаменталь күренештәр әле тикшерелә һәм, гипотезалар күп булһа ла, аныҡ яуап әлегә табылмаған. Ә Ньютондың 1713 йылғы "Principia" китабының икенсе баҫмаһындағы "General Scholium" хеҙмәтендә: "Мин әлегә тиклем күренештәрҙән гравитацияның был үҙенсәлектәренең сәбәбен таба алманым һәм мин бер ниндәй ҙә гипотезалар уйлап сығармайым.... Гравитацияның ысынлап та бар булыуы һәм мин аңлатҡан закондарға ярашлы эш итеүе, һәм ул күк есемдәренең хәрәкәтен аңлатыуға бик күп ярҙам итә".^[6]

Хәҙерге формаһы

Хәҙерге телдә был закон түбәндәгесә әйтелә:

Һәр нөктә массаһы һәр икенсе нөктә массаһын ике нөктәне киҫеп торған тура һыҙыҡ буйлап хәрәкәт итеүсе көс менән үҙенә тарта. Көс ике массаның ҡабатландығына пропорциональ һәм улар араһындағы алыҫлыҡтың квадратына кире пропорциональ:

Diagram of two masses attracting one another

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\

where

F массалар араһындағы көс;
G гравитацион константа;
m₁ беренсе масса;
m₂ икенсе масса;
r массалар үҙәге араһында арауыҡ.

Ньютондың классик тартылыу теорияһы (Бөтә донъя тартылыу законы) классик механика сиктәрендә гравитацион үҙ-ара тәьҫир итешеүҙе тасуирлаусы закон. Был закон Ньютон тарафынан яҡынса 1666 йылда асыла, 1687 йылда Ньютондың "Принсипия"һында баҫылып сыға.

Закон буйынса^[7], ике материаль нөктә араһында гравитацион тартылыу көсө уларҙы тоташтырған тура һыҙыҡ буйлап тәьҫир итә, был көс ике массаға ла пропорциональ һәм алыҫлыҡтың квадратына кире пропорционал тәьҫир итә. $F$ $m_{1}$ $m_{2}$ $r$ Йәғни:

F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over r^{2}}

.

(1)

Бында $G$ — гравитацион даими тигеҙ^[8]:6,67430(15)·10⁻¹¹ м³/(кг·с²).

Ньютондың тартылыш үҙенсәлектәре

Ньютон теорияһында массаһа булған есем был есемгә тартылыу көсөн барлыҡҡа килтерә, уны гравитацион ҡыр тип атайҙар.

Ньютон теорияһында гравитацион үҙ-ара тәьҫир итешеү шунда уҡ тарала, сөнки тартыу көсө был ваҡытта тартыусы есемдәрҙең үҙ-ара урынлашыуына ғына бәйле. Шулай уҡ Ньютон гравитацион көстәре өсөн суперпозиция принцибы ғәҙел: бер нисә киҫәксә булғанда һәр киҫәксәнең тартылыу көстәренең векторлы суммаһына тигеҙ.

Классик гравитацияның тағы бер мөһим үҙенсәлеге - эквивалентлыҡ принцибы^[9]. Уның эҙемтәһе булып есемгә тартылыу биргән тиҙләтеү был есемдең массаһына, химик составына һәм башҡа үҙенсәлектәргә бәйле түгел. Был массаның тартылыу законында көс күрһәтеүгә һәм Ньютондың икенсе законында тиҙләтеү аша көс күрһәтеүгә бер төрлө инеүенән күренә. Шулай итеп, был теорияла гравитацион көс тәьҫирендә нөктәле йәки бәләкәй есемдең тиҙләтелеүе һәр ваҡыт гравитация ҡырының көсөргәнешлеге тигеҙ билдәләнә^[10] ${\vec {g}}={\vec {F}}/m.$

Сфералы симметрик есем үҙ сиктәренән ситтә есем үҙәгендә урынлашҡан шул уҡ массаның материаль нөктәһе кеүек үк ҡыр булдыра. Сфералы симметрик тышлыҡ эсендә (сфералы ҡыуышлыҡлы йәки шартлы рәүештә бүленгән, ысынбарлыҡта ниндәйҙер есемдең өлөшө булып^[11] тора) ул тыуҙырған ҡыр нуль көсөргәнешлелеккә эйә (һәм, шуға ярашлы, даими потенциал), йәғни, сферик симметрик тиресә уның эсендә булған есемдәрҙе тартмай, һәм, ғөмүмән, уларға бер нисек тә гравитация ярҙамында тәьҫир итмәй.

Бында үрҙә әйтелгән һәм Ньютондың өсөнсө законынан күренеүенсә, , был раҫлауҙы өҫтәп була, сөнки сферик симметрик есемгә сит сығанаҡтарҙың гравитацияһы шулай уҡ, күк йөҙөндәге шул уҡ массаның үҙәк өлөшөндә урынлашҡан есемдәр кеүек үк, күк йөҙө тап килә.

Ньютон теорияһында гравитацион ҡыр потенциаль булып тора, шуға бәйле уны тасуирлау өсөн гравитация потенциалын ҡулланырға мөмкин. Әгәр ҡыр координаталар башында урынлашҡан нөктәле масса менән барлыҡҡа килһә, гравитациялау потенциалы формула менән билдәләнә: $\varphi .$ $M$

\varphi ({\vec {r}})=-G{\frac {M}{r}}

,

(1.1)

(Бында сикһеҙлектәге потенциал, ғәҙәттәгесә, нулгә тигеҙ тип ҡабул ителә).

Дөйөм осраҡта, матдәнең тығыҙлығы ирекле рәүештә таралһа, Пуассон тигеҙләмәһен ҡәнәғәтләндерә: $\rho$ $\varphi$

\Delta \varphi ({\vec {r}})=-4\pi G\rho ({\vec {r}})

.

(1.2)

Был тигеҙләмәләренең сиселеше^[12] ошолай яҙылға:

\varphi ({\vec {r}})=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })dV^{\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}+C

.

(1.3)

Бында потенциал билдәләнгән нөктәнең радиус-векторы, күләм элементының радиус- векторы c матдә тығыҙлығы менән билдәләнә, ә интеграция бөтә бындай элементтарҙы үҙ эсенә ала; ирекле даими; йыш ҡына уны нулгә тигеҙ ҡабул итәләр, был бер нөктәле сығанаҡ өсөн юғарыраҡ формулала эшләнгәнсә. ${\vec {r}}$ ${\vec {r}}^{\prime }$ $dV^{\prime }$ $\rho ({\vec {r}}^{\prime })$ $C$

Гравитацион ҡырҙа массаһы булған матди нөктәгә тәьҫир иткән тартылыу көсө потенциалы менән формула менән бәйле: $m$

{\vec {F}}({\vec {r}})=-m\nabla \varphi ({\vec {r}})

.

(1.4)

Әгәр ҡыр координаталар башында урынлашҡан нөктәле масса менән барлыҡҡа килһә, масса нөктәһенә көс тәьҫир итә $M$ $m$

{\vec {F}}({\vec {r}})=-G{\frac {mM}{r^{3}}}\cdot {\vec {r}}

.

(1.5)

Был көс дәүмәле массалар араһындағы алыҫлыҡҡа ғына бәйле, әммә радиус-вектор йүнәлешенә түгел (ҡара. $r$ ${\vec {r}}$ Преамбула формулаһы).

Массаһы буйынса күпкә ҙурыраҡ матди нөктә барлыҡҡа килтергән гравитацион ҡырҙағы матди нөйөштөң траекторияһы Кеплер закондарына буйһона. Атап әйткәндә, Ҡояш системаһындағы планеталар һәм кометалар эллипстар йәки гиперболдар буйлап хәрәкәт итә. Был картинаны боҙоп күрһәткән башҡа планеталарҙың йоғонтоһон тулҡынланыуҙар теорияһы ярҙамында иҫәпкә алырға мөмкин.

Тарихи очерк

Ньютондың бөтә донъя тартылыу законы

Дөйөм ауыртыу көсө идеяһы Ньютонға тиклем бер нисә тапҡыр әйтелә. Элек был турала Эпикур, Гассенди, Кеплер, Борелли, Декарт, Роберваль, Гюйгенс һәм башҡалар уйлағандар.^[13] Кеплер, тартыу Ҡояшҡа тиклемге алыҫлыҡҡа пропорциональ һәм эклиптика яҫылығында ғына тарала, тип иҫәпләгән; Декарт быны эфирҙағы өйөрмә һөҙөмтәһе тип иҫәпләгән.^[14] Шулай уҡ алыҫлыҡҡа дөрөҫ бәйле фараздар ҙа булған; Ньютон Галлейға яҙған хатында Буллиальд, Рена һәм Гукты үҙенән алда килеүселәр тип телгә ала.^[15] Әммә Ньютонға тиклем бер кем дә тартылыу законын (көс, алыҫлыҡтың кире пропорциональ квадраттарын) һәм планеталарҙың хәрәкәт закондарын (Кеплер закондары) асыҡ һәм математик яҡтан иҫбатлай алмай.^[16]. Бынан тыш, Ньютон гравитацияның универсаль булыуын аңлай: башҡаса, бер үк көс алманы ла ергә төшөргә мәжбүр итә, Айҙы ла Ер тирәләй әйләндерергә мәжбүр итә.

Үҙенең төп хеҙмәттәрендә «Тәбиғи фәлсәфәнең математик башында» (1687) Исаак Ньютондың тартылыш закондар сығарыу нигеҙләнеп, эмпирик Кеплер законы, шул уҡ ваҡытта билдәле булған. Ул закон түбәндәгене күрһәтә :

Планеталарҙың күҙәтелгән хәрәкәттәре үҙәк көстәрҙең булыуын раҫлай;
Киреһенсә, үҙәк тартылыу көсө эллипс (йәки гиперболик) орбиталарға килтерә.

Бынан тыш, Ньютон ауырлыҡ менән бәйле темалары Ер фигураһы проблемаһы, тулҡындар теорияһы, тигеҙлектең алдан күҙаллау темаларында әһәмиәтле була.

Иҫкәрмә

↑ Fritz Rohrlich. From Paradox to Reality: Our Basic Concepts of the Physical World. — Cambridge University Press. — P. 28–. — ISBN 978-0-521-37605-1.
↑ Klaus Mainzer. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. — Walter de Gruyter. — P. 8–. — ISBN 978-3-11-088693-1.
↑ Physics: Fundamental Forces and the Synthesis of Theory | Encyclopedia.com (билдәһеҙ). www.encyclopedia.com.
↑ The Michell–Cavendish Experiment, Laurent Hodges
↑ ^5,0 ^5,1 An Introduction to the Physics of Mass Length and Time. — Edinburgh University Press.
↑ The Construction of Modern Science: Mechanisms and Mechanics, by Richard S. Westfall. Cambridge University Press. 1978
↑ Всемирного тяготения закон // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад. А. М. Прохорова. — М.: Советская Энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 348. — ISBN 5-85270-034-7.
↑ CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants (ингл.). Дата обращения: 7 март 2020. Архивировано 27 август 2011 года.
↑ Новиков И. Д. Тяготение //Физический энциклопедический словарь. — под ред. А. М. Прохорова — М., Большая Российская энциклопедия, 2003. — ISBN 5-85270-306-0. — Тираж 10000 экз. — с. 772—775
↑ Удобство использования физической величины напряженности связано с тем, что она не зависит от конкретного тела, помещаемого в данную точку, (будет одинаковой, если мы поместим в эту точку разные тела разной массы) и, таким образом, является характеристикой только самого поля, не зависящего непосредственно от тела, на которое оно действует (косвенная зависимость может быть за счёт действия самого этого тела на тела-источники поля, и только при изменении в результате этого воздействия их положения).
↑ То есть, речь не идет, конечно, об экранировке гравитационных полей, создаваемых другими источниками, которые могут находиться как внутри оболочки, так и вне её, а только лишь о том поле, которое создаётся самой оболочкой, именно его напряжённость равна нулю (а поля остальных источников тогда по принципу суперпозиции как раз останутся внутри сферической оболочки неизменными, как будто оболочки нет).
↑ Это решение естественно получается используя формулу решения с одним точечным источником, приведенную выше, и принцип суперпозиции - то есть просто сложением полей от (бесконечного) множества точечных источников, массой $\rho dV$ каждый, расположенных в соответствующих точках пространства.
↑ Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 66. Архивированная копия (билдәһеҙ). Дата обращения: 1 март 2010. Архивировано из оригинала 12 февраль 2007 года. 2007 йыл 12 февраль архивланған.
↑ Спасский Б. И. История физики. — Т. 1. — С. 140—141.
↑ Ход их рассуждений легко восстановить, см. Тюлина И. А., указ. статья, стр. 185. Как показал Гюйгенс, при круговом движении центростремительная сила $F\sim$ (пропорциональна) $v^{2} \over R$ , где $v$ — скорость тела, $R$ — радиус орбиты. Но $v\sim {\frac {R}{T}}$ , где $T$ — период обращения, то есть $v^{2}\sim {\frac {R^{2}}{T^{2}}}$ . Согласно 3-му закону Кеплера, $T^{2}\sim R^{3}$ , поэтому $v^{2}\sim {\frac {1}{R}}$ , откуда окончательно имеем: $F\sim {\frac {1}{R^{2}}}$ .
↑ Точнее, никто не смог это сделать последовательно для эллиптических орбит. Для круговых, используя третий закон Кеплера и формулу Гюйгенса для центробежной силы, это было сделать довольно нетрудно, и сам Ньютон вспоминал, что сделал это довольно давно, но никому не сообщал, так как был не удовлетворен неудачей тогда с решением общей задачи. Это же, видимо, позже, сделал Гук (это его письмо сохранилось), побудивший Ньютона вернуться к общей задаче. Гук же обосновал второй закон Кеплера, применив методологически важный в тот момент прием суперпозиции свободного движения и движения с ускорением, направленным к центру. Однако только Ньютон решил в итоге задачу полностью, для некруговых орбит, впервые корректно и доказательно теоретически получив их форму, он же первый всё полно и систематически изложил.

[1] Fritz Rohrlich. From Paradox to Reality: Our Basic Concepts of the Physical World. — Cambridge University Press. — P. 28–. — ISBN 978-0-521-37605-1.

[2] Klaus Mainzer. Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. — Walter de Gruyter. — P. 8–. — ISBN 978-3-11-088693-1.

[3] Physics: Fundamental Forces and the Synthesis of Theory | Encyclopedia.com (билдәһеҙ). www.encyclopedia.com.

[The_Michell-Cavendish_Experiment-4] The Michell–Cavendish Experiment, Laurent Hodges

[Feather-5] 5,0 ^5,1 An Introduction to the Physics of Mass Length and Time. — Edinburgh University Press.

[6] The Construction of Modern Science: Mechanisms and Mechanics, by Richard S. Westfall. Cambridge University Press. 1978

[7] Всемирного тяготения закон // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад. А. М. Прохорова. — М.: Советская Энциклопедия, 1988. — Т. 1. — С. 348. — ISBN 5-85270-034-7.

[8] CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants (ингл.). Дата обращения: 7 март 2020. Архивировано 27 август 2011 года.

[Nov-9] Новиков И. Д. Тяготение //Физический энциклопедический словарь. — под ред. А. М. Прохорова — М., Большая Российская энциклопедия, 2003. — ISBN 5-85270-306-0. — Тираж 10000 экз. — с. 772—775

[10] Удобство использования физической величины напряженности связано с тем, что она не зависит от конкретного тела, помещаемого в данную точку, (будет одинаковой, если мы поместим в эту точку разные тела разной массы) и, таким образом, является характеристикой только самого поля, не зависящего непосредственно от тела, на которое оно действует (косвенная зависимость может быть за счёт действия самого этого тела на тела-источники поля, и только при изменении в результате этого воздействия их положения).

[11] То есть, речь не идет, конечно, об экранировке гравитационных полей, создаваемых другими источниками, которые могут находиться как внутри оболочки, так и вне её, а только лишь о том поле, которое создаётся самой оболочкой, именно его напряжённость равна нулю (а поля остальных источников тогда по принципу суперпозиции как раз останутся внутри сферической оболочки неизменными, как будто оболочки нет).

[12] Это решение естественно получается используя формулу решения с одним точечным источником, приведенную выше, и принцип суперпозиции - то есть просто сложением полей от (бесконечного) множества точечных источников, массой $\rho dV$ каждый, расположенных в соответствующих точках пространства.

[13] Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 66. Архивированная копия (билдәһеҙ). Дата обращения: 1 март 2010. Архивировано из оригинала 12 февраль 2007 года. 2007 йыл 12 февраль архивланған.

[14] Спасский Б. И. История физики. — Т. 1. — С. 140—141.

[15] Ход их рассуждений легко восстановить, см. Тюлина И. А., указ. статья, стр. 185. Как показал Гюйгенс, при круговом движении центростремительная сила $F\sim$ (пропорциональна) $v^{2} \over R$ , где $v$ — скорость тела, $R$ — радиус орбиты. Но $v\sim {\frac {R}{T}}$ , где $T$ — период обращения, то есть $v^{2}\sim {\frac {R^{2}}{T^{2}}}$ . Согласно 3-му закону Кеплера, $T^{2}\sim R^{3}$ , поэтому $v^{2}\sim {\frac {1}{R}}$ , откуда окончательно имеем: $F\sim {\frac {1}{R^{2}}}$ .

[16] Точнее, никто не смог это сделать последовательно для эллиптических орбит. Для круговых, используя третий закон Кеплера и формулу Гюйгенса для центробежной силы, это было сделать довольно нетрудно, и сам Ньютон вспоминал, что сделал это довольно давно, но никому не сообщал, так как был не удовлетворен неудачей тогда с решением общей задачи. Это же, видимо, позже, сделал Гук (это его письмо сохранилось), побудивший Ньютона вернуться к общей задаче. Гук же обосновал второй закон Кеплера, применив методологически важный в тот момент прием суперпозиции свободного движения и движения с ускорением, направленным к центру. Однако только Ньютон решил в итоге задачу полностью, для некруговых орбит, впервые корректно и доказательно теоретически получив их форму, он же первый всё полно и систематически изложил.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]