Һанлы ысулдар

Һанлы ысулдар
	Һанлы ысулдар
Өйрәнеү объекты	численный алгоритм[d]
ACM коды (2012)	10003715
	Һанлы ысулдар Викимилектә

Һанлы (иҫәпләү) ысулдар — математик мәсьәләләрҙе һанлы күренештә сығарыу ысулдары^[1].

Вавилон балсыҡ таблицаһы (яҡынса б.э.т. 1800—1600 йылдар), хәҙерге аңлатмалар менән. 2 һанының тамыры дүрт алтмышарлы һандың суммаһы менән яҡынлаштырыла: ${\sqrt {2}}=1+24/60+51/60^{2}+$
$+10/60^{3}=1,41421296\ldots$

Мәсьәләлә баштағы мәғлүмәтте тә, уның сығарылышын да һан йәки һандар йыйылмаһы рәүешендә күрһәтеү .

Күп кенә һанлы ысулдар математик программалар китапханаһының өлөшө булып торалар^[2]. Техник һөнәр инженерҙарын әҙерләү системаһының мөһим өлөшө булып тора.

Һанлы ысулдар менән сығарылыусы төп мәсьәләләр:

һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһын сығарыу;
интерполяциялау һәм функцияларҙы яҡынса иҫәпләү;
һанлы интеграллау;
һыҙыҡлы булмаған тигеҙләмәләр системаһын һанлы сығарыу;
ғәҙәти дифференциаль тигеҙләмәләрҙе һанлы сығарыу;
айырым сығарылмаларҙа тигеҙләмәләрҙе (математик физика тигеҙләмәләрен) һанлы сығарыу;
оптималләштереү мәсьәләләрен сығарыу.

Методологияһы

Шулай уҡ ҡарағыҙ: Иҫәпләү математикаһы

Иҫәпләү математикаһының бөтә мәсьәләләре түбәндәге эҙмә-эҙлелектә сығарылалар^[3]:

Баштағы математик мәсьәлә икенсе мәсьәлә — иҫәпләү алгоритмы менән алмаштырыла. Иҫәпләү алгоритмына: юғары теүәллек, тотороҡлолоҡ һәм экономиялыҡ төп талаптар булып торалар. Дискрет моделгә күскәндә аппроксимация хатаһы, ә иҫәпләүҙәрҙе башҡарғанда — түңәрәкләү хатаһы барлыҡҡа килә, шуға күрә реаль иҫәпләү алгоритмдары өсөн хаталарға һәм иҫәпләү алгоритмы тотороҡлолоғона анализ яһала^[2]. Хәҙерге заман фәнендә ғәмәли математика мәсьәләләрен сисеү өсөн өҙлөкһөҙ аргумент функцияларының интеграль һәм дифференциаль тигеҙләмәләр терминдарында математик модель эшләнә. Өҙлөкһөҙ математик моделенән дискретлыға күсеү өҙлөкһөҙ дискретлы аргумент функциялары менән алмаштырып тормошҡа ашырыла. Барлыҡҡа килгән сикле-айырмалы тигеҙләмәләрҙә интеграл һәм сығарылмға ярашлы рәүештә сикле сумма һәм айырмалы сағыштырма рәүешендә күрһәтелә^[2]. Килеп сыҡҡан модель алгебраик тигеҙләмәләр системаһы була, уны билдәле бер аныҡлыҡ менән сығарыу өсөн иҫәпләү алгоритмы төҙөлә, был иҫәпләү машиналарында тормошҡа ашырыла^[2]^[4]. Ҙур системаларҙы сығарғанда үҙ ҡиммәттәрҙе һәм матрицалар векторын иҫәпләргә, тигеҙләмәләрҙәге һыҙыҡлы булмаған системаларҙы һыҙыҡлыларға әйләндерергә кәрәк. Ҡайһы бер мәсьәләләр өсөн (Нейрон физикаһының, плазма физикаһының, иҡтисадтың) модель туранан-тура статистик һайланмаларҙа йәки эре объекттарҙа төҙөлә. Бынан тыш, даими булмаған системалар төҙөлә, улар өсөн һанлы ысулдар графтар теорияһы менән бергә алып барыла. Дөрөҫ билдәләнмаған мәсьәләләр айырым класс тәшкил итә^[2].
Иҫәпләү алгоритмында баштағы мәсьәләлә булмаған $N$ параметры бар;
Был $N$ параметрын һайлап, икенсе мәсьәләнең сығарылышының беренсе мәсьәләнең сығарылышына теләһә ниндәй яҡынлығына өлгәшергә мөмкин. Бик күп мөһим мәсьәләләр класы өсөн уларҙы сығарыуҙың төрлө һанлы ысулдары эшләнгән. Һанлы ысулдар дискретлаштырыу ысулдары буйынса проекцион һәм сикле-айырмалы ысулдарға, сығарыу ысулы буйынса — тура һәм итерацион ысулдарға бүленәләр. Сикле айырмалар ысулында функцияның дискретлы нөктәләр күмәклегендә ҡиммәттәрен табыу мәсьәләһе ҡуйыла, ә проекцион ысулда функция элементтарҙың һыҙыҡлы комбинацияһы рәүешендә күрһәтелә. Шуның менән бергә дискретлы функция шулай уҡ полиномдарҙың һыҙыҡлы комбинацияһы итеп ҡаралырға мөмкин. Тура сығарыу ысулдарының тотороҡлолоғо түбән, ә итерацион ысулдар тотороҡлораҡ һәм йыйылыусанлыҡты тиҙерәк тәьмин итәләр^[2].
Иҫәпләүҙәрҙә түңәрәкләүҙәр тыуҙырған алгоритмдың теүәл булмаған үтәлеше уның үҙсәнлектәрен һиҙелерлек үҙгәртмәй. Иҫәпләү машинаһы тик дүрт төп арифметик операция башҡарғанын иҫтә тоторға кәрәк^[5]. Яуаптың аныҡлығы көтөлгән физик эксперимент аныҡлығынан бер аҙ юғарыраҡ булырға тейеш^[6]. Хатаның артыу шарттарын һәм критерийҙарын билдәләгәндә оҙаҡ ваҡыт түңәрәкләү хатаһы иҫәпкә алынмай. Реаль иҫәпләүҙәрҙең теүәллеген гарантиялы баһалау кәрәклеге интервал анализының барлыҡҡа килеүенә килтерә. Оптималь алгоритм — минималь хаталы йәки бирелгән хаталы операцияларҙың минималь һаны булған алгоритм. Шул уҡ ваҡытта параллель иҫәпләү алгоритмдары теорияһы эшләнә^[2].

Математик аппарат

Билдәһеҙ дәүмәлде эҙләү мәсьәләһе символик рәүештә $y=A(x)$ күренешендә яҙыла. Иҫәпләү математикаһында $y$ -ты табыу өсөн, иҫәпләүҙәр уңайлыраҡ булһын өсөн $x$ , $y$ дәүмәлдәре, йәки $A$ функциялары бирелгән бер йәки бер нисә арауыҡты алмаштырыу ҡулланыла. Барлыҡҡа килгән яңы ${\bar {y}}={\bar {A}}({\bar {x}})$ мәсьәләһенең сығарылышы баштағы мәсьәләнең сығарылышына яҡын булырға тейеш. Мәҫәлән, $\int _{a}^{b}f(x)dx$ интегралын иҫәпләгәндә, $[a,b]$ киҫегендә өҙлөкһөҙ функцияны һәр ваҡыт интегралы еңел билдәләнгән $P(x)$ полиномы менән алмаштырырға мөмкин; йәки интегралды $\sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})\Delta x_{i}}$ сикле суммаһы менән алмаштырырға һәм килеп сыҡҡан мәсьәләне сығарырға мөмкин. Бындай алмаштырыуҙы башҡарыу өсөн, төп арауыҡты яҡшы алмаштырыусы элементтарҙың сикле күмәклеген табырға кәрәк. Һуңғы шарт метрик арауыҡҡа сикләүҙәр ҡуя. Төп сикләү — ϵ {\displaystyle \epsilon } \epsilon -селтәрҙең булыуы, унан арауыҡтың үҙендә компактлы һәм сепарабеллы булыуы килеп сыға. Шуның менән бергә, был сикләү мотлаҡ түгел. Функциональ анализдың хәҙерге ысулдары мәсьәләнең шартына нығыраҡ тап килгән метрик арауыҡтар һайларға мөмкинлек бирә^[7].

Һанлы ысулдарҙы ҡулланғанда хаталарҙың бер нисә төрө барлыҡҡа килә. Бер һанды икенсеһенә яҡынайтҡанда түңәрәкләү хатаһы барлыҡҡа килә, аныҡ булмаған башланғыс мәғлүмәт менән бәйле хата бөтөрөп булмаған хата тип атала, бынан тыш, баштағы мәсьәләне яҡынса мәсьәлә менән алмаштырыу менән бәйле ысул хатаһы була. Был осраҡта тулы хата ысул хатаһынан һәм иҫәпләүҙәр хатаһынан тора, икенсе төрлө әйткәндә, $y=A(x)$ тигеҙләмәһе урынына, яуабының аныҡлығы $y-{\bar {\bar {y}}}=(y-{\bar {y}})+({\bar {y}}-{\bar {\bar {y}}})$ формулаһы буйынса билдәләнгән ${\bar {\bar {y}}}={\bar {\bar {A}}}({\bar {\bar {x}}})$ тигеҙләмәһе сығарыла^[8]. Хатаның дәүмәлен асыҡлау өсөн абсолют һәм сағыштырма хата, шулай уҡ сикке абсолют һәм сағыштырма хата төшөнсәләре ҡулланыла, шуның менән бергә хаталар теорияһы төрлө арифметик ғәмәлдәрҙә хаталар дәүмәле үҙгәреүен асыҡлай^[9]. Хаталарҙың сикке ҡиммәттәрен билдәләргә мөмкинлек биргән хаталарҙы аныҡ баһалау ысулдары менән бер рәттән, статистик ысулдар ҙа ҡулланыла, улар айырым хаталарға барып етеү мөмкинлеген асыҡларға мөмкинлек бирәләр^[10], шулай уҡ физик дәүмәлде бер нисә үлсәү һөҙөмтәһе буйынса уның яҡынса ҡиммәте билдәләнгәндәге, тәжрибәнең бирелгән шарттарынан тайпылыу менән бәйле осраҡлы хаталарҙың математик характеристикалары иҫәпкә алына^[11].

Функцияларҙың төп яҡынлашыу ысулдары

Интерполяция

Төп мәҡәлә: Интерполяция

Ҡиммәттәре таблицаһы менән бирелгән $f(x)$ функцияһының ҡиммәтен аргументтың аралағы ҡиммәттәрендә табыу өсөн, интерполяциялаү төйөндәре тип аталған бирелгән $x_{0},\dots ,x_{m}$ нөктәләрендә $f(x_{0}),\dots ,f(x_{m})$ ҡиммәттәрен ҡабул иткән, ә ҡалған нөктәләре функцияның билдәләнеү өлкәһенә ингән $\varphi (x)$ яҡынайтылған функцияһын төҙөйҙәр. Йышыраҡ яҡынайтылған функция һыҙыҡлы бәйһеҙ системаның тәүге $n+1$ элементы ингән алгебраик күпбыуын күренешендә төҙөлә. Практикала һыҙыҡлы бәйһеҙ системаның элементтары сифатында $x$ -тың дәрәжәләре: $1,x,x^{2},\dots$ , тригонометрик функциялар: $1,\sin x,\cos x,\sin 2x,\dots$ , күрһәткесле функциялар: $1,e^{\alpha _{1}x},e^{\alpha _{2}x},\dots$ ^[12]^[12] ҡулланыла.

Был осраҡта интерполяциялаусы функцияны төҙөү өсөн $n+1$ билдәһеҙле $m+1$ тигеҙләмәләр системаһын сығарырға кәрәк була. Системаның табылған матрицаһына билдәле шарттар ҡуйыла: матрицаның рангы $m+1$ -гә тигеҙ, ә һыҙыҡлы бәйһеҙлек шартын гарантиялау өсөн $n\geq m$ булырға тейеш, $n=m$ — мәсьәләнең сығарылышы асыҡтан-асыҡ булһын өсөн, матрицаның билдәләүсеһе $\Delta \neq 0$ — сығарылышы бар һәм берҙән бер булһын өсөн^[13]. Лагранждың интерполяцион күпбыуынын $L_{n}(x)$ төҙөү бындай проблемаларҙы хәл итеүҙең ресурсты күп талап итеүсе һәм киңәйтеү ауыр булған төп ысулы булып тора^[14].

Артабанғы аҙым булып функцияның күрше төйөндәрҙәге ҡиммәттәре айырмаһының был төйөндәр араһындағы алыҫлыҡҡа бүлендектәре базаһында $k$ -сы тәртиптәге бүленгән айырма төшөнсәһе индереү тора, ул үҙенең билдәләмәһе буйынса күп кенә файҙалы үҙсәнлектәргә эйә, атап әйткәндә $n$ дәрәжәһендәге күпбыуындан $k$ тәртибендәге бүленгән айырманың дәрәжәһе $n-k$ -ға тигеҙ, йәғни $n$ тәртибендәге айырма даими, ә юғарыраҡ тәртиптәге айырмалар $0$ -гә тигеҙ^[15]. Бүленгән айырмалар Лагранждың интерполяцион күпбыуынын иҫәпләү өсөн уңайлыраҡ күренештә яҙырға мөмкинлек бирәләр. Яңы формула Ньютондың интерполяцион күпбыуыны тип атала^[16], тигеҙ аралыҡтар осрағында формула күпкә ябайлаша^[17]. Бүленгән айырмалар ҡулланып Гаустың, Стирлингтың, Бесселдең, Эвереттың интерполяцион формулалары төҙөлә^[18]. Дөйөм осраҡта бүленгән айырмалар тәүҙә тәртибе үҫә барған һайын кәмейҙәр, ә аҙаҡ яңынан үҫә башлайҙар, икенсе төрлө әйткәндә, иҫәпләүҙәрҙә юғары тәртиптәге бүленгән айырмалар ҡулланыуҙың мәғәнәһе юҡ^[19]. Шуның менән бергә интерполяцион процестың йыйылыусанлыҡ мәсьәләһе тыуа, уны хәл итеү өсөн математик анализдың төрлө ысулдары йәлеп ителә^[20].

у=2х³-2х²+3х-1 функцияһы өсөн бүленгән айырмалар

Тигеҙ яҡынлашыу

Практик мәсьәләләрҙе хәл иткәндә бирелгән функцияның ҡиммәтен күп тапҡыр иҫәпләргә кәрәк була, ғөмүмән, ул ресурсты күп талап иткән операция булып тора. Иң яҡшы тигеҙ яҡынлашыу функцияһын табыу кәрәклеге килеп тыуа^[21]. Һыҙыҡлы нормалаштырылған арауыҡта функцияны яҡынсалау өсөн бөтә мөмкин булған һыҙыҡлы комбинацияларҙың $n+1$ үлсәмендәге аҫарауығын төҙөйҙәр, уның өсөн норма билдәле һәм уның теүәл түбәнге сиге бар. Был сиккә өлгәшелгән элемент иң яҡшы яҡынлашыу элементы, йәки проекция тип атала^[22]. Аҫарауыҡта һәр саҡ иң яҡшы яҡынлашыу элементы бар икәнен иҫбатлап була^[23], ә арауыҡ ҡәтғи нормалаштырылған булһа ундай элемент берҙән бер була^[24]. Нормаһы $\lVert f\rVert =\sup _{x\in {[a,b)}}|f(x)|$ булған өҙлөкһөҙ функциялар арауығында шулай уҡ иң яҡшы яҡынлашыу элементы бар^[25], ләкин дөйөмләштерелгән күпбыуындың киҫектә $n$ -дан артығыраҡ булмаған төрлө нулдәре булыу уның берҙән бер булыуының шарты булып тора (Чебышёв күпбыуындары)^[26].

Файл:Многочлены Чебышёва U.gif

Чебышёв күпбыуындары

Функциялар теорияһын дәрәжәле функциялар системаһына ҡулланып була, сөнки ул теләһә ниндәй киҫектә Чебышёв системаһы булып тора^[27]. Вейерштрасс теоремаһына ярашлы, аҫарауыҡтың үлсәме ( $n\to \infty$ ) арта барғанда, проекция һәм бирелгән функция араһындағы айырма нулгә яҡыная^[28]. Был яҡынлашыу тәртибе функцияның структура үҙсәнлектәренә бәйле, уны Бернштейн күпбыуыны ярҙамында билдәләп була^[29]. Тригонометрик функциялар системаһы шулай уҡ $[0,2\pi )$ киҫегендә Чебышёв системаһы үҙсәнлектәренә эйә, уның өсөн шулай уҡ проекция һәм бирелгән функция араһындағы алыҫлыҡ нулгә яҡыная^[30].

Күрһәтелгән иң яҡшы яҡынлашыу күпбыуыны булыуға ҡарамаҫтан, уны аныҡ төҙөү ысулы юҡ. Уның урынына иң яҡшы тигеҙ яҡынлашыу күпбыуынын яҡынса төҙөүҙең бер нисә ысулы ҡулланыла^[31].

Квадратик урта яҡынлашыу

Күп осраҡтарҙа тигеҙ яҡынлашыу талабы артыҡ, функцияларҙың «интеграль» яҡынлығы етерлек була, бынан тыш яҡынса функцияларҙың эксперименттан алынған ҡиммәттәре үҙҙәрендә осраҡлы хата йөрөтәләр, ә яҡынайтыусы һәм яҡынайыусы функцияларҙың тап килеүен талап итеү, әгәр һуңғыһының хаталары булһа, маҡсатҡа ярашһыҙ. Квадратик урта яҡынлашыу ысулы яҡынлыҡ үлсәме итеп түбәндәге дәүмәлде ҡабул итә

\delta ={\sqrt {\int _{a}^{b}p(x)[f(x)-\phi (x)]^{2}dx}},

был квадраты менән интегралланыусанлыҡ талабын ғына һаҡлап, интеграл аҫты функцияһын интерполяциялауҙан һәм өҙлөкһөҙ булыуын талап итеүҙән баш тартырға мөмкинлек бирә^[32].

Юғары дәрәжәләге алгебраик тигеҙләмәләрҙе һәм трансцендент тигеҙләмәләрҙе сығарыу

Һул яғында ысын йәки комплекслы аргумент функцияһы торған $f(z)=0$ алгебраик тигеҙләмәһенең сығарылышы комплекслы яҫылыҡта ята^[33]. Уны билдәләү өсөн беренсе сиратта һәр тамырҙы етерлек бәләкәй өлкәнең эсенә алырға, йәғни уны айырырға кәрәк, бының өсөн йыш ҡына график ысул ҡулланыла^[34]. Ысын тамырҙар өсөн шулай уҡ дөйөмләштерелгән Декарт ҡағиҙәһе, Штурм теоремаһы^[35], Фурье ысулы^[36] ҡулланыла. Квадрат тамыр ысулы, йәки Лобачевский ысулы^[37] киң ҡулланыу таба. Төп формулировкаһында ул бер-береһенән алыҫта торған ысын тамырҙарға ҡулланышлы^[38], ләкин комплекслы тамырҙары^[39], ысын тигеҙ йәки яҡын торған ысын тамырҙары өсөн дә^[40] дөйөмләштерелгән формулировкаһы бар.

Алгебраик тигеҙләмәләрҙе сығарыуҙың итерацион ысулдары стационар һәм стационар булмаған ысулдарға бүленәләр. Стационар ысул ваҡытында функцияға тамырҙары шул уҡ булған, итерация номерына бәйле булмаған икенсе функция ярашлы ҡуйыла^[41]. Стационар булмаған ысул ваҡытында функция итерация номерына бәйле булырға мөмкин. Иң ябай стационар итерацион ысулдарға киҫеүселәр ысулы (йәки һыҙыҡлы интерполяциялау ысулы) һәм тейеүселәр ысулы (йәки Ньютон ысулы) инә, улар ярашлы рәүештә беренсе һәм икенсе тәртиптәге ысулдар булып торалар. Бер-бер артлы яҡынлашыуҙары тамырҙың төрлө яҡтарында ятҡан был ысулдарҙың комбинацияһы тиҙерәк йыйылыусанлыҡҡа өлгәшеү мөмкинлеген бирә^[42]. Кире функцияның Тейлор формулаһы буйынса тарҡалыуына нигеҙләнгән Чебышев ысулы бик тиҙ йыйылыусанлыҡҡа эйә булған юғары тәртиптәге ысулдар төҙөү мөмкинлеген бирә.^[43]. Шулай уҡ Кёниг теоремаһына^[44], һәм Эйткен ысулына^[45] нигеҙләнгән ысулдар бар. Итерацион ысулдарҙың йыйылыусанлығын иҫбатлау өсөн ҡыҫҡартылған сағылыштар принцибы ҡулланыла^[46].

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Метод конечных элементов

Иҫкәрмәләр

↑ Муха В. С. Вычислительные методы и компьютерная алгебра: учеб.-метод. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — Минск: БГУИР, 2010. — 148 с.: ил, ISBN 978-985-488-522-3, УДК 519.6 (075.8), ББК 22.19я73, М92
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 Энциклопедия кибернетики / Глушков В. М., Амосов Н. М., Артеменко И. А.. — Киев, 1974. — Т. 2. — С. 530—532.
↑ Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. — М., Наука, 1972. — Тираж 45000 экз. — С. 10
↑ Калиткин, 1978, с. 3
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 33
↑ Калиткин, 1978, с. 2
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 13—16
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 57—58
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 53
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 63
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 65
↑ ^12,0 ^12,1 Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 77—79
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 79—80
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 84—87
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 102—106
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 106—109
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 112
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 125—135
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 111—112
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 149—150
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 331—333
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 333—334
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 334—336
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 336—337
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 337
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 337—342
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 347—348
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 349—352
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 352—355
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 355—357
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 364—365
↑ Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 386—387
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 76
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 76—79
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 83—88
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 88—94
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 103
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 103—107
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 107—114
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 115
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 128—129
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 135—140
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 140—143
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 143—146
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 146—148
↑ Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 129—134

Әҙәбиәт

Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. — 1994.
Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Наука, 1962. — Т. 1.
Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Наука, 1959. — Т. 2.
Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.
Рыжиков Ю. Вычислительные методы. — СПб.: BHV, 2007. — 400 с. — ISBN 978-5-9775-0137-8

Һылтанмалар

Научный журнал «Вычислительные методы и программирование. Новые вычислительные технологии»
Материалы по численным методам
Численные методы
Вычислительные методы в прикладной математике, Международный журнал, ISSN 1609-4840

Ҡалып:Разделы математики

[1] Муха В. С. Вычислительные методы и компьютерная алгебра: учеб.-метод. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — Минск: БГУИР, 2010. — 148 с.: ил, ISBN 978-985-488-522-3, УДК 519.6 (075.8), ББК 22.19я73, М92

[KibEnc-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 Энциклопедия кибернетики / Глушков В. М., Амосов Н. М., Артеменко И. А.. — Киев, 1974. — Т. 2. — С. 530—532.

[3] Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. — М., Наука, 1972. — Тираж 45000 экз. — С. 10

[Калиткин—1978——3-4] Калиткин, 1978, с. 3

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——33-5] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 33

[Калиткин—1978——2-6] Калиткин, 1978, с. 2

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——13—16-7] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 13—16

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——57—58-8] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 57—58

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——53-9] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 53

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——63-10] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 63

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——65-11] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 65

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——77—79-12] 12,0 ^12,1 Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 77—79

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——79—80-13] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 79—80

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——84—87-14] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 84—87

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——102—106-15] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 102—106

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——106—109-16] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 106—109

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——112-17] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 112

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——125—135-18] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 125—135

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——111—112-19] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 111—112

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——149—150-20] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 149—150

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——331—333-21] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 331—333

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——333—334-22] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 333—334

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——334—336-23] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 334—336

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——336—337-24] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 336—337

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——337-25] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 337

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——337—342-26] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 337—342

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——347—348-27] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 347—348

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——349—352-28] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 349—352

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——352—355-29] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 352—355

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——355—357-30] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 355—357

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——364—365-31] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 364—365

[Березин,_Жидков,_т.1—1962——386—387-32] Березин, Жидков, т.1, 1962, с. 386—387

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——76-33] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 76

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——76—79-34] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 76—79

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——83—88-35] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 83—88

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——88—94-36] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 88—94

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——103-37] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 103

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——103—107-38] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 103—107

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——107—114-39] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 107—114

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——115-40] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 115

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——128—129-41] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 128—129

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——135—140-42] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 135—140

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——140—143-43] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 140—143

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——143—146-44] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 143—146

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——146—148-45] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 146—148

[Березин,_Жидков,_т.2—1959——129—134-46] Березин, Жидков, т.2, 1959, с. 129—134

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

Һанлы ысулдар
Өйрәнеү объекты	численный алгоритм^[d]
ACM коды (2012)	10003715
Һанлы ысулдар Викимилектә