Вариациалы иҫәпләмә

Вариациалы иҫәпләмә — функционалдарҙың вариацияларын өйрәнеүсе анализ бүлеге. Иң типик мәсьәлә — бирелгән функционал экстремаль ҡиммәткә еткән функцияны табыу. Механика, математика, иҡтисад мәсьәләләрен (изопериметрик мәсьәләләр, оптималь идара итеү, геодезик һыҙыҡтарҙы табыу) ҡарай.

Вариациалы иҫәпләмә
Кем хөрмәтенә аталған	вариация[d]
Вики-проект	Проект:Математика[d]
Вариациалы иҫәпләмә Викимилектә

Ҡулланыу өлкәһе

Вариациялы иҫәпләмә ысулдары математиканың төрлө өлкәләрендә киң ҡулланыла. Мәҫәлән, дифференциаль геометрияла улар ярҙамында геодезия һығыҡтарын һәм минималь өҫлөктәрҙе эҙләйҙәр. Физикала вариация ысулы — дискрет, шулай уҡ тарҡатылған системалар, шул иҫәптән физик ҡырҙар өсөн дә хәрәкәт тигеҙләмәләрен алыу өсөн көслө ҡоралдарҙың береһе. Вариациялы иҫәпләмә ысулдары статикала ла ҡулланыла.

Термин һәм билдәләмәләр

Вариациялы иҫәпләүҙең мөһим төшөнсәләре булып түбәндәгеләр тора:

• вариация (беренсе вариация),
• Вариация сығарылмаһы (беренсе вариация сығарылмаһы),
• Беренсе вариация һәм беренсе вариациялы сығарылманан тыш, икенсе һәм юғары дәрәжәле вариациялы сығарылмалар ҙа ҡарала.

Анализда исеме менән тап килгән функция вариацияһы вариациалы иҫәпләмә менән бер нисек тә бәйле түгел.

Варьирвание (үҙгәреш) термины вариациялы иҫәпләмәлә вариация йәки вариация сығарылмаһын табыу өсөн ҡулланыла (был — вариациялы иҫәпләмә предметы булып торған сикһеҙ үлсәмле аргумент осрағы өсөн термин дифференциацияһының аналогы). Шулай уҡ йыш ҡына ҡыҫҡалыҡ өсөн (бигерәк тә ҡушымталарҙа вариация термины вариациялы сығарылма табыуға һәм уны нулгә тиңләүгә тиклем кәметелгән вариация мәсьәләһен сисеү өсөн ҡулланыла.

Вариация мәсьәләһе, ҡағиҙә булараҡ, ҡайһы бер функционалдарҙың стационарлығын ҡәнәғәтләндергән функцияны (вариациялы иҫәпләмә сиктәрендә, функцияға тигеҙләмә) табыуҙы аңлата, йәғни сикһеҙ бәләкәй функциональ үҙгәрештәр тыуҙырмаған функция. Шулай уҡ вариация мәсьәләһе функция табыу (функцияға тигеҙләмә) буйынса тығыҙ бәйләнгән мәсьәлә тип атала. Был функционал урындағы экстремумға барып етә (күп йәһәттән был мәсьәлә беренсеһенә тиклем ҡыҫҡартыла, ҡайһы берҙә бөтөнләй тиерлек).

Ҡағиҙә булараҡ, терминдарҙы ошолай ҡулланғанда мәсьәлә вариациялы иҫәпләмә ысулдары менән сиселә тип күҙҙә тотола.

Геометрияла һәм механикала изопериметрик мәсьәләләр вариация мәсьәләһенең типик миҫалы булып тора; физикала — был ҡыр өсөн бирелгән эш төрөнән ҡыр тигеҙләмәләрен табыу мәсьәләһе.

Тарихы

Антик заманда уҡ изопериметрик мәсьәләләр категорияһына ҡараған тәүге вариация проблемалары барлыҡҡа килә, мәҫәлән, Дидондың мәсьәләһе боронғо грек математикатарына билдәле булған :

1. Бирелгән периметры булған барлыҡ фигуралар араһынан иң ҙур майҙанды түңәрәк тәшкил итә.
2. Бирелгән яҡтары һәм бирелгән периметры булған бөтә күпмөйөштәр араһынан иң ҙур майҙанға төҙөк күпмөйөш эйә.
3. Өҫкө майҙаны бирелгән бөтә есемдәрҙең иң ҙур күләменә шар эйә. Шар сегменттары өсөн шундай уҡ мәсьәләне Архимед сисә, ә Зенодор б.э.т. II быуатта «О изопериметрические фигурах» китабын яҙа (башҡа авторҙарҙың әҫәрҙәрендә унан цитаталар һаҡланған).

Беренсе вариациялы принципты яҡтылыҡ нурҙары сағылышы траекториялары өсөн Герон Александрийский «Катоптрика» эшендә формалаштыра (б.э. 21 быуаты) .

Урта быуат Европаһында изопериметрик мәсьәләләре менән Сакробоско И. (XI б. I) һәм Т. Брадвардин (XIV б.) шөғөлләнгән. Анализ эщләгәндән һуң вариация мәсьәләләренең яңы типтары барлыҡҡа килә, башлыса механик характерҙа. "Математические начала натуральной философии"нда (1687) Ньютон газда йәки шыйыҡсала (бирелгән үлсәмдәрҙә) хәрәкәт иткәндә иң бәләкәй ҡаршылыҡты тәьмин иткән есем әйләнеше формаһын табыу мәсьәләһен сисә.

Вариациялы иҫәпләмәнең хәҙерге вариантын эшләүгә этәргес биргән мөһим тарихи мәсьәлә булып брахистохрон тураһында мәсьәлә тора (1696).

Бер нисә математик тарафынан тиҙ арала хәл ителеүе яңы методтарҙың ғәйәт ҙур мөмкинлектәрен күрһәтә. Улар араһында сылбырлы һыҙыҡтың формаһын билдәләү мөһимлеген күрһәтеү кәрәк (йәғни ауыр бер төрлө ептең тигеҙләнеш формалары, 1690 йыл). Вариация мәсьәләләрен сисеүҙең дөйөм ысулдары был осорҙа булмаЙ, һәр мәсьәлә аҡыллы геометрик фекерләү ярҙамында сиселгән.

Пьер Ферма геометрик оптиканың төп принцибын формалаштыра, уға ярашлы төрлө мөхиттәге яҡтылыҡ иң бәләкәй ваҡытты биләгән юлды һайлай. 1746 йылда Мопертюи, фәнгә иң бәләкәй хәрәкәт итеүҙең беренсе принцибын индереп, был ҡағиҙәне дөйөмләштерә.

Вариациялы иҫәпләмәне үҫтереүгә Леонард Эйлер һәм Жозеф Лагранж тос өлөш индерә. Эйлерҙың вариациялы иҫәпләмәне тәүге системалы тасуирлауы һәм термин үҙе 1766 йыл яҙыла. Лагранж үҙ аллы 1755 йылдан фундаменталь һөҙөмтәләр ала һәм вариация төшөнсәһен индерә.

Был этапта практик әһәмиәткә эйә булған вариациялы иҫәпләмәнең төп классик һөҙөмтәләренең береһе булып Эйлер — Лагранждың тигеҙләмәләре — дифференциаль тигеҙләмәләр тора.

Улар экстремумдың кәрәкле шарты булып тора, ул вариация методтарҙың аналитик нигеҙенә тәшкил итә. Тиҙҙән, асыҡланыуынса, был тигеҙләмәләрҙең сығарылыштары бөтә осраҡтарҙа ла ысын экстремум бирмәй, һәм экстремумды гарантиялаусы етерлек шарттар табыу мәсьәләһе ҡуйыла.

Тәүге тәрән тикшеренеүҙе (икенсе вариацияны) Лежандр яһаған, ләкин Лагранж уның эшендә хата таба. Лежандраның һөҙөмтәләрен Якоби (1837), һуңынан уның уҡыусыһы Гессе (1857) һәм һуңыраҡ Вейерштрасс аныҡлаштыра. Хәҙер был етерлек шарттар Якоби тигеҙләмәләре тип атала. XX быуатта Дэвид Гильберт, Оскар Больца, Гилберт Эмес Блисс, Эмми Нетер, Леонида Тонелли, Анри Лебесг һәм Жак Хадамард ҙур өлөш индерә. Марстон Морс хәҙер Морс теорияһы тип йөрөтөлгән вариациалы иҫәпләмә ҡуллана. Үҙенсәлекле идара итеү теорияһында вариациялы иҫәпләмә өсөн яңы математика ҡоралдарын уйлап сығарғандар. Үҙгәртеп ҡороуҙарға килгәндә, Ричард Беллмандың динамик программалауы — вариациялы иҫәпләмәгә альтернатив булып тора>.

Формаль булмаған фекерләшеү

Вариациялы иҫәпләмә йөкмәткеһе — функционал осрағында дифференциал һәм сикле үлсәмле векторлы аргументтың ҡабатландыҡ функцияһының дөйөм төшөнсәләре булып тора. Билдәләү өлкәһе булып ниндәйҙер күмәклек йәки функциялар арауығы хеҙмәт иткән функциялар, ә мәғәнәһе матдтәләр йәки комплекслы һандар күмәклегендә ята.

Башҡортостанда фәнни тикшеренеүҙәр

Башҡортостанда вариациалы иҫәпләмә өлкәһендәге тәүге фәнни тикшеренеү булып М. А. Лаврентьевтың квазиконформлы сағылыш теорияһының вариациялы ысулдары буйынса XX быуаттың 1‑се яртыһында, 40-сы йылдарҙа, (Украина ССР‑ы ФА‑ның Өфөлә эшләү осоронда) башҡарылған ғилми хеҙмәттәре иҫәпләнә. 1960 йылдарҙа оптималләштереүҙең математика теорияһы һәм уның ҡушымталары менән бәйле вариациалы иҫәпләмә бүлектәре буйынса тикшеренеүҙәр алға китә. Өфө дәүләт авиация техник университетында Э. А. Мухачёва етәкелегендә математик программалаштырыу мәсьәләләре һәм уның сәнәғәттә оптималь бесеү һәм төрөү мәсьәләләренә ҡарата ҡушымталары буйынса тикшеренеүҙәр үткәрелә. Башҡорт дәүләт университетында С. Ю. Рудерман етәкселегендә үткәргес торба трассаларын оптималләштереү буйынса эштәр башҡарыла, С. И. Спивак етәкселегендә ҡатмарлы химик-технологик процестарҙы һәм Н. Д. Морозкин етәкселегендә фазалары сикләүле процестарҙы оптималләштереү, В. Т. Иванов, һәм Ф. В. Лубышев етәкселегендә оптималь идара итеүҙең математик теорияһы, С. А. Щербинин етәселегендә электрохимик процестарҙың ҡулай режимдарын иҫәпләп сығарыу буйынса тикшеренеүҙәр үҫеш ала. Математика институтында М. Д. Рамаҙанов етәкселегендә иҫәпләү алгоритмдарын оптималләштереү теорияһы һәм И. И. Голичев етәеселегендә системаның торошон айырмалы сығарылмалары булған дифференциаль тигеҙләмәләр аша тасуирлау шарттарында оптималләштереү ысулдары эшләнә.

Әҙәбиәт

• М. В. Алексеев, В. М. Изд., С. В. Фомин Оптималь идара. — М.: Наука, 1979
• Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.
• Б. А. Дубровин, Новиков С. П., Т. А. Фоменко Хәҙерге геометрия: ысулдары һәм ҡушымталары. — М.: Наука, 1979
• Зейферт Г., В. Трельфалль Дөйөм алғанда, иҫәпләмәгәндә вариационный 2-е изд., — М.: РХД, 2000
• Л. М. Краснов, Г. И. Макаренко, А. И. Киселевтың Вариационный иҫәпләмәгәндә, күнегеүҙәр һәм бурыстары. — М.: Наука, 1973
• Петров Ю. П. Из истории вариационного исчисления и теории оптимальных процессов // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1990. — № 32/33. — С. 53—73.
• Рыбников К. А. Первые этапы развития вариационного исчисления // Историко-математические исследования. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. — № 2. — С. 355—498.
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 6: Электродинамика. Перевод с английского (издание 3). — Эдиториал УРСС. — ISBN 5-354-00704-6. — 19 башлығы: бәләкәй принцибын ғәмәлгә. (Бик ябай, формаль принцип ғәмәлгә индереп, бәләкәй һәм техника күргәҙмәһе көйҙө миҫал; өлкән уҡыусылары өсөн тәҡдим ителә һәм, мөмкин булһа, кесе курс студенты).
• Л а в р е н т ь е в М. А., Л ю с т е р н и к Л. А. Курс вариационного исчисления. 2-е изд. М.; Л., 1950;
• Т. А. Фоменко Топология вариационный ысулы. — М.: Наука, 1982
• Эльсгольц Л. Э. Тигеҙләмәһе дифференциаль иҫәпләмә һәм вариационный. — М.: Наука, 1969.
• М у х а ч ё в а Э. А., Р у б и н ш т е й н Г. С. Математическое программирование. Новосибирск, 1987.
• Л. С. Полак Механика вариационный принциптары. — М.: Физматлить, С 1959—932

Һылтанмалар

• Вариациалы иҫәпләмә // Башҡорт энциклопедияһы. — Өфө: БР ДАҒУ «Башҡорт энциклопедияһы», 2015—2024. — ISBN 978-5-88185-143-9. (Тикшерелеү көнө: 22 сентябрь 2022)