Ҡабатлау таблицаһы

Ҡабатлау таблицаһы, шулай уҡ Пифагор таблицаһы — юлдарҙа һәм бағаналарҙа ҡабатлашыусылар ҡуйылған, ә күҙәүҙәрҙә ҡабатландыҡ урынлашҡан таблица. Уҡыусыларҙы ҡабатларға өйрәтеү өсөн ҡулланыла.

Тарихы

Һуғышыусылар батшалығы осорондағы ҡабатлау таблицаһы, (Ҡытай, б. э. тиклем 305 йыл)

Иң боронғо билдәле булған ҡабатлау таблицаһы Боронғо Вавилонда табылған һәм йәше яҡынса 4000 йыл. Ул алтмышарлы иҫәпләү системаһына нигеҙләнгән^[1]. Иң боронғо унарлы ҡабатлау таблицаһы Боронғо Ҡытайҙа табылған һәм б. э. тиклем 305 йылға ҡарай

Ҡайһы берҙә ҡабатлау таблицаһын Пифагор уйлап тапҡан тип иҫәпләйҙәр, төрлө телдәрҙә таблица уның исеме менән атала, шул иҫәптән француз, урыҫ һәм итальян телдәрендә^[2].

493 йылда Викторий Аквитанский 98 бағаналы таблица төҙөгән, унда Рим һандарында 2-нән 50-гә тиклемге һандарҙың ҡабатландығы һөҙөмтәләре бирелгән^[3].

Джон Лесли Arithmetic Philosophy of The китабында (1820)^[4] 99-ға тиклемге һандарҙың ҡабатлау таблицаһын баҫтырған, ул цифрҙарҙы парлап ҡабатлау мөмкинлеге бирә. Шулай уҡ ул 25-кә тиклем һандарҙы ҡабатлау таблицаһын ятларға тәҡдим итә.

Өйрәнеү

Үҙ ваҡытында яттан ятланған ҡабатлау таблицаһын индереү телдән һәм яҙма иҫәптә революция яһай. Быға тиклем бер урынлы һандарҙы ҡабатлауҙың төрлө хәйләкәр ысулдары ҡулланыла, улар бөтә процесты тотҡарлайҙар һәм өҫтәмә хаталар сығанағы булып торалар.

Рәсәй мәктәптәрендә ғәҙәттә ҡиммәттәр 10×10-ға тиклем етә. Бөйөк Британияла 12×12-гә тиклем, был инглиз берәмектәр системаһында оҙонлоҡ үлсәү берәмеге (1 фут = 12 дюйм) һәм аҡса әйләнеше (1971 йылға тиклем булған: 1 фунт стерлинг = 20 шиллинг, 1 шиллинг = 12 пенс) менән бәйле.

Советтар Союзында, ғәҙәттә, ҡабатлау таблицаларын 1-се кластан һуң «йәйгелеккә биргәндәр», ә 2-се класта дәрестәрҙә нығытҡандар (8 йәштә). Рәсәй мәктәптәрендә ҡабатлау ғәҙәттә 2-се класта өйрәнелә. Инглиз мәғариф стандарты буйынса мәктәптә ҡабатлау таблицаһы 11 йәшкә тиклем ятлап алынырға тейеш (талапты 9 йәшкә тиклем тип ҡатыландырыу планлаштырылған)^[5]

Ябай ҡараш

Унарлы иҫәпләү системаһында ҡабатлау таблицаһы
×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Ҡабатлау таблицаһы буйынса һөҙөмтәне нисек табырға

Ҡабатлау таблицаһы буйынса 4×8 ҡабатландығы һөҙөмтәһен белер өсөн, һул яҡ бағанала дүрт цифрын һәм өҫкө юлда һигеҙ цифрын табып, 4-тән горизонталь һыҙыҡ һәм 8-ҙән вертикаль һыҙыҡ үткәрәләр. Һыҙыҡтар киҫешкән шаҡмаҡта торған һан ҡабатландыҡ булып тора (был осраҡта 32).

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50

Ҡулланыу

Классик ҡабатлау таблицаһын киң билдәле натураль һандарҙы ҡабатлауҙың практик күнекмәләрен булдырыу өсөн ҡулланыуҙан тыш, уны ҡайһы бер математик иҫбатлауҙа ҡулланырға мөмкин, мәҫәлән, натураль һандарҙың кубтары суммаһы формулаһын сығарғанда йәки квадраттар суммаһы өсөн аңлатма сығарыу өсөн^[6].

Дөйөмләштереү

Ҡабатлау таблицаһы менән бер рәттән, ҡайһы бер осраҡта ҡушыу таблицаһы уңайлы була.

Кэль таблицаһы

Кэль таблицаһы — дөйөм алгебрала, бер бинарлы операциялы сикле алгебраик системаларҙың структураһын һүрәтләүсе таблица ул. Инглиз математигы Артур Кэль хөрмәтенә аталған. Дискрет математикала мөһим әһәмиәткә эйә, атап әйткәндә, төркөмдәр теорияһында, унда ғәмәлдәр сифатында ҡушыу һәм ҡабатлау ҡарала. Таблица, төркөм абелев төркөмө буламы икәнлеген билдәләргә, төркөм үҙәген һәм был төркөмдәге башҡа элементтарға ҡарата кире элементты табырға мөмкинлек бирә.

Юғары алгебрала Кэль таблицаһы ялан, балдаҡ һәм башҡа алгебраик структураларҙағы бинар операцияларҙы билдәләү өсөн ҡулланылырға мөмкин. Шулай уҡ улар был структураларҙа ғәмәлдәр үтәгәндә уңайлы.

Модуляр арифметика

Натураль һанға бүлеүҙән бөтә ҡалдыҡтар балдаҡ, ә ябай һандарға бүлеүҙән ҡалдыҡтар — ҡырҙар барлыҡҡа килтерә. Был ҡабатлау таблицаһы ярҙамында иллюстрациялана:

8 модуле буйынса бүлеүҙән ҡалдыҡтар балдағында ҡабатлау таблицаһы.

×	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

5 модуле буйынса бүлеүҙән ҡалдыҡтар балдағында ҡабатлау таблицаһы.

×	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Ҡабатлау
Бүлеү
Ҡушыу
Алыу

Иҫкәрмәләр

↑ Jane Qiu (January 7, 2014). «Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips». Nature News. DOI:10.1038/nature.2014.14482.
↑ Например, в Farrar, John. An Elementary Treatise on Arithmetic.
↑ Maher, David W.; Makowski, John F. Literary evidence for Roman arithmetic with fractions (инг.) // Classical Philology. — 2001. — № 4 (96). — P. 383.
↑ Leslie John. The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand. — Edinburgh: Abernethy & Walker, 1820.
↑ Children must learn times tables by age nine… // Daily Mail, 17.12.2011
↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—72.

Һылтанмалар

[Qiu-1] Jane Qiu (January 7, 2014). «Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips». Nature News. DOI:10.1038/nature.2014.14482.

[2] Например, в Farrar, John. An Elementary Treatise on Arithmetic.

[3] Maher, David W.; Makowski, John F. Literary evidence for Roman arithmetic with fractions (инг.) // Classical Philology. — 2001. — № 4 (96). — P. 383.

[4] Leslie John. The Philosophy of Arithmetic; Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of Calculation, with Tables for the Multiplication of Numbers as Far as One Thousand. — Edinburgh: Abernethy & Walker, 1820.

[5] Children must learn times tables by age nine… // Daily Mail, 17.12.2011

[6] Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—72.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50

×	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50

×	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50

×	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	0	2	4	6
3	3	6	1	4	7	2	5
4	4	0	4	0	4	0	4
5	5	2	7	4	1	6	3
6	6	4	2	0	6	4	2
7	7	6	5	4	3	2	1