Ябай һандарҙың таралыуы тураһында теорема

Ябай һандарҙың таралыуы тураһында теорема (рус. Теорема о распределении простых чисел) — һандарҙың аналитик теорияһының ябай һандарҙың таралыуының асимптотикаһын тасуирлаусы теоремаһы, ул ябай һандарҙың таралыу функцияһы $\pi (n)$ ($[1;n]$ киҫегендәге ябай һандар һаны) $n$ ҙурайыу менән ${\frac {n}{\ln n}}$ кеүек арта тип раҫлай, йәғни:

$n\to \infty$ ${\frac {\pi (n)}{n/\ln n}}\to 1$.

Тупаҫ итеп әйткәндә, был, 1-ҙән $n$-ға тиклем осраҡлы ғына һайланған һандың ябай һан булыу ихтималлығы яҡынса ${\frac {1}{\ln n}}$-ға тигеҙ тигәнде аңлата. Шулай уҡ был теорема $k$-сы $p_{k}$ ябай һанын һүрәтләү өсөн эквивалентлы рәүештә әйтеп бирелергә мөмкин: ул

$p_{k}\sim k\ln k,\quad k\to \infty$ тип раҫлай

(бында һәм артабан $f\sim g$ яҙыуы функцияларҙың аргументы сикһеҙлеккә ынтылғанда $f/g\to 1$ тигәнде аңлата).

Ябай һандарҙың таралыуын интеграль логарифм функцияһы анығыраҡ һүрәтләй. Риман гипотезаһы үтәлгәндә дөрөҫ

$\pi (n)=\operatorname {Li} (n)+O({\sqrt {n}}\ln n)$ $x\rightarrow \infty$ саҡта.

Тарихы

Ябай һандарҙың урынлашыуында статистик законлылыҡты беренсе булып Гаусс абайлай. Ул Энке Иоганн Францҡа хатында (1849), 1792 йәки 1793 йылда уҡ, «тик эмпирик яҡтан, ябай һандарҙың тығыҙлығы «яҡынса логарифмға кире пропорциональ дәүмәлгә яҡын» булыуын күрҙем», тип хәбәр итә. Был ваҡытҡа тиклем, Фелкель һәм Георг Вега төҙөгән ябай һандар таблийаһына нигеҙләнеп, Адриен Мари Лежандр (1796 йылда) ябай һандарҙың таралыу функцияһы $\pi (x)$ (x-тан ҙур булмаған ябай һандар һаны) :

$\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B}}$ аңлатмаһы менән яҡынайыуы мөмкин, тип фаразлайЮ

бында $B\approx 1{,}08366.$ Гаусс телгә алынған хатында Лежандр формулаһын тәнҡитләй һәм, эвристик фекерләү ҡулланып, икенсе яҡынса функцияны — интеграль логарифмды тәҡдим итә:

$\mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln x}}\,dx$

Ләкин Гаусс был гипотезаһын бер ерҙә лә баҫтырып сығармай. Ике яҡынлау ҙа, Лежандрҙың да, шулай уҡ Гаустың да, $\pi (x)$ һәм $x/\ln(x)$ функцияларының, юғарыла күрһәтелгән, бер үк күҙалланған асимптотик эквивалентлығына килтерә, шулай ҙа Гаусс яҡынлауы, әгәр хатаны баһалағанда функциялар сағыштырмаһы урынына уларҙың айырмаһын ҡарағанда, яҡшыраҡ булып сыға.

Чебышёв үҙенең ике хеҙмәтендә, 1848 һәм 1850 йылдарҙа,

${\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}\qquad$

(1)

сағыштырмаһының өҫкө M һәм аҫҡы m сикләнмәләре

$0{,}92129\leqslant m\leqslant M\leqslant 1{,}10555$ сиктәре эсендә, шулай уҡ, әгәр (1) сағыштырмаһының сикләнмәһе булһа, ул 1-гә тигеҙ тип иҫбатлай. Аҙағыраҡ (1881) Дж. Дж. Сильвестр сикләнмә өсөн рөхсәт ителгән интервалды 10 %-тан 4 %-ҡа тиклем тарайта.

1859 йылда Бернхард Римандың, (Леонард Эйлер ысын аргумент функцияһы булараҡ индергән) ζ-функцияһын комплекслы өлкәлә ҡараусы, һәм уны ябай һандарҙың таралыуы менән бәйләүсе хеҙмәте барлыҡҡа килә. Был хеҙмәттең идеяһын үҫтереп, 1896 йылда Жак Адамар һәм де ла Валле Пуссен бер үк ваҡытта һәм бер-береһенә бәйһеҙ ябай һандарҙың таралыуы тураһында теореманы иҫбат итәләр.

Ахыр килеп, 1949 йылда комплекслы анализды ҡулланмаған Эрдеш—Сельберг иҫбатлауы барлыҡҡа килә.

И5батлау барышы

Чебышёвтың пси-функцияһын терминдарын үҙгәртеп формулировкалау

Фекерләүҙең дөйөм башланғыс этабы булып ябай һандарҙың таралыу законын,

$\psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p,\qquad \qquad (*)$ тип билдәләнгән Чебышёвтың пси-функцияһы терминдарында үҙгәртеп формулировкалау тора,

икенсе төрлө әйткәндә, Чебышёвтың пси-функцияһы ул Мангольдт функцияһы суммаһы:

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n),\qquad \Lambda (n)={\begin{cases}\log p,&n=p^{k},\,k\geq 1,\quad p\,{\text{is a prime}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Тап ошонан сығып ҡарағанда, ябай һандарҙың таралыуының асимптотик законы

$\psi (x)\sim x,\quad x\to \infty .$

тиң булып сыға.

Был шунан килеп сыға, логарифм $[1,n]$ киҫегенең ҙур өлөшөндә «даими тиерлек», ә квадраттарҙың, кубтарҙың, һәм башҡаларҙың (*) суммаһына өлөшө иҫәпкә алмаҫлыҡ бәләкәй; шуға күрә бөтә ҡушылыусы логарифмдар $\ln p$ яҡынса $\ln x$-ҡа тигеҙ, һәм $\psi (x)$ функцияһы асимптотик үҙен $\pi (x)\cdot \ln x$ функцияһы кеүек тота.

Классик фекерләүҙәр: Римандың дзета-функцияһына күсеү

Эйлерр тождествоһынан күренеүенсә,

$\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}},$

Мангольдт функцияһына ярашлы Дирихле рәте («сығарыусы функция»), дзета-функцияның минус логарифмик сығарылмаһына тигеҙ:

$\sum _{n}\Lambda (n)n^{-s}=-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}.$

Бынан тыш, $a^{s}/s$ функцияһынан 0-дән уңда урынлашҡан вертикаль тура һыҙыҡ буйлап интеграл $a>1$ булғанда $2\pi i$-гә тигеҙ һәм $0<a<1$ булғанда 0-гә тигеҙ. Шуға күрә, уң һәм һул яғын ${\frac {1}{2\pi i}}x^{s}/s$-ға ҡабатлағанда һәм (ыҡсым — үҙ булмаған интегралдар шартлы ғына йыйыла!) $ds$ вертикаль тура һыҙығы буйынса интегрираллау һул яғында $n\leqslant x$ менән теүәл $\Lambda (n)$ суммаһын ҡалдыра. Икенсенән, вычет тураһында теоремаларҙы ҡулланыу һул яғын вычеттар суммаһы күренешендә яҙырға мөмкинлек бирә; дзета-функцияның һәр нуленә 1-гә тигеҙ булған вычеты менән уның логарифмик сығарылмаһының беренсе тәртиптәге полюсы ярашлы, ә $s=1$ нөктәһендә беренсе тәртиптәге полюсҡа — $(-1)$-гә тигеҙ булған вычеты менән беренсе тәртиптәге полюс ярашлы.

Был программаны ҡәтғи тормошҡа ашырыу Римандың асыҡ формулаһын табырға мөмкинлек бирә:

$\psi (x)=x-\sum _{\rho :\,\zeta (\rho )=0, \atop 0<\operatorname {Re} (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).\qquad \qquad (**)$

Бында ҡушыу $\rho$ дзета-функцияһының $0<\operatorname {Re} (s)<1$ кризис һыҙатында ятҡан нулдәре буйынса алып барыла, $-\log(2\pi )=-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}$ ҡушылыусыһы нулдә ${\frac {x^{s}}{s}}$ полюсына, ә $-\log(1-x^{-2})/2$ ҡушылыусыһы — дзета-функцияның «тривиаль» тип аталған $s=-2,-4,-6,\dots$ нулдәренә яуап бирә.

Дзета-функцияның кризис һыҙатынан ситтә тривиаль булмаған нулдәренең булмауы эҙләнгән раҫлауға килтерә $\psi (x)\sim x$

((**) формулаһында сумма $x$-ҡа ҡарағанда яйыраҡ үҫәсәк). Бынан тыш, Риман гипотезаһы $\psi (x)$-тың $x$-тан, һәм, ярашлы рәүештә, $\pi (x)$-тың $x/\ln x$-тан мөмкин булған тайпылыуҙарына «оптималь» баһа биреүгә килтерә.

Элементар иҫбатлау: Эрдеш-Сельбергтың тамамлауы

Логарифмлағандан һуң түбәндәге күренештә яҙылыусы арифметиканың төп теоремаһы

$\ln n=\sum _{p,k:\,p^{k}|n}\ln p$

шул рәүешле арифметик функциялар һәм Дирихле төргәге терминдарында түбәндәгесә формулировкалана

$\ln =\Lambda *\mathbf {1} ,$

бында $\ln$ һәм $\mathbf {1}$ — ярашлы рәүештә арифметик функциялар, аргумент логарифмы һәм тождестволы берәмек.

Мёбиус әйләндереүҙәре формулаһы $\mathbf {1}$-ҙе уң яҡҡа күсерергә мөмкинлек бирә:

$\Lambda ={\ln }*\mu ,\qquad \qquad (**)$

бында $\mu$ — Мёбиус функцияһы.

(**) һул яғының суммаһы  — эҙләнгән $\psi$ функцияһы. Уң яғында Дирихле гиперболаһы формулаһын ҡулланыу төргәк суммаһын $\sum \limits _{k}L\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k)$ суммаһына ҡайтарып ҡалдырырға мөмкинлек бирә, бында $L$ — логарифм суммаһы. Эйлер-Маклорен формулаһын ҡулланыу $L(n)$-ды түбәндәгесә яҙырға мөмкинлек бирә

$L(n)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln n+\gamma +o(1),$

бында $\gamma$ — Эйлер даимиһы. Ҡулайлы һайлап алынған F функцияһы өсөн (атап әйткәндә, $F(x)=x-\gamma -1$) был аңлатманан $\sum \limits _{k}F\left({\frac {n}{k}}\right)$ күренешендәге ҡушылыусыларҙы айырып алып, һәм ҡалдыҡты R аша тамғалап, Мёбиус әйләндереүе арҡаһында табабыҙ

$\Lambda =F+\sum \limits _{k}R\left({\frac {n}{k}}\right)\mu (k).$

$F(x)\sim x$ булғанлыҡтан, икенсе ҡушылыусы $o(x)$ күренешендә булыуын тикшерергә ҡала. Аскер леммаһын ҡулланыу был мәсьәләне $M(x)=o(x)$ раҫлауын тикшереүгә ҡайтарып ҡалдырырға мөмкинлек бирә, бында $M(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\mu (n)$ — Мертенс функцияһы, Мёбиус функцияһы суммаһы.

Аҫ эҙмә-эҙлелектә Мёбиус функцияһы суммаларының бәләкәйлеге $1/n$ функцияһына ҡулланылған әйләндереү формулаһынан килеп сыға.

Артабан, арифметик функциялар алгебраһында Мёбиус функцияһы (мультипликатив операция-төргәк менән) беренсе тәртиптәге «дифференциаль тигеҙләмә»не ҡәнәғәтләндерә

$\mu '=-\mu *\Lambda ,$

бында $f'(n)=f(n)\cdot \ln n$ — был алгебрала дифференциаллау (Дирихле рәттәренә күсеү уны ғәҙәттәге функцияны дифференциаллауға әйләндерә). Шуға күрә ул икенсе тәртиптәге тигеҙләмәләрҙе лә ҡәнәғәтләндерә

$\mu ''=\mu *(\Lambda *\Lambda -\Lambda ').$

Был тигеҙләмәне «урталаштырыу» һәм, $\Lambda _{2}=\Lambda *\Lambda +\Lambda$ функцияһының суммаһы асимптотикаһы $\Lambda$ суммаларының асимптотикаһынан яҡшыраҡ баһаланыуы, ${\frac {M(x)}{x}}$ сағыштырмаһын был сағыштырманың урта ҡиммәттәре аша баһаларға мөмкинлек бирә. Бындай баһа «аҫ эҙмә-эҙлелек буйынса бәләкәй» булыу менән бергә эҙләнгән $M(x)=o(x)$ баһаһын алырға мөмкинлек бирә.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Дзета-функция Римана
• Постулат Бертрана

Әҙәбиәт

Классик хеҙмәттәр

• Jacques Hadamard. Sur la distribution des zéros de la fonction $\zeta (s)$ et ses conséquences arithmétiques. Bull. Soc. Math. France, № 24 (1896), 199—220.
• Charles de la Vallée Poussin. Recherces analytiques sur la théorie des nombres premiers. Ann. Soc. Sci. Bruxells, 1897.
• Чебышёв П. Л. Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины, 1848.
• Чебышёв П. Л. О простых числах, 1850.
• Bernhard Riemann. Űber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse // Monatsberichte der Berliner Akademie. — 1859.

Хәҙерге заман әҙәбиәте

• Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
• Диамонд Г. Элементарные методы в изучении распределения простых чисел, УМН, 45:2(272) (1990), 79-114.
• Постников А. Г., Романов Н. П. Упрощение элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического закона распределения простых чисел, УМН, 10:4(66) (1955), с. 75-87
• Erdős, P. Démonstration élémentaire du théorème sur la distribution des nombres premiers. Scriptum 1, Centre Mathématique, Amsterdam, 1949.
• Selberg, A. An Elementary Proof of the Prime Number Theorem, Ann. Math. 50, 305—313, 1949.

Һылтанмалар

• Weisstein, Eric W. Prime Number Theorem (инг.) на сайте Wolfram MathWorld.