Эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе

Математикала метрик арауыҡтың йәки топологик арауыҡтың элементтары эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе (рус. Предел последовательности) тип шул уҡ арауыҡтың, бирелгән эҙмә-эҙлелектең элементтарын «тартыу» үҙсәнлегенә эйә булған, элементы атала.

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
…
10	0.998334
…
100	0.999983

n-дың ҡиммәте үҫеү менән n sin(1/n) функцияһының ҡиммәте 1-гә яҡыная. «n sin(1/n) эҙмә-эҙлелегенең сикләмәһе 1-гә тигеҙ» тип әйтәләр.

Был терминдың башҡа мәғәнәләре лә бар, ҡарағыҙ: Предел.

Топологик арауыҡтың элементтары эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе шундай нөктә була, уның һәр тирә-яғы эҙмә-эҙлелектең, ниндәйҙер номерҙан башлап, бөтә элементтарын үҙ эсенә ала. Метрик арауыҡта нөктәнең тирә-яғы алыҫлыҡ функцияһы аша билдәләнә, шуға күрә сикләнмә төшөнсәһе алыҫлыҡ телендә әйтелә.

Тарихи математик анализда барлыҡҡа килгән һанлы эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе төшөнсәһе беренсе төшөнсә була, унда ул яҡынайыуҙар системаһы өсөн нигеҙ булып хеҙмәт итә һәм дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәләр төҙөүҙә киң ҡулланыла.

Тамғалау: $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$

икс энынсы эҙмә-эҙлелегенең эн сикһеҙлеккә ынтылғанда сикләнмәһе a-ға тигеҙ тип уҡыла^[1]^[2])

Эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булыу үҙсәнлеген йыйылыусанлыҡ тип атайҙар: әгәр эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булһа, был эҙмә-эҙлелек йыйыла тип әйтәләр; кире осраҡта (әгәр эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булмаһа), был эҙмә-эҙлелек тарала тип әйтәләр.

Хаусдорф арауығында һәм, атап әйткәндә, метрик арауыҡта^[3], йыйылыусан эҙмә-эҙлелектең һәр аҫ эҙмә-эҙлелеге йыйыла, һәм уның сикләнмәһе баштағы эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе менән тап килә.

Икенсе төрлө әйткәндә, Хаусдорф арауығының элементтары эҙмә-эҙлелегенең төрлө ике сикләнмәһе була алмай. Әммә эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булмаҫҡа, шул уҡ ваҡытта сикләнмәһе булған аҫ эҙмә-эҙлелеге (бирелгән эҙмә-эҙлелектең) булыуы ла ихтимал.

Әгәр арауыҡ нөктәләренең теләһә ниндәй эҙмә-эҙлелегенән йыйылыусан аҫ эҙмә-эҙлелеген айырып алырға мөмкин булһа, арауыҡ секвенциаль компактлылыҡ (йәки тик компактлылыҡ, әгәр компактлылыҡ эҙмә-эҙлелек терминдарында ғына билдәләнһә) үҙенсәлегенә эйә тип әйтәләр .

Йоплоҡтың беренсе аксиомаһын ҡәнәғәтләндергән топологик арауыҡтарҙа, эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе төшөнсәһе сикке нөктә (күмәклектең) төшөнсәһе менән туранан-тура бәйле: әгәр күмәклектең сикке нөктәһе булһа, был күмәклек элементтарының бирелгән нөктәгә йыйылған эҙмә-эҙлелеге була.

Ирекле топологик арауыҡтар өсөн бындай эҙмә-эҙлелек булмауы ла ихтимал. Шулай итеп, эҙмә-эҙлелектең бер нисә сикке нөктәһе булырға мөмкин, ләкин, әгәр эҙмә-эҙлелек йыйылһа, сикке нөктәләренең барыһы ла бер-береһенә тап килә һәм эҙмә-эҙлелектең үҙенең сикләнмәһе менән тап киләләр.

Билдәләмә үҙгәртергә

$T$ топологик арауығы һәм $\{x_{n}\}$ эҙмә-эҙлелеге бирелһен, ти. Ул саҡта, әгәр

\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n{\text{ }},n>N{\text{ }}\Rightarrow x_{n}\in U(x)

үтәлерлек шундай

x\in T

элементы булһа, бында

U(x)

—

x

ингән асыҡ күмәклек, ул саҡта

x

x_{n}

эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе тип атала. Әгәр арауыҡ метрик булһа, сикләнмәне метрика ярҙамында асыҡлап була: әгәр шундай

x\in T

элементы булһа,

\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N{\text{ }}\Rightarrow d(x_{n},x)<\varepsilon

,

бында $d(x,y)$ — метрика, ул саҡта $x$ $x_{n}$ эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе тип атала.

Миҫалдар үҙгәртергә

Әгәр арауыҡ дискретҡа ҡаршы топология менән тәьмин ителһә, теләһә ниндәй эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе арауыҡтың теләһә ниндәй элементы буласаҡ.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр үҙгәртергә

Ирекле эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе эҙмә-эҙлелектең өлөшләтә сикләнмәһе тип атала.

Шулай уҡ ҡарағыҙ үҙгәртергә

Иҫкәрмәләр үҙгәртергә

↑ «Знак „lim“ составляет собой первые три буквы латинского слова limes — предел, граница; но читать его следует по-русски: „предел“» (Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 38. — 624 с.)
↑ «Был яҙыу ошолай уҡыла: „предел $x_{n}$ при $n$ , стремящемся к бесконечности, равен $a$ “» (Шипачев В. С. Основы высшей математики / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — С. 121. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6.)
↑ Каждое метрическое пространство является автоматически и хаусдорфовым.

[1] «Знак „lim“ составляет собой первые три буквы латинского слова limes — предел, граница; но читать его следует по-русски: „предел“» (Хинчин А. Я. Краткий курс математического анализа. — М.: ГИТТЛ, 1953. — С. 38. — 624 с.)

[2] «Был яҙыу ошолай уҡыла: „предел $x_{n}$ при $n$ , стремящемся к бесконечности, равен $a$ “» (Шипачев В. С. Основы высшей математики / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — С. 121. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6.)

[3] Каждое метрическое пространство является автоматически и хаусдорфовым.

[1]

[2]

[3]