Фурье анализы

Фурье анализы —анализда дөйөм математик функцияларҙың нисек күрһәтелеүен йәки ябайыраҡ тригонометрик функциялар суммаһы аша яҡынайыуын өйрәнгән йүнәлеш. Фурье анализы Фурье рәттәре үҙсәнлектәрен өйрәнгәндә барлыҡҡа килә, һәм Жозеф Фурье хөрмәтенә аталған, ул функцияны тригонометрик функциялар суммаһы рәүешендә күрһәтеү йылылыҡ алмашыныу процесын өйрәнеүҙе күпкә еңеләйтә икәнлеген күрһәтә. Фурье анализының өйрәнеү предметы булып математик мәсьәләләрҙең киң спектры тора. Фәндә һәм техникала функцияны тирбәлеүсе компоненттарға тарҡатыуҙы йыш ҡына Фурье анализы тип атайҙар, функцияны бындай өлөштәрҙән тергеҙеү һәм шуларға таянып эш итеү Фурье синтезы булараҡ билдәле.

Фурье анализы
Кем хөрмәтенә аталған	Жозеф Фурье
Нәшер ителеү ваҡыты	1822
Фурье анализы Викимилектә

A нотаһын уйнаған бас гитараның ҡылы сигналы («Ля» — 55 Гц).

A асыҡ ҡылы өсөн бас гитара тауышының ваҡытлы сигналының Фурье бүленеше (55 Гц). Фурье анализы сигналдарҙың һәм функцияларҙың тирбәлеү компоненттарын асыҡларға мөмкинлек бирә.

Мәҫәлән, музыкаль нотала йышлыҡтарҙың ниндәй компоненттары бар икәнен асыҡлағанда, һайланған музыка нотаһының Фурье үҙгәртеүе иҫәпләүҙәрен ҡулланалар. Бынан һуң шул уҡ тауышты, Фурье алализында асыҡлаған йышлыҡ компоненттарын ҡулланып, яңынан синтезларға мөмкин. Математикала йыш ҡына был ике операцияны ла Фурье анализы тип атайҙар. Тарҡатыу процесы Фурье үҙгәртеүе тип атала.

Ҡулланыу

Фурье анализы фәндә —физикала, айырым сығарылмалы дифференциаль тигеҙләмәләрҙә, һандар теорияһында, комбинаторикала, сигналдарҙы эшкәрткәндә, цифрлы һүрәттәрҙе эшкәрткәндә, ихтималлыҡ теорияһында, статистикала, суд экспертизаһында, криптографияла, һанлы анализда, акустикала, океанографияла, геометрияла, аҡһымдарҙың структуралы анализында һәм башҡа өлкәләрҙә күп ҡулланыла. Бындай киң ҡулланыусанлығы үҙгәртеүҙең күп файҙалы үҙсәнлектәре менән бәйле:

Үҙгәртеү һыҙыҡлы сағылыш, тейешле нормалләштергәндә шулай уҡ унитар сағылыш булып тора (был үҙсәнлек Парсеваль теоремаһы йәки, дөйөмөрәк осраҡта, Планхерель теоремаһы булараҡ, һәм ғөмүмән алғанда Понтрягин ике төрлөлөгө төшөнсәһе арҡаһында билдәле).

• Үҙгәртеү, ҡағиҙә булараҡ, әйләндермәле.
• Күрһәткесле функциялар дифференциаллау операциялары өсөн үҙ функциялар булып торалар, был, бындай күрһәтеүҙәр даими коэффициентлы һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙе ғәҙәттәге алгебраик тигеҙләмәләргә әйләндерә икәнде аңлата Ҡалып:Harv. Шулай итеп, һыҙыҡлы стационар системаларҙың тәртибен һәр йышлыҡ өсөн бәйһеҙ анализларға мөмкин.
• Төрөлмә тураһында теорема арҡаһында Фурье үҙгәртеүҙәре ҡатмарлы төрөлөү операцияһын ябай ҡабатлауға әйләндерәләр, был шуны аңлата, бындай үҙгәртеүҙәр төрөлмәләр нигеҙендә операцияла иҫәпләүҙәрҙе күпбыуындарҙы ҡабатлау, ҙур һандарҙы ҡабатлау кеүек операциялар ярҙамында, йәғни эффектив ысул менән, башҡарырға мөмкинлек бирә.
• Фурье үҙгәртеүенең дискрет версияһы Фурьеның тиҙ үҙгәртеү алгоритмдарын ҡулланып компьютерҙарҙа тиҙ иҫәпләнергә мөмкин (FFT).

Суд экспертизаһында лаборатор инфраҡыҙыл спектрофотометрҙарҙы ҡулланғанда, материал инфраҡыҙыл спектрҙы йотҡандағы яҡтылыҡ тулҡыны оҙонлоғон үлсәү өсөн Фурье үҙгәртеүе анализын ҡулланалар. Фурье үҙгәртеүе ысулы үлсәнгән сигналдарҙы кодлау һәм тулҡын оҙонлоғо тураһында мәғлүмәтте яҙыу өсөн ҡулланыла. Ә компьютер ҡулланғанда бындай иҫәпләүҙәр тиҙ башҡарылалар, шуға күрә бындай компьютер-идара итеү ҡоролмаһы йотолған инфраҡыҙыл нурланыш спектрын һанаулы секунд эсендә бирергә мөмкин.

Фурье үҙгәртеүен шулай уҡ сигналды компактлы күрһәтеү өсөн ҡулланалар. Мәҫәлән, цифрлы һүрәттең ҙур булмаған квадрат фрагменттары өсөн JPEG ҡыҫыу алгоритмы Фурье үҙгәртеүе модификацияһын ҡуллана (дискрет косинуслы үҙгәртеү). Һәр квадраттың Фурье компоненттары иң бәләкәй арифметик теүәллеккә тиклем түңәрәкләнә, ә әһәмиәтһеҙ компоненттарҙы иҫәпкә алмайҙар, шуға күрә ҡалған компоненттарҙы бик компактлы һаҡларға була. Һүрәтте тергеҙгәндә, һәр квадрат Фурье үҙгәртеүенең һаҡланған яҡынайтылған компоненттарынан элекке хәленә ҡайтарыла, улар аҙаҡ яҡынса яңыртылған тәүге һүрәткә әүереләләр.

Фурье анализы варианттары

(Өҙлөкһөҙ) Фурье үҙгәртеүе

Йышыраҡ, асыҡлыҡ индерелмәһә, Фурье үҙгәртеүе ысын аргументлы өҙлөкһөҙ функцияларҙы үҙгәртеүгә ҡулланыуҙы аңлата, уның һөҙөмтәһе булып, йышлыҡ бүленеше булараҡ, йышлыҡтың өҙлөкһөҙ функцияһы тора. Бер функция икенсеһенә күсә, ә операция үҙе әйләнмәле булып тора. Тәүге функцияның билдәләнеү өлкәһе ваҡыт (t), ә килеп сыҡҡан (финаль) функцияның билдәләнеү өлкәһе йышлыҡ булһа, функцияны үҙгәртеү s(t) f йышлығында түбәндәгесә бирелә:

$S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi ft}\,dt.$

f-тың бөтә ҡиммәттәрендә был дәүмәлде иҫәпләү йышлыҡ өлкәһендә функцияны барлыҡҡа килтерә. Ул саҡта s(t)-ны бөтә мөмкин булған йышлыҡтар өсөн комплекслы экспоненталарҙың яңы комбинацияһы итеп ҡараға мөкин:

$s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{2i\pi ft}\,df,$

Был кире комплекслы һан өсөн формула булып тора, S( f ), унда бер үк ваҡытта f йышлығының амплитудаһы һәм фазаһы инә.

Фурье рәте

Периоды P булған периодлы s_P(t) функцияһының Фурье үҙгәртеүе, Дирак тарағы булған, комплекслы коэффициенттар эҙмә-эҙлелеге менән модуляцияланған функция булып китә:

k бөтөн ҡиммәттәре өсөн, $S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt$, һәм бында ∫_P P оҙонлоғондағы интервал өлкәһендә интеграл булып тора.

Фурье рәте булараҡ билдәле булған кире үҙгәртеү, сикһеҙ һандағы гармониялы бәйләнгән синусоидаларҙың йәки комплекслы экспоненциаль функцияларҙың суммаһы терминдарында s_P(t) күренешендә, уларҙың һәр береһенең түбәндәге коэффициенттарҙың береһе менән бирелгән амплитудаһы һәм фазаһы бар:

$s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{2i\pi {\frac {k}{P}}t}\quad {\stackrel {\displaystyle {\mathcal {F}}}{\Longleftrightarrow }}\quad \sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right).$

Әгәр s_P(t) икенсе s(t) функцияһының периодик суммаһы булараҡ бирелһә:

$s_{P}(t)\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),$

коэффициенттар P дискрет интервалдары өсөн S( f ) элементтарына пропорциональ:

$S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).$

$\int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-2i\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,S\left({\frac {k}{P}}\right)}$

Тик был элементтарҙан (йәғни Фурье рәтенән) s(t)-ны (һәм шулай итеп S( f )-ты) тергеҙеү өсөн, нулдән айырмалы s(t) иҫәпләү башының P оҙонлоғондағы билдәле интервал менән сикләнеүе, Найквист-Шеннондың иҫәпләү башы теоремаһына ярашлы йышлыҡ өлкәһенең икеләтелеүе етерлек шарт булып тора.

Әҙәбиәт

• Conte, S. D.; de Boor, Carl. Elementary Numerical Analysis (инг.). — Third. — New York: McGraw Hill, Inc., 1980. — ISBN 0-07-066228-2.
• Evans, L. Partial Differential Equations (инг.). — American Mathematical Society, 1998. — ISBN 3-540-76124-1.
• Howell, Kenneth B. Principles of Fourier Analysis (инг.). — CRC Press, 2001. — ISBN 978-0-8493-8275-8.
• Kamen, E. W.; Heck, B. S. Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab (инг.). — 2. — Prentiss-Hall, 2000. — ISBN 0-13-017293-6.
• Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming Volume 2: Seminumerical Algorithms (инг.). — 3rd. — Addison-Wesley Professional, 1997. — P. Section 4.3.3.C: Discrete Fourier transforms, pg.305. — ISBN 0-201-89684-2.
• Müller, Meinard. The Fourier Transform in a Nutshell (инг.). — Springer, 2015. — P. In Fundamentals of Music Processing, Section 2.1, p. 40—56. — ISBN 978-3-319-21944-8. — DOI:10.1007/978-3-319-21945-5.
• Polyanin, A. D.; Manzhirov, A. V. Handbook of Integral Equations (инг.). — Boca Raton: CRC Press, 1998. — ISBN 0-8493-2876-4.
• Rudin, Walter. Fourier Analysis on Groups (инг.). — Wiley-Interscience, 1990. — ISBN 0-471-52364-X.
• Smith, Steven W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing (инг.). — Second. — San Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-3-3.
• Stein, E. M.; Weiss, G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces (инг.). — Princeton University Press, 1971. — ISBN 0-691-08078-X.

Һылтанмалар

• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• An Intuitive Explanation of Fourier Theory by Steven Lehar.
• Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Fourier Transform. Lectures 7-15 make use of it., by Alan Peters
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger ∑ Summation (and Fourier Analysis)  (билдәһеҙ). Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham (2009).