Википедия

Фурье рәте: өлгөләр араһындағы айырма

Интерактивная навигация по истории
← Алдағы үҙгәртеүКиләһе үҙгәртеү →
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
ВизуальВикитекст
31 юл:
Фурье рәттәренең математиканың төрлө бүлектәрендә күп һандағы дөйөмләштереүҙәре бар. Мәҫәлән, теләһә ниндәй функцияны сикле төркөмдә, был төркөмдөң килтереп булмай торған матрицалы элементтары буйынса, Фурье рәтенә оҡшаш рәткә тарҡатырға мөмкин ([[тулылыҡ теоремаһы]]).
 
== Тригонометрический рядТригонометрик Фурье рәте ==
{{Основная статья|Тригонометрический рядТригонометрик Фурье рәте}}
 
<math>f\in {\mathcal L}([-\pi,\pi])</math> функцияһының (йәғни, <math>([-\pi,\pi])</math> аралығында [[Лебега интегралы|суммаланыусы]] функцияның, йәки уның ысын тура һыҙыҡҡа периодик дауамының) ''тригонометрик Фурье рәте'' тип түбәндәге күренештәге [[функциональ рәт]] атала
''Тригонометрическим рядом Фурье'' функции <math>f\in {\mathcal L}([-\pi,\pi])</math> (то есть функции, [[Интеграл_Лебега|суммируемой]] на промежутке <math>([-\pi,\pi])</math>, или ее периодического продолжения на вещественную прямую) называют [[функциональный ряд]] вида
 
: <math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),</math> (1)
 
бында
где
 
: <math>a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,</math>
45 юл:
 
: <math>b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,</math>
Числа <math>a_0</math>, <math>a_n</math> иһәм <math>b_n</math> (<math>n = 1, 2, \ldots</math>) называютсяһандары ''коэффициентами Фурье функции <math>f</math>''. ФормулыФурье дляфункцияның нихкоэффициенттары'' можнотип объяснить следующим образоматала. Предположим,Улар чтоөсөн мыформулаларҙы хотимошолай представитьаңлатырға функциюбула. <math>f\in\mathcal{L}([-\pi,\pi])</math> в виде рядафункцияһын (1) икүренештәге намрәт надоитеп определитькүрһәтергә неизвестныетеләйбеҙ коэффициентыһәм беҙгә билдәһеҙ <math>a_0</math>, <math>a_n</math> иһәм <math>b_n</math>. Есликоэффициенттарын умножитьтабырға правуюкәрәк частьикән ти. Әгәр (1) натигеҙлектең уң яғын <math>\cos(kx)</math>-ҡа и проинтегрировать поҡабатлаһаҡ промежуткуһәм <math>[-\pi,\pi]</math>, тоаралығы всебуйынса слагаемыеинтеграллаһаҡ, вуң правойяҡтағы частибөтә ҡушылыусылар, благодарясинустар ортогональностиһәм синусовкосинустарҙың ибыл косинусоваралыҡта наортогональ этомбулыуы промежуткеарҡаһында, обратятсяберәүһенән вбашҡа нуль,нулгә кроме одногоәйләнәләр. ИзКилеп полученногосыҡҡан равенства легко выражается коэффициенттигеҙлектән <math>a_k</math> коэффициенты еңел табыла. АналогичноОҡшаш длярәүештә <math>b_k</math> өсөн.
 
[[Lp арауыҡ#ПL² арауыҡ|<math>\mathcal{L}_2([-\pi,\pi])</math> арауығының]] <math>f</math> функцияһы өсөн (1) рәт был арауыҡта [[Эҙмә-эҙлелек сикләнмәһе|йыйылыусан]]. Икенсе төрлө әйткәндә, әгәр <math>S_k(x)</math> аша (1) рәттең өлөшләтә суммаларын тамғалаһаҡ:
Ряд (1) для функции <math>f</math> из [[Пространство Lp#Пространство L²|пространства <math>\mathcal{L}_2([-\pi,\pi])</math>]] [[Предел последовательности|сходится]] в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через <math>S_k(x)</math> частичные суммы ряда (1):
 
: <math>S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>,
 
ул саҡта уларҙың <math>f</math> функцияһынан [[урта квадратик тайпылышы]] нулгә ынтыласаҡ:
то их [[среднеквадратичное отклонение]] от функции <math>f</math> будет стремиться к нулю:
 
: <math>\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0</math>.
 
Урта квадратик йыйылыусанлыҡҡа ҡарамай, функцияның Фурье рәте, ғөмүмән әйткәндә, уға нөктәләр буйынса йыйылырға бурыслы түгел.
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.
 
Фурье рәттәре менән эшләгәндә йыш ҡына базис сифатында синустар һәм косинустар урынына уйланма аргументтың экспонентаһын алыу уңайлы була. Беҙ комплекслы ҡиммәтле функцияларҙың [[скаляр ҡабатландыҡ|скаляр ҡабатландығы]] менән [[Lp арауыҡ#L² арауыҡ|<math>\mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> арауығын]] ҡарайбыҙ
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем [[Пространство Lp#Пространство L²|пространство <math>\mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math>]] комплекснозначных функций со [[скалярное произведение|скалярным произведением]]
: <math>\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>.
 
Беҙ шулай уҡ
Мы также рассматриваем систему функций
 
:: <math>\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}</math> функциялар системаһын ҡарайбыҙ.
 
Элеккесә, был функциялар пар-пар ортогональ булалар һәм тулы система барлыҡҡа килтерәләр, һәм, шулай итеп, теләһә ниндәй <math>f\in \mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> функцияһы улар буйынса Фурье рәтенә тарҡатылырға мөмкин:
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция <math>f\in \mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> может быть разложена по ним в ряд Фурье:
 
: <math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}</math>,
 
бында уң яҡтағы рәт <math>L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> нормаһы буйынса <math>f</math> функцияһына йыйыла. Бында
где ряд в правой части сходится к <math>f</math> по норме в <math>L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math>. Здесь
 
: <math>\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx</math>.
 
<math>\hat{f}_k</math> коэффициенттары Фурье классик коэффициентары менән артабанғы бәйләнеш менән бәйләнгәндәр:
Коэффициенты <math>\hat{f}_k</math> связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:
: <math>\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0</math>
: <math>\hat{f}_0 = a_0/2</math>
79 юл:
: <math>b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0</math>
 
ДляЫсын вещественнозначнойҡиммәтле функциифункциялар коэффициентыөсөн <math>\hat{f}_k</math> иһәм <math>\hat{f}_{-k}</math> комплекснокоэффициенттары сопряженыкомплекслы эйәртеүле.
 
== Обобщения ==
«https://ba.wikipedia.org/wiki/Фурье_рәте» битенән алынған