|
=== Аналитик үҙсәнлектәре ===
Гиперболик синус һәм гиперболик косинус сикһеҙлектәге [[мөһим айырым нөктә]]нән башҡа бөтә комплекслы яҫылыҡта [[Аналитик функция|аналитик]] функциялар. Гиперболик тангенс <math>z=i\pi(n+1/2)</math> нөктәләрендәге, бында <math>n</math> — бөтөн һан, [[Полюс (комплекслы анализ)|полюстарҙан]] башҡа бөтә урында [[Аналитик функция|аналитик]]. [[Вычет (комплекслы анализ)|Вычеттар]] был бөтә полюстарҙа бергә тигеҙ. Гиперболик котангенс <math>z=i\pi n</math> нөктәләренән башҡа бөтә урында [[Аналитик функция|аналитик]], уның вычеттары был полюстарҙа шулай уҡ бергә тигеҙ.
Гиперболический синус и гиперболический косинус [[Аналитическая функция|аналитичны]] во всей комплексной плоскости, за исключением [[существенно особая точка|существенно особой точки]] на бесконечности. Гиперболический тангенс [[Аналитическая функция|аналитичен]] везде, кроме [[Полюс (комплексный анализ)|полюсов]] в точках <math>z=i\pi(n+1/2)</math>, где <math>n</math> — целое. [[Вычет (комплексный анализ)|Вычеты]] во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс [[Аналитическая функция|аналитичен]] везде, кроме точек <math>z=i\pi n</math>, вычеты его в этих полюсах также равны единице.
== Кире гиперболик функциялар ==
== Обратные гиперболические функции ==
{{main|Кире гиперболик функциялар}}
{{main|Обратные гиперболические функции}}
Икенсе төрлө ареа-функциялар тип аталалар: ярашлы гиперболик функцияларҙың исемдәренә «ареа-» префиксы өҫтәлә — {{lang-la|«area»}} — «майҙан» һүҙенән. Ареа-функцияларҙың мөһим әһәмиәте түбәндәге аңлатмалар менән билдәләнә.
Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от {{lang-la|«area»}} — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.
* <math>\operatorname{arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})</math> — обратныйкире гиперболическийгиперболик синус, ареа-синус.
* <math>\operatorname{arch}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right); x\ge 1</math> — обратныйкире гиперболическийгиперболик косинус, ареа-косинус.
* <math>\operatorname{arth}x=\ln\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}; |x|<1</math> — обратныйкире гиперболическийгиперболик тангенс, ареа-тангенс.
* <math>\operatorname{arcth}x=\ln\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}; |x|> 1</math> — обратныйкире гиперболическийгиперболик котангенс, ареа-котангенс.
* <math>\operatorname{arsch}x=\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}; 0<x\le 1</math> — обратныйкире гиперболическийгиперболик секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение <math>y=-\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}</math> такжесығарылышы удовлетворяетшулай уравнениюуҡ <math>\operatorname{sch} y=x</math>, однакотигеҙләмәһен главныеҡәнәғәтләндереүен значениябилдәләп китәйек, әммә ареа-функцийфункцияларҙың төп ҡиммәттәре бер являютсяҡиммәтле однозначнымифункциялар функциямибулалар.
* <math>\operatorname{arcsch}x=\ln\frac{1+\sgn x\sqrt{1+x^2}}{x}=\left\{\begin{array}{l}\ln\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x},\quad x<0 \\ \ln\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x},\quad x>0\end{array}\right.</math> — обратныйкире гиперболическийгиперболик косеканс, ареа-косеканс.
=== ГрафикиГрафиктар ===
[[Файл:Ареафункции.png|thumb|center|600px|<font color=green>arsh(x)</font>, <font color=red>arch(x)</font>, <font color=black>arth(x)</font>, <font color=orange>arcth(x)</font>]]
Ҡайһы бер кире гиперболик һәм кире тригонометрик функциялар араһында бәйләнеш:
Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:
: <math>\operatorname{Arsh}x=-i\operatorname{Arcsin}(-ix),</math>
: <math>\operatorname{Arcsin} (ix)=-i\operatorname{Arsh}(-x),</math>
гдебында ''i'' — мнимаяуйланма единицаберәмек.
Был функциялар түбәндәге рәттәргә тарҡалалар:
Эти функции имеют следующее разложение в ряд:
: <math>\operatorname{arsh}x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad x<1;</math>
: <math>\operatorname{arth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1.</math>
ВСит зарубежнойил литературеәҙәбиәтендә обратныекире гиперболическиегиперболик функциифункцияларҙы частойыш обозначаютҡына посредствомберенсе знакадәрәжә минус первойтамғаһы степениаша тамғалайҙар: напримермәҫәлән, <math>\operatorname{Arth}\,x</math> пишут как <math>\operatorname{tanh}^{-1}x</math> тип яҙалар (причёмшуның менән бергә <math>(\operatorname{tanh}\,x)^{-1}</math> обозначаетикенсе другуюфункцияның функциютамғаланышы — <math>\operatorname{cth}\,x</math>), иһәм тб. дш.
== ИсторияТарихы ==
ПервоеГиперболик появлениефункцияларҙың гиперболическихберенсе функцийкилеп сығыуын [[историктарихсы]]и обнаружили в трудахлар английскогоинглиз математикаматематигы [[Муавр, Абрахам де|АбрахамаАбрахам де МуавраМуавр]] ([[1707]], [[1722]]). Современноехеҙмәттәрендә күрәләр. определениеХәҙерге ибилдәләмәне обстоятельноеһәм ихуларҙы исследованиеентекле выполнилтикшереүҙе [[Риккати, Винченцо|Винченцо Риккати]] в [[1757 годйыл]]уда башҡара («Opusculorum», том I), оншулай жеуҡ предложилуларҙың ихтамғаланышын обозначениятәҡдим итә: <math>\operatorname{sh}</math>, <math>\operatorname{ch}</math>. Риккати исходилберәмек изгиперболаны рассмотренияҡарауҙан единичной гиперболысығып (см.эш рисунок в разделеитә ([[#ОпределениеБилдәләмә]] бүлегендәге һүрәтте ҡарағыҙ).
[[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганн Ламберт]] ([[1768]]) бәйһеҙ рәүештә гиперболик функцияларҙы аса һәм артабан уларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнә, ул ғәҙәттәге һәм гиперболик тригонометрия формулаларының киң параллеллеген асыҡлай. [[Лобачевский, Николай Иванович|Н. И. Лобачевский]] аҙағыраҡ, [[Евклид булмаған геометрия|Евклид булмаған геометрияның]] [[ҡаршылыҡлы булмауын]] иҫбатларға тырышҡанда, был параллелизмды ҡуллана, унда түңәрәк тригонометрия гиперболиккә алмашынған.
Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено [[Ламберт, Иоганн Генрих|Иоганном Ламбертом]] ([[1768]]), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. [[Лобачевский, Николай Иванович|Н. И. Лобачевский]] впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать [[непротиворечивость]] [[Неевклидова геометрия|неевклидовой геометрии]], в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.
ВГиперболик обозначенияхфункцияларҙың гиперболическихтамғаланышында функцийниндәйҙер утвердилсятөрлөлөк некоторый разнобойнығына. НапримерМәҫәлән, в [[Энциклопедия Брокгауза и Эфрона|ЭнциклопедииБрокгауз Брокгаузаһәм иЭфрон Эфронаэнциклопедияһы]]нда используются обозначения <math>\operatorname{sinhyp}</math>, <math>\operatorname{coshyp}</math>, втамғаланыштары русскоязычнойҡулланыла, литературеурыҫ закрепилисьтелле обозначенияәҙәбиәттә <math>\operatorname{sh}, \operatorname{ch}</math> тамғаланыштары нығына, винглиз англоязычнойтелле закрепилисьәҙәбиәттә <math>\sinh, \cosh</math> тип тамғалана.
== ПрименениеҠулланылышы ==
Гиперболик функциялар йыш ҡына төрлө [[интеграл]]дарҙы иҫәпләгәндә осрай. Ҡайһы бер [[рациональ функция|рациональ функцияларҙың]] һәм радикалдар ингән функцияларҙың интегралдары, гиперболик функцияларҙы ҡулланып [[интегралда үҙгәреүсәнде алмаштырыу|үҙгәреүсәнде алмаштырыу]] ярҙамында, ябай ғына итеп иҫәпләнәләр.
Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных [[интеграл]]ов. Некоторые интегралы от [[рациональная функция|рациональных функций]] и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью [[замена переменных в интеграле|замен переменных]] с использованием гиперболических функций.
Аналогично тому, как матрицы вида <math>\begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix}</math> описываюткүренешендәге поворотыматрицалар двумерногоике үлсәмле [[евклидовоЕвклид пространствоарауығы|евклидоваЕвклид пространстваарауығының]], матрицыборолоштарын тасуирлаған кеүек, <math>\begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix}</math> описываютматрицалары поворотыиң вябай простейшемике двумерномүлсәмле [[пространствоМинковский Минковского|пространстве Минковскогоарауығы]].нда Вборолоштарҙы связитасуирлайҙар. сОшоноң этимменән гиперболическиебәйле функциигиперболик частофункциялар встречаютсяйыш вҡына [[специальнаямахсус теориясағыштырмалыҡ относительноститеорияһы|теориисағыштырмалыҡ относительноститеорияһында]] осрайҙар.
Үҙенең остарынан ирекле рәүештә эленеп ҡуйған бер үлсәмле арҡан йәки сынйыр <math>y=a\,\mathop{\mathrm{ch}}\\frac{x}{a}</math> функцияһының графигы формаһын ала (ошоноң менән бәйле гиперболик косинустың графигын ҡайһы берҙә ''[[Сынйырлы һыҙыҡ|сынйырлы һыҙыҡ]]'' тип атайҙар). Был хәл [[арка|аркаларҙы]] проектирләгәндә ҡулланыла, сөнки арканың әйләндерелгән сынйырлы һыҙыҡ формаһы ауырлыҡты иң ныҡ эффективлы бүлә.
Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции <math>y=a\,\mathop{\mathrm{ch}}\,\frac{x}{a}</math> (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют ''[[Цепная линия|цепной линией]]''). Это обстоятельство используется при проектировании [[арка|арок]], поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.
== Әҙәбиәт ==
| 