Сикләмә (математика)

Сикләмә — математик анализдың төп төшөнсәләренең береһе. Эҙмә-эҙлелек сикләмәһен һәм функция сикләмәһен айырып ҡарайҙар.

Сикләмә төшөнсәһе интуитив кимәлдә XVII быуаттың икенсе яртыһында уҡ Ньютон, шулай уҡ Эйлер һәм Лагранж кеүек XVIII быуат математиктары тарафынан ҡулланыла. Эҙмә-эҙлелек сикләмәһенең беренсе ҡәтғи билдәләмәләрен Больцано 1816 йылда һәм Коши 1821 йылда бирәләр.

Тарихы

Төп сығанаҡ:

Сикләмәле күсеү тураһында интуитив төшөнсә Боронғо Греция ғалимдары тарафынан төрлө геометрик фигураларҙың майҙандарын һәм күләмдәрен иҫәпләгәндә ҡулланылған. Бындай мәсьәләләрҙе сығарыу ысулдарын нигеҙҙә Архимед үҫтерә.

XVII быуат математикаһының дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәһен төҙөгәндә (һәм, барыһынан элек, Ньютон) шулай уҡ асыҡтан-асыҡ йәки асыҡтан-асыҡ түгел, сикләмәле күсеү төшөнсәһен ҡулланғандар. Беренсе тапҡыр сикләмә төшөнсәһенең билдәләмәһе Валлистың «Арифметика бесконечных величин» (XVII быуат) хеҙмәтендә индерелә, әммә тарихи был төшөнсә дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмә нигеҙендә ятмай.

Тик XIX быуатта Коши хеҙмәттәрендә сикләмәләр теорияһы математик анализды ҡәтғи нигеҙләү өсөн ҡулланыла. Сикләмәләр теорияһын артабан эшләү менән Вейерштрасс һәм Больцано шөғөлләнә.

Сикләмәләр теорияһы ярҙамында XIX быуаттың икенсе яртыһында, айырым алғанда, яңы функцияларҙы төҙөү өсөн уңайлы аппарат булып киткән сикһеҙ рәттәр анализында ҡулланыу нигеҙләнә.

Эҙмә-эҙлелек сикләмәһе

Эҙмә-эҙлелек сикләмәһе тип, эҙмә-эҙлелектең быуындары ынтылған йәки номеры үҫә барған һайын яҡынайған объектты атайҙар.

$a$ һаны $x_{1},x_{2},...,x_{n},...$ эҙмә-эҙлелегенең сикләмәһе тип атала , әгәр

$\forall$ $\epsilon >0$ , $\exists$ $N(\epsilon )$ , $\forall$ $n>N(\epsilon )$: $|x_{n}-a|<\epsilon$ булһа.

Эҙмә-эҙлелек сикләмәһе $\lim _{n\to +\infty }x_{n}$ тип тамғалана. $n$ ҡайҙа ынтылғанын күрһәтмәҫкә мөмкин, сөнки $n$ $\in \mathbb {N}$, ул тик $+\infty$-кә генә ынтылырға мөмкин.

Үҙсәнлектәре:

• Әгәр эҙмә-эҙлелектең сикләмәһе булһа, ул саҡта ул берҙән бер.
• $\lim c=c$ $,c-const$
• $\lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}$ (әгәр ике сикләмә лә булһа)
• $\lim(qx_{n})=q\lim x_{n}$ $,q-const$
• $\lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}$ (әгәр ике сикләмә лә булһа)
• $\lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}$ (әгәр ике сикләмә лә булһа һәм уң яҡтың знаменателе ноль булмаһа)
• Әгәр $a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n$ һәм $\lim a_{n}=\lim b_{n}$ булһа, ул саҡта $\lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}$ («ҡыҫылған эҙмә-эҙлелек тураһында» теорема, шулай уҡ «ике милиционер тураһында теорема» булараҡ билдәле)

Функция сикләмәһе

Аргументы сикһеҙлеккә ынтылғанда сикләмәһе $L$-ға тигеҙ булған функция графигы.

Әгәр $x$-тың $x_{0}$ -гә яҡын бөтә ҡиммәттәре өсөн $f(x)$ ҡиммәте $A$-ға яҡын булһа, $f(x)$ функцияһының $x_{0}$ нөктәһендә сикләмәһе $A$-ға тигеҙ.

Әгәр $\forall \epsilon >0$ өсөн $\forall x,0<|x-a|<\delta$ булғанда $|f(x)-b|<\epsilon$ тигеҙһеҙлеге үтәлерлек шундай $\delta >0$ һаны булһа, b һаны f(x) функцияһының a нөктәһендә сикләмәһе тип атала.

Функция сикләмәләре өсөн эҙмә-эҙлелек сикләмәһенекенә оҡшаш үҙсәнлектәр үтәлә, мәҫәлән, $\lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)$, әгәр бөтә быуындары ла булһа.

Эҙмә-эҙлелек сикләмәһе төшөнсәһен дөйөмләштереү

$X$ — $U$ тирә-яҡ (окрестность) төшөнсәһе бирелгән ниндәйҙер күмәклек булһын, ти (мәҫәлән, метрик арауыҡ). $x_{i}\in X$ — был арауыҡтың нөктәләре (элементтары) эҙмә-эҙлелеге икән, ти. Әгәр $x$ нөктәһенең теләһә ниндәй тирә-яғында эҙмә-эҙлелектең бөтәһе лә тиерлек быуындары ятһалар, йәғни $\forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)$, $x\in X$ был эҙмә-эҙлелектең сикләмәһе тип әйтәләр.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Өлөшләтә сикләмә
• Бик шәп сикләмәләр
• Фундаменталь эҙмә-эҙлелек
• Рәт
• Сикләмәләрҙең билдәһеҙлеге
• Сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдәрҙе сағыштырыу
• Эҙмә-эҙлелек
• Сикләмәләр теҙеме
• Ультрасикләмә