Гаусс ысулы: өлгөләр араһындағы айырма
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
Таңһылыу (фекер алышыу | өлөш) |
Таңһылыу (фекер алышыу | өлөш) |
||
19 юл:
Башта бирелгән система ошондай күренештә булһын, ти:
: <math>\left\{\begin{array}{lcr}
a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\
\ldots & & \\
26 юл:
</math>
Уны [[Матрица (математика)|матрицалы]] күренештә яҙырға мөмкин:
: <math>Ax = b,</math>
бында
: <math>A=\left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & \ldots & a_{1n}\\
\ldots & & \\
34 юл:
\end{array}\right),\quad x = \left( \begin{array}{c}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right), \quad b = \left( \begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right).\quad (1)</math>
<math>A</math> матрицаһы системаның төп матрицаһы тип атала, <math>b</math>
Ул саҡта, юлдар өҫтөндә [[матрицаны элементар үҙгәртеүҙәр|элементар үҙгәртеүҙәр]]
: <math>\left\{\begin{array}{rcl}
\alpha_{1j_1}x_{j_1}+\alpha_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{1j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{1j_n}x_{j_n} &=& \beta_1 \\
\alpha_{2j_2}x_{j_2}+\ldots+\alpha_{2j_r}x_{j_r}+\ldots+\alpha_{2j_n}x_{j_n} &=& \beta_2 \\
49 юл:
бында <math>\alpha_{1j_1},\ldots,\alpha_{rj_r}\neq 0.</math>
Был ваҡытта,
Ул саҡта <math>x_{j_1},\ldots,x_{j_r}</math> үҙгәреүсәндәре ''төп
Әгәр бер генә һан булһа ла <math>\beta_i\neq 0</math> булһа, бында <math>i > r</math>, ул саҡта бирелгән система [[Һыҙыҡлы алгебраик тигеҙләмәләр системаһы|уртаҡ түгел]], йәғни уның бер генә лә сығарылышы юҡ.
Теләһә ниндәй <math>i > r</math> өсөн <math>\beta_i = 0</math> булһын.
: <math>\left\{\begin{array}{rcc}
x_{j_1}+\widehat{\alpha}_{1j_2}x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{1j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_1-\widehat{\alpha}_{1j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{1j_n}x_{j_n} \\
x_{j_2}+\ldots+\widehat{\alpha}_{2j_r}x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_2-\widehat{\alpha}_{2j_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{2j_n}x_{j_n} \\
&\ldots& \\
x_{j_r}&=& \widehat{\beta}_r-\widehat{\alpha}_{rj_{r+1}}x_{j_{r+1}}-\ldots- \widehat{\alpha}_{rj_n}x_{j_n} \\
\end{array}\right., \qquad \widehat{\beta}_i=\frac{\beta_i}{\alpha_{ij_i}},\quad \widehat{\alpha}_{ij_k}=\frac{\alpha_{ij_k}}{\alpha_{ij_i}}\quad (2)</math>, <br
где <math>i=1,\ldots,r,\quad k=i+1,\ldots,n.</math>
69 юл:
{{message box |backgroundcolor = white |image =Logo_arte.jpg |size = 50px| heading=Следствия:|message=
1: Әгәр уртаҡ системала бөтә үҙгәреүсәндәр ҙә төп үҙгәреүсән булһа, бындай система аныҡ тип атала. <br
2: Әгәр системала үҙгәреүсәндәр һаны тигеҙләмәләр һанынан артып китһә, ул саҡта бындай система йә аныҡ булмаған була, йә уртаҡ түгел.}}
75 юл:
Бөтә <math>i > r</math> өсөн юғарыла телгә алынған <math>\beta_i= 0</math> шарты уртаҡлыҡтың кәрәкле һәм етерлек шарты сифатында әйтеп бирелергә мөмкин:
Иҫкә төшөрәбеҙ, уртаҡ системаның рангы тип уның төп матрицаһының рангы атала (йәки киңәйтелгән
{{message box |backgroundcolor = white |image =Logo_arte.jpg |size = 50px| heading=[[Кронекер — Капелли теоремаһы]].|message=
[[ҺАТС|Система]] уртаҡ шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уның төп матрицаһының [[матрица рангы|рангы]] уның киңәйтелгән матрицаһының рангына тигеҙ булһа. <br
'''Эҙемтә:''' <br
* Төп үҙгәреүсәндәр һаны системаның рангына тигеҙ һәм уның сығарылышына бәйле түгел.
* Әгәр уртаҡ системаның рангы был системаның үҙгәреүсәндәр һанына тигеҙ булһа, шул саҡта ул аныҡ була.}}
89 юл:
[[ҺАТС]] сығарыу өсөн Гаусса алгоритмы ике этапҡа бүленә.
* Беренсе этапта тура йөрөш тормошҡа ашырыла, юлдар өҫтөндә [[матрицаны элементар үҙгәртеүҙәр|элементар үҙгәртеүҙәр]] юлы менән системаны һикәлтәле йәки [[Өсмөйөшлө матрица|өсмөйөшлө формаға]] килтерәләр, йәки система уртаҡ түгел икәнен асыҡлайҙар. Атап әйткәндә, матрицаның беренсе бағанаһының элементтары араһында нулдән айырмалыһын һайлап алалар, уны юлдарҙы алмаштырып ҡуйып өҫтәге иң ситтәге урынға күсерәләр һәм алмаштырып ҡуйғандан һуң килеп сыҡҡан беренсе юлды, һәр юлдың беренсе элементының беренсе юлдың беренсе элементына сағыштырмаһына тигеҙ булған дәүмәлгә ҡабатлап, ҡалған юлдарҙан алалар, шуның менән уның аҫтындағы бағананы нулгә әйләндерәләр. Был үҙгәртеү башҡарылғандан һуң, беренсе юлды һәм беренсе бағананы күңелдән генә сыйып ташлайҙар һәм шундай үҙгәртеүҙәрҙе нуль үлсәмле матрица ҡалғанға тиклем дауам итәләр. Әгәр итерацияларҙың ҡайһыһындалыр беренсе бағананың элементтары араһында нулдән айырмалы элемент булмаһа, артабанғы бағанаға күсәләр һәм шундай уҡ операцияны башҡаралар.
* Икенсе этапта кире йөрөш тормошҡа ашырыла, уның асылы, бөтә килеп сыҡҡан базислы үҙгәреүсәндәрҙе базислы булмағандар аша күрһәтеүҙән һәм [[сығарылыштарҙың фундаменталь системаһы]]н төҙөүҙән, йәки, әгәр бөтә үҙгәреүсәндәр ҙә базислы булһалар, һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системаһының берҙән бер сығарылышын һанлы күренештә күрһәтеүҙән ғибәрәт. Был процедура һуңғы тигеҙләмәнән башлана, унан ярашлы базислы үҙгәреүсәнде (ә ул унда берәү генә) табалар һәм алдағы тигеҙләмәгә ҡуялар, һәм шулай артабан, «һикәлтәләр» буйлап өҫкә күтәрелеп дауам итәләр. Һәр юлға теүәл бер базислы үҙгәреүсән ярашлы, шуға күрә һәр аҙымда, һуңғыһынан башҡа (иң өҫтәге),
Гаусс ысулы арифметик операцияларҙың <math>O(n^{3})</math> булыуын талап итә.
120 юл:
=== МИҫал ===
<!-- Әгәр һеҙҙең был миҫал буйынса шикләнеүҙәрегеҙ булһа, фекерләшеү битендә яҙығыҙ. Правки цифер без пояснения будут откачены не глядя.
Нисек Гаусс ысулы менән системаны сығарырға мөмкин икәнен күрһәтәбеҙ:
: <math>\left\{\begin{array}{ccc}2x + y - z &=& 8 \\
140 юл:
Һөҙөмтәлә беҙ бирелгән системаны [[өсмөйөшлө матрица|өсмөйөшлө күренешкә]] килтерҙек, шуның менән алгоритмдың беренсе этабын тамамланыҡ.
Икенсе этапта килеп сыҡҡан тигеҙләмәләрҙе кире тәртиптә сығарабыҙ. Табабыҙ: <br
: <math>z = -1</math> өсөнсөнән;
: <math>y = 3</math> табылған <math>z</math>-те ҡуйып, икенсе тигеҙләмәнән
147 юл:
Шулай итеп баштағы система сығарылды.
Уртаҡ системала тигеҙләмәр һаны билдәһеҙҙәр һанынан кәм булған осраҡта, яуап [[
== Ҡулланылышы һәм модификациялары ==
| |||