Википедия

Векторлы арауыҡ: өлгөләр араһындағы айырма

Интерактивная навигация по истории
Киләһе үҙгәртеү →
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
ВизуальВикитекст
"{{Значения|Арауыҡ}} {{Перенаправление|Һыҙыҡлы арауыҡ}} '''Ве́кторлы''' (йәки '''һыҙы..." исемле яңы бит булдырылған
 
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
26 юл:
 
== Иң ябай үҙсәнлектәре ==
# Векторлы арауыҡ ҡушыу буйынса [[Абель төркөмө]] була.
# Векторное пространство является [[абелева группа|абелевой группой]] по сложению.
# НейтральныйНейтраль элемент <math>\mathbf{0} \in V</math> являетсяберҙән единственнымбер,был чтотөркөмдәр вытекаетүҙсәнлегенән изкилеп групповых свойствсыға.
# Теләһә ниндәй <math> 0\cdot\mathbf{x} = \mathbf{0}in V</math> для любогоөсөн <math> 0\cdot\mathbf{x} = \inmathbf{0} V</math>.
# ДляТеләһә любогониндәй <math>\mathbf{x} \in V</math> противоположныйөсөн ҡапма-ҡаршы элемент <math>-\mathbf{x} \in V</math> являетсяберҙән единственнымбер,был что вытекаеттөркөмдәр изүҙсәнлегенән групповыхкилеп свойствсыға.
# Теләһә ниндәй <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}in V</math> для любогоөсөн <math>1\cdot\mathbf{x} \in= V\mathbf{x}</math> .
# Теләһә ниндәй <math>\alpha \in F</math> һәм <math>\mathbf{x} \in V</math> өсөн <math>(-\alpha)\cdot\mathbf{x} = \alpha\cdot(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})</math> для любых <math>\alpha \in F</math> и <math>\mathbf{x} \in V</math>.
# Теләһә ниндәй <math>\alpha \in F</math> өсөн <math> \alpha\cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}</math> для любого <math>\alpha \in F</math>.
 
== Бәйле билдәләмәләр һәм үҙсәнлектәр ==
== Связанные определения и свойства ==
 
=== ПодпространствоАҫарауыҡ ===
Алгебраик билдәләмә:
Алгебраическое определение:
'''Һыҙыҡлы аҫарауыҡ''' йәки '''векторлы аҫарауыҡ''' ― <math>V</math> һыҙыҡлы арауығының шундай буш булмаған <math>K</math> аҫарауығы, бында <math>K</math> <math>V</math>-та билдәләнгән ҡушыу һәм скалярға ҡабатлау операцияларына ҡарата үҙе арауыҡ булып тора. Бөтә аҫарауыҡтар күмәклеге ғәҙәттә <math>\mathrm{Lat}(V)</math> тип тамғалана. Аҫкүмәклек аҫарауыҡ булһын өсөн түбәндәге шарттарҙың үтәлеүе кәрәк һәм етерлек:
'''Линейное подпространство''' или '''векторное подпространство''' ― непустое подмножество <math>K</math> линейного пространства <math>V</math> такое, что <math>K</math> само является линейным пространством по отношению к определенным в <math>V</math> действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как <math>\mathrm{Lat}(V)</math>. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
# для всякого вектораһәр <math>\mathbf{x}\in K</math> векторвекторы өсөн <math>\alpha\mathbf{x}in F</math>-ның такжетеләһә принадлежалниндәй ҡиммәтендә лә <math>K\alpha\mathbf{x}</math> привекторы любомла <math>\alpha\in FK</math>-ға инә;
# длятеләһә всяких векторовниндәй <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K</math> векторвекторҙары өсөн <math>\mathbf{x}+\mathbf{y}</math> такжевекторы принадлежалшулай уҡ <math>K</math>-ға инә.
Һуңғы ике раҫлау түбәндәге раҫлауға эквивалентлы:
Последние два утверждения эквивалентны следующему:
: длятеләһә всяких векторовниндәй <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K</math> векторвекторҙары өсөн <math>\alpha, \beta \in F</math>-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә <math>\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}</math> такжевекторы принадлежалшулай уҡ <math>K</math>-ға для любых <math>\alpha, \beta \in F</math>инә.
Атап әйткәндә, тик бер нуль векторҙан торған векторлы арауыҡ, теләһә ниндәй арауыҡтың аҫарауығы була; теләһә ниндәй арауыҡ үҙенең аҫарауығы була. Был ике аҫарауыҡ менән тап килмәгән аҫарауыҡтар ''үҙ'' йәки ''тривиаль булмаған'' аҫарауыҡтар тип аталалар.
В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют ''собственными'' или ''нетривиальными''.
 
==== Аҫарауыҡтарҙың үҙсәнлектәре ====
==== Свойства подпространств ====
* Теләһә ниндәй аҫарауыҡтар ғаиләһе киҫелеше — яңынан аҫарауыҡ;
* Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
* <math>\{K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N\}</math> аҫарауыҡтарының суммаһы <math>K_i</math>-ҙың бөтә мөмкин булған элементтар суммаһынан торған күмәклек булараҡ билдәләнә:
* Сумма подпространств <math>\{K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N\}</math> определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов <math>K_i</math>:
*: <math>\sum_{i=1}^N {K_i}:= \{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \ldots + \mathbf{x}_N\quad|\quad \mathbf{x}_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)\}</math>.
** Аҫарауыҡтарҙың сикле ғаиләләре суммаһы — яңынан аҫарауыҡ.
** Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.
 
=== Һыҙыҡлы комбинациялар ===
=== Линейные комбинации ===
Конечная сумма вида
: <math>\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n</math>▼
называется{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=8}} '''[[Линейная комбинация|линейной комбинацией]]''' элементов <math>\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in V</math> с коэффициентами <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in F</math>.
 
▲: <math>\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n</math> күренешендәге сикле сумма
В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек [[аффинное пространство|аффинного пространства]]).
{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=8}} <math>\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in V</math> элементтарының <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in F</math> коэффициенттары менән '''[[Һыҙыҡлы комбинация|һыҙыҡлы комбинацияһы]]''' тип атала.
 
Ысынбарлыҡта был билдәләмә (һәм түбәндә килтерелгән) векторҙар комбинацияларына ғына түгел, ә шундай суммаларҙың мәғәнәһе булған теләһә ниндәй башҡа объекттарҙың комбинацияларына ҡулланыла ала (мәҫәлән, [[аффинлы арауыҡ|аффинлы арауыҡтың]] нөктәләр комбинацияларына).
Линейная комбинация называется:
 
* '''нетривиальной''', если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
Һыҙыҡлы комбинация атала:
* '''барицентрической''', если сумма её коэффициентов равна 1{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=198}},
* '''тривиаль булмаған''' тип, әгәр уның коэффициенттарының береһе булһа ла нулдән айырмалы булһа.
* '''выпуклой''', если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
* '''барицентрик''' тип, әгәр уның коэффициенттарының суммаһы 1-гә тигеҙ булһа{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=198}},
* '''ҡабарынҡы''' тип, әгәр уның коэффициенттарының суммаһы 1-гә тигеҙ булһа һәм бөтә коэффициенттар тиҫкәре булмаһа,
* '''сбалансированной''', если сумма её коэффициентов равна 0.
 
=== Базис. РазмерностьҮлсәнеш ===
Векторы <math>\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n</math> векторҙары называются{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=16}} '''линейноһыҙыҡлы зависимымибәйле''' тип аталалар, еслиәгәр существуетуларҙың ихнулгә нетривиальнаятигеҙ линейнаябулған комбинация,тривиаль булмаған һыҙыҡлы равнаякомбинацияһы нулюбулһа:
: <math>\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n = \mathbf{0}, \quad \ |\alpha_1| + |\alpha_2| + \ldots + |\alpha_n| \neq 0.</math>
Кире осраҡта был векторҙар '''һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ''' тип аталалар.
В противном случае эти векторы называются '''линейно независимыми'''.
 
Был билдәләмә шундай дөйөмләштереүҙе рөхсәт итә: бесконечное множествоов из <math>V</math> арауығынан векторҙарҙың сикһеҙ күмәклеге '''һыҙыҡлы бәйле''' тип атала, әгәр уның ниндәйҙер ''сикле'' аҫкүмәклеге һыҙыҡлы бәйле булһа, һәм '''һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ''' тип атала, әгәр уның теләһә ниндәй ''сикле'' аҫкүмәклеге һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ булһа.
Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из <math>V</math> называется '''линейно зависимым''', если линейно зависимо некоторое ''конечное'' его подмножество, и '''линейно независимым''', если любое его ''конечное'' подмножество линейно независимо.
 
Векторлы арауыҡтың максималь һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ элементтар күмәклегенең элементтары һаны ([[Күмәклектең ҡеүәте|ҡеүәте]]){{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=14}} был күмәклекте һайлауға бәйле түгел икәнен күрһәтергә мөмкин. Был һан арауыҡтың '''рангы''', йәки '''үлсәнеше''' тип атала, ә был күмәклек үҙе — '''[[базис]]''' (''Га́мель базисы'' йәки ''һыҙыҡлы базис'') тип атала. Базистың элементытарын '''базислы векторҙар''' тип атайҙар. Арауыҡтың үлсәнеше йыш ҡына <math>{\rm dim}</math> символы менән тамғалана.
Можно показать{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=14}}, что число элементов ([[Мощность множества|мощность]]) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется '''рангом''', или '''размерностью''', пространства, а само это множество — '''[[базис]]ом''' (''базисом Га́меля'' или ''линейным базисом''). Элементы базиса именуют '''базисными векторами'''. Размерность пространства чаще всего обозначается символом <math>{\rm dim}</math>.
 
Шулай итеп, векторлы арауыҡтың үлсәме йә тиҫкәре булмаған бөтөн һан була (айырым алғанда, нулгә тигеҙ, әгәр арауыҡ бер генә нуль векторҙан торһа), йәки сикһеҙлек була (теүәлерәк әйткәндә, сикһеҙ күмәклектең ҡеүәте). Беренсе осраҡта векторлы арауыҡ ''сикле үлсәмле'', ә икенсе осраҡта — ''сикһеҙ үлсәмле'' була (мәҫәлән, [[өҙлөкһөҙ функциялар арауығы]] сикһеҙ үлсәмле була). Традиция булараҡ, сикле үлсәмле векторлы арауыҡтарҙы һәм [[Һыҙыҡлы сағылыш|уларҙың сағылыштарын]] өйрәнеү [[Һыҙыҡлы алгебра|һыҙыҡлы алгебраға]] ҡарай, ә сикһеҙ үлсәмле векторлы арауыҡтарҙы өйрәнеү — [[Функциональ анализ|функциональ анализға]] ҡарай. Икенсе осраҡта бирелгән элементтың бирелгән сикһеҙ функциялар системаһы буйынса тарҡалыусанлығы мәсьәләһе һиҙелерлек роль уйнай, йәғни ярашлы сикһеҙ суммаларҙың [[Эҙмә-эҙлелек сикләмәһе|йыйылыусанлығы]], бының өсөн сикһеҙ үлсәмле векторлы арауыҡ ыйылыусанлыҡты билдәләргә мөмкинлек биреүсе өҫтәлмә структура менән бергә ҡарала, мәҫәлән, [[Метрик арауыҡ|метрика]] йәки [[Топологик арауыҡ|топология]] менән.
Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется ''конечномерным'', а во втором — ''бесконечномерным'' (например, бесконечномерным является [[пространство непрерывных функций]]). Традиционно, изучение конечномерных векторных пространств и [[Линейное отображение|их отображений]] относится к [[линейная алгебра|линейной алгебре]], а изучение бесконечномерных векторных пространств — к [[Функциональный анализ|функциональному анализу]]. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о [[Предел последовательности|сходимости]] соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с [[Метрическое пространство|метрикой]] или [[Топологическое пространство|топологией]].
 
Базис үҙсәнлектәре:
Свойства базиса:
* <math>n</math>-үлсәмле арауыҡтың теләһә ниндәй <math>n</math> һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ элементтары был арауыҡтың ''базисын'' төҙөй.
* Любые <math>n</math> линейно независимых элементов <math>n</math>-мерного пространства образуют ''базис'' этого пространства.
* Теләһә ниндәй <math>\mathbf{x} \in V</math> векторын (берҙән бер рәүештә) базислы элементтарҙың сикле һыҙыҡлы комбинацияһы күренешендә күрһәтергә мөмкин:
* Любой вектор <math>\mathbf{x} \in V</math> можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:
 
:: <math>\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n</math>.
 
=== ЛинейнаяҺыҙыҡлы оболочкакөплөк ===
'''Линейная оболочка''' <math>\mathcal V(X)</math> подмножества <math>X</math> линейного пространства <math>V</math> — пересечение всех подпространств <math>V</math>, содержащих <math>X</math>.
 
100 юл:
 
== Өҫтәлмә структуралар ==
* [[Нормалаштырылған векторлы арауыҡ]]
* [[Нормированное векторное пространство]]
* [[Метрическое векторноевекторлы пространствоарауыҡ]]
* [[Топологическое векторноевекторлы пространствоарауыҡ]]
* [[Евклид арауығы]]
* [[Евклидово пространство]]
* [[Минковский арауығы]]
* [[Пространство Минковского]]
* [[Гильберт арауығы]]
* [[Гильбертово пространство]]
 
== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
«https://ba.wikipedia.org/wiki/Векторлы_арауыҡ» битенән алынған