|
Арауыҡ өс үҙ-ара перпендикуляр координаталар яҫылығы менә бүленгән һигеҙ өлкәнең һәр береһе [[октант]] тип атала.
== Күп үлсәмле арауыҡта тура мөйөшлө координаталар системаһы ==
== Прямоугольная система координат в многомерном пространстве ==
Тура мөйөшлө координаталар системаһы [[Күп үлсәмле арауыҡ|теләһә ниндәй сикле үлсәмле арауыҡта]] ла, өс үлсәмле арауыҡтағыға оҡшаш рәүештә ҡулланылырға мөмкин. Координаталар күсәрҙәренең һаны [[Арауыҡ үлсәме|арауыҡ үлсәменә]] тигеҙ була (был параграфта уны <math>n</math> тип тамғаларбыҙ).
Прямоугольная система координат может быть использована и в [[Многомерное пространство|пространстве любой конечной размерности]] аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Количество координатных осей при этом равно [[Размерность пространства|размерности пространства]] (в этом параграфе будем обозначать её <math>n</math>).
ДляКоординаталарҙы обозначениятамғалау координатөсөн обычноғәҙәттә<ref>Но не обязательно: вопрос обозначений в конечном итоге определяется конкретным приложением.</ref> применяюттөрлә не разныехәрефтәр буквыҡулланмайҙар, аә однубер иүк тухәрефте жеһанлы буквуиндекс сменән числовым индексомҡулланалар. Чаще всегоЙышыраҡ этобыл:
:<math>x_1, x_2, x_3,\dots x_n.</math>
Был йыйылманан ирекле <math>i</math>-нсы координатаны тамғалау өсөн:
Для обозначения произвольной <math>i</math>-й координаты из этого набора используют буквенный индекс:
:<math>x_i,</math> индекслы хәреф ҡулланыла,
аә нередкойыш обозначениеҡына <math>x_i,</math> используюттамғалауын ибөтә дляйыйылманы обозначениятамғалау всегоөсөн набораҡулланалар, подразумевая, чтобында индекс пробегает весь набор значенийбөтә: <math>i = 1, 2, 3, \dots n</math> ҡиммәттәр йыйылмаһын урап сыға тип күҙаллана.
ВАрауыҡтың любойтеләһә размерностининдәй пространстваүлсәмендә прямоугольныетура координатныемөйөшлө системыкоординаталар делятсясистемаһы наике двакласҡа классабүленә, правыеуң иһәм левыеһул (илийәки положительныеыңғай иһәм отрицательныетиҫкәре). ДляКүп многомерныхүлсәмле пространстварауыҡтар какую-тоөсөн однуниндәй изҙә координатныхбулһа систембер произвольнокоординаталар системаһын ирекле рәүештә (условношартлы рәүештә) называютуң правойтип атайҙар, аә остальныеҡалғандарын, оказываютсяулар правымишул илиуҡ левымийүнәлешлеме вйәки зависимоститүгелме отбулыуына того,бәйле тойрәүештә, жеуң онийәки ориентацииһул илитип нетатайҙар<ref>Это можно выяснить, исходя из того, можно ли какими-то вращениями (и переносами, если не совпадают начала координат) совместить данную координатную систему с той, ориентация которой правая по определению. Если да, то данная система считается правой, если нет, то левой. Еще проще технически это выяснить через знак [[определитель|определителя]] [[матрица преобразования|матрицы преобразования]] от правого базиса к данному.</ref>.
ОбобщениеИке понятийүлсәмле двумерногоквадрант квадрантаһәм иөс трёхмерногоүлсәмле октантаоктант длятөшөнсәләренең <math>n</math>-мерногоүлсәмле евклидоваЕвклид пространстваарауығы өсөн дөйөмләштерелгән төшөнсәһе — [[ортант]] илийәки гипероктант.
== Векторҙың тура мөйөшлө координаталары ==
== Прямоугольные координаты вектора ==
Для определения прямоугольных ''координат [[Вектор (математика)|вектораВекторҙың]] тура мөйөшлө координаталарын'' билдәләү өсөн (применимыхтеләһә дляниндәй представленияүлсәмле вектороввекторҙарҙы любойкүрһәтеү размерности)өсөн можноҡулланып исходитьбула) изшулай тогоитәләр, чтобашы координатыкоординаталар векторабашында булған векторҙың (направленногойүнәлешле отрезкакиҫектең), началокоординаталары которого находится в начале координат,уның совпадаютосоноң скоординаталары координатамименән еготап концакилә<ref>Конец направленного отрезка — точка; прямоугольные координаты точки рассмотрены в статье выше.</ref>.
* Шулай итеп, мәҫәлән, 1-се һүрәттә <math>(x,y)</math> координаталары <math>\vec{OA}</math> ''векторының координаталары'' була.
* Таким образом, например, координаты <math>(x,y)</math> на рис.1 являются ''координатами вектора'' <math>\vec{OA}</math>.
Башы координаталар башы менән тап килмәгән векторҙар (йүнәлешле киҫектәр) өсөн тура мөйөшлө координаталарҙы ике ысулдың береһе менән билдәләргә мөмкин:
Для векторов (направленных отрезков), начало которых не совпадает с началом координат, прямоугольные координаты можно определить одним из двух способов:
# Векторҙы башы координаталар башы менән тап килерлек итеп [[Параллель күсереү|күсерергә]] мөмкин. Ул саҡта векторҙың координаталары параграф башында һүрәтләнгән ысул менән билдәләнә: башы координаталар башы менән тап килерлек итеп күсерелгән векторҙың координаталары - уның осоноң координаталары.
# Вектор можно [[Параллельный перенос|перенести]] так, чтобы его начало совпало с началом координат). Тогда его координаты определяются способом, описанным в начале параграфа: координаты вектора, перенесенного так, что его начало совпадает с началом координат, - это координаты его конца.
# Бының урынына векторҙың (йүнәлешле киҫектең) осоноң координаталарынан уның башының координаталарын алырға мөмкин.
# Вместо этого можно просто вычесть из координат конца вектора (направленного отрезка) координаты его начала.
* Тура мөйөшлө координаталар өсөн векторҙың координаталары төшөнсәһе векторҙың ярашлы координаталар күсәре йүнәлешенә [[Проекция (геометрия)#Тура һыҙыҡҡа һәм йүнәлешкә ортогональ проекция|ортогональ проекцияһы]] төшөнсәһе менән тап килә.
* Для прямоугольных координат понятие координаты вектора совпадает с понятием [[Проекция (геометрия)#Ортогональная проекция на прямую и на направление|ортогональной проекции]] вектора на направление соответствующей координатной оси.
Тура мөйөшлө координаталарҙа векторҙар өҫтөндәге бөтә ғәмәлдәрҙе бик ябай яҙып була:
В прямоугольных координатах очень просто записываются все операции над векторами:
* Ҡушыу һәм скалярға ҡабатлау:
* Сложение и умножение на скаляр:
:: <math>\mathbf a + \mathbf b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3, \dots, a_n + b_n)</math>
йәки
или
:: <math>(\mathbf a + \mathbf b)_i = a_i + b_i,</math>
:: <math>c\ \mathbf a = (c\ a_1, c\ a_2, c\ a_3, \dots, c\ a_n)</math>
йәки
или
:: <math>(c\ \mathbf a)_i = c\ a_i.</math>
:һәм ошонан сығып алыу һәм бүлеү:
:а отсюда и вычитание и деление:
:: <math>\mathbf a - \mathbf b = (a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3, \dots, a_n - b_n)</math>
йәки
или
:: <math>(\mathbf a - \mathbf b)_i = a_i - b_i,</math>
:: <math>\frac{\mathbf a}{\lambda} = \Big(\frac{a_1}{\lambda}, \frac{a_2}{\lambda}, \frac{a_3}{\lambda}, \dots, \frac{a_n}{\lambda}\Big)</math>
йәки
или
:: <math>\Big(\frac{\mathbf a}{\lambda}\Big)_i = \frac{a_i}{\lambda}.</math>
(Был теләһә ниндәй ''n'' үлсәме өсөн дөрөҫ, тура мөйөшлө координаталар менән бер рәттән,ҡыя мөйөшлө координаталар өсөн дә).
(Это верно для любой размерности ''n'' и даже, наравне с прямоугольными, для косоугольных координат).
* [[Скаляр ҡабатландыҡ]]:
* [[Скалярное произведение]]:
:: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 + \dots + a_n b_n</math>
йәки
или
:: <math>\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i,</math>
(Тик бөтә күсәрҙәрендә берәмек масштаблы тура мөйөшлө координаталарҙа).
(Только в прямоугольных координатах с единичным масштабом по всем осям).
* Скаляр ҡабатландыҡ аша векторҙың оҙонлоғон иҫәпләргә була
* Через скалярное произведение можно вычислить длину вектора
:: <math>|\mathbf a| = \sqrt{\mathbf a\cdot\mathbf a}</math>
:: һәм векторҙар араһындағы мөйөштө
:: и угол между векторами
:: <math>\angle{(\mathbf a, \mathbf b)} =
\mathrm{arccos}\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|\cdot|\mathbf b|}</math>
* [[Тышҡы ҡабатландыҡ]]:
* [[Внешнее произведение]]:
:: <math>(\mathbf a \and \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i</math>
арауыҡтың теләһә ниндәй үлсәме өсөн,
для любой размерности пространства,
* [[Вектор ҡабатландыҡ]] (тик ул билдәләнгән өс үлсәмле арауыҡ өсөн генә):
* [[Векторное произведение]] (только для трехмерного же пространства, на котором оно и определено):
:: <math>(\mathbf a \times \mathbf b)_x = a_y b_z - a_z b_y</math>
:: <math>(\mathbf a \times \mathbf b)_y = a_z b_x - a_x b_z</math>
:: <math>(\mathbf a \times \mathbf b)_z = a_x b_y - a_y b_x</math>
Күренеүенсә, былар бөтәһе, кәрәк булһа, векторҙар өҫтөндәге бөтә ғәмәлдәрҙе һандар өҫтөндәге ябай ғәмәлдәргә ҡайтарып ҡалдырырға мөмкинлдек бирә.
Очевидно, всё это позволяет, если надо, свести все операции над векторами к достаточно простым операциям над числами.
== ОртыОрттар ==
Прямоугольная Тура системамөйөшлө координаткоординаталар системаһы<ref>В этом параграфе будем подразумевать обычную декартову систему координат, то есть прямоугольную систему координат с одинаковым масштабом по всем осям; рассмотрение систем координат с разным масштабом по разным осям внесло бы здесь неоправданные формальные усложнения при довольно малом выигрыше содержательном отношении.</ref> (любойтеләһә размерностининдәй үлсәмле) такжешулай описываетсяуҡ<ref>Это описание очевидно полностью эквивалентно обычному заданию осей координат, надо только еще задать начало координат (последнее нередко очевидно по умолчанию).</ref> наборомкоординаталар күсәрҙәре менән бер йүнәлешле [[ЕдиничныйБерәмек вектор|ортоворттар]] (единичныхберәмек вектороввекторҙар), сонаправленныхйыйылмаһы сменән осями координатһүрәтләнә. КоличествоОрттар ортовһаны равнокоординаталар размерностисистемаһының системыүлсәменә координаттигеҙ иһәм всеулар онибөтәһе перпендикулярнылә другбер другубереһенә перпендикуляр. ТакиеБындай орты составляюторттар [[базис]] төҙөй, притомшуның менән бергә [[ОртонормированныйОртонормалаштырылған базис|ортонормированныйортонормалаштырылған]]<ref>При отказе от условия равномасштабности координатных осей — просто [[ортогональный базис]].</ref>.
Өс үлсәмле арауыҡ осрағында бындай орттар ғәҙәттә
В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются
:<math>\mathbf{i}</math>, <math>\mathbf{j}</math> иһәм <math>\mathbf{k}</math> тип
йәки
или
:<math>\mathbf{e}_x</math>, <math>\mathbf{e}_y</math> и <math>\mathbf{e}_z</math> тип тамғаланалар.
МогутШулай такжеуҡ применятьсяуҡ обозначенияменән сотамғалау стрелкамиҡулланылырға мөмкин (<math>\vec{i}</math>, <math>\vec{j}</math> иһәм <math>\vec{k}</math> илийәки <math>\vec{e}_x</math>, <math>\vec{e}_y</math> иһәм <math>\vec{e}_z</math>) или другиейәки втеге соответствиийәки сбыл обычнымәҙәбиәттә способомҡулланылған обозначенияғәҙәттәге вектороввектор втамғалау тойысулына илиярашлы инойбашҡа литературетамғалауҙар.
Шуның менән бергә, уң координаталар системаһы осрағында орттарҙы [[Вектор ҡабатлау|вектор ҡабатлау]] өсөн түбәндәге формулалар дөрөҫ:
При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с [[Векторное произведение|векторными произведениями]] ортов:
* <math>[\mathbf{i}\,,\mathbf{j}]=\mathbf{k};</math>
* <math>[\mathbf{j}\,,\mathbf{k}]=\mathbf{i};</math>
* <math>[\mathbf{k}\,,\mathbf{i}]=\mathbf{j}.</math>
Для3-тән болееҙурыраҡ высоких,үлсәмдәр чем 3, размерностейөсөн (илийәки дляүлсәм общеготеләһә случая,ниндәй когдабулырға размерностьмөмкин можетбулған бытьдөйөм любойосраҡта) обычноғәҙәттә дляорттар ортовөсөн применяютһанлы вместоиндекслы этогобыл обозначениятамғалауҙар с числовыми индексами,урынына достаточнойыш частоҡына<ref>Впрочем, вместо буквы '''e''' нередко могут быть использованы и другие буквы. Как правило, это явно оговорено.</ref> этоҡулланалар
:<math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3,\dots \mathbf{e}_n,</math>
бында ''n'' - арауыҡ үлсәме.
где ''n'' - размерность пространства.
Теләһә ниндәй үлсәмле вектор базис буйынса тарҡала (координаталары тарҡалма коэффициенттары булып тора):
Вектор любой размерности раскладывается по базису (координаты служат коэффициентами разложения):
:: <math>\mathbf a = a_1\mathbf e_1 + a_2\mathbf e_2 + a_3\mathbf e_3 + \dots + a_n\mathbf e_n</math>
йәки
или
:: <math>\mathbf a = \sum\limits_{i=1}^n a_i\mathbf e_i,</math>
ә ортонормалаштырылған базис өсөн координаталарҙы орттар менән скаляр ҡабатландыҡ аша бик еңел табырға мөмкин:
а для ортонормированного базиса координаты еще и очень легко найти через скалярные произведения с ортами:
:: <math>a_i = \mathbf a \cdot \mathbf e_i.</math>
| 