Бөтөн һан: өлгөләр араһындағы айырма

Ҡабатлауҙың тәүге дүрт үҙсәнлеге <math>\mathbb{Z}</math> күмәклегенең ҡабатлау буйынса коммутативлы моноид булыуы тураһында һөйләй. Әммә шуны билдәләп китергә кәрәк, һәр бөтөн һандың ҡабатлау буйынса ҡапма-ҡаршы һаны юҡ, мәҫәлән, <math>\mathbb{Z}</math> күмәклегендә 2x = 1 булырлыҡ x һаны юҡ, сөнки тигеҙләмәнең һул яғы йоп, ә уң яғы таҡ. Ошонан сығып, <math>\mathbb{Z}</math> ҡабатлау буйынса төркөм булмай, шулай уҡ ялан булмай. Бөтөн һандар ингән иң бәләкәй ялан — рациональ һандар күмәклеге (<math>\mathbb{Q}</math>).

Таблицалағы бөтә үҙсәнлектәр барыһы бергә, <math>\mathbb{Z}</math> ҡушыуға һәм ҡабатлауға ҡарата берәмеге булған коммутатив балдаҡ булыуын аңлата.

теләһә ниндәй бөтөн ''a'' һәм ''b'' өсөн <math>b \not= 0</math>, a = bq + r һәм <math>0 \le r < |b|</math>, бында |''b''| — ''b'' һанының абсолют дәүмәле (модуле) булырлыҡ берҙән-бер ''q'' һәм ''r'' бөтөн һандар йыйылмаһы бар. Бында ''a'' — бүленеүсе, ''b'' — бүлеүсе, ''q'' — бүлендек, ''r'' — ҡалдыҡ.

Ике бөтөн һандың иң ҙур уртаҡ бүлеүсеһен табыу өсөн Евклид алгоритмы ошо ғәмәлгә нигеҙләнгән.