Голоморфлы функция

Голоморфлы функция, ортогональ селтәрҙе шундай уҡ ортогональ селтәргә үҙгәртеп, конформлы сағылыш башҡара (комплекслы сығарылма нулгә әйләнмәгән урында).

Голоморфлы функция, ҡайһы берҙә регуляр функция тип атала — $\mathbb {C}$ комплекслы яҫылыҡтың асыҡ аҫкүмәклегендә бирелгән һәм һәр нөктәлә комплекслы дифференциалланыусы булған комплекслы үҙгәреүсәнле функция.

Ысын үҙгәреүсәнле функция осрағынан айырмалы рәүештә, был шарт, функция сикһеҙ дифференциалланыусы була һәм уға йыйылыусан Тейлор рәте менән күрһәтелә ала тигәнде аңлата.

Голоморф функцияларҙы шулай уҡ ҡайһы берҙә аналитик тип атайҙар, шулай булһа ла икенсе төшөнсә күпкә киңерәк, сөнки аналитик функцияларҙың комплекслы һандар күмәклегендә бирелеүе мотлаҡ түгел. Комплекслы үҙгәреүсәнле комплекслы ҡиммәтле функциялар өсөн голоморфлы һәм аналитик функциялар күмәклеге тап килеү факты, комплекслы анализдың тривиаль булмаған һәм бик мөһим нәтижәһе булып тора.

Билдәләмә

$U$ — $\mathbb {C}$ күмәклегенең асыҡ аҫкүмәклеге һәм $f:U\to \mathbb {C}$ — $U$ күмәклегендә комплекслы ҡиммәтле функция булһын.

• Әгәр

  $f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$ сикләнмәһе булһа, $f$ функцияһын $z_{0}\in U$ нөктәһендә комплекслы дифференциалланыусы тип атайҙар.

  • Был аңлатмала сикләнмә комплекслы һандарҙың $z_{0}$-ға йыйылған бөтә эҙмә-эҙлелектәре буйынса алына, шундай бөтә эҙмә-эҙлелектәр өсөн аңлатма бер үк $f'(z_{0})$ һанына йыйылырға тейеш. Комплекслы дифференциаллау күп яҡтан ысын дифференциаллауға оҡшаған: ул һыҙыҡлы һәм Лейбниц тождествоһын ҡәнәғәтләндерә.
• $f$ функцияһын, әгәр ул $U$-ның һәр нөктәһендә комплекслы дифференциалланыусы булһа, $U$-ла голоморфлы тип атайҙар.
• $f$ функцияһын, әгәр ул $z_{0}$ нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында комплекслы дифференциалланыусы булһа, $z_{0}\in U$-ҙа голоморфлы тип атайҙар .

Икенсе билдәләмә

Голоморфлы функция билдәләмәһенә, түбәндәге ҡағиҙәләр буйынса бирелгән ${\frac {\partial }{\partial z}}$ һәм ${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$ операторҙарын ҡулланып, бер аҙ икенсе күренеш бирергә була

${\frac {\partial }{\partial z}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),$

${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={1 \over 2}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),$

бында $z=x+iy$. Ул саҡта $f$ функцияһы голоморфлы тип атала, әгәр

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$ булһа,

был Коши — Риман шарттарына эквивалентлы.

Бәйле билдәләмәләр

• Бөтөн функция — бөтә комплекслы яҫылыҡта голоморфлы функция.
• Мероморфлы функция — $\Omega /\{{z_{i}},\;i\in I\}$ өлкәһендә голоморфлы һәм үҙенең бөтә ғәҙәттәге $z_{i}$ нөктәләрендә полюсы булған функция.
• Әгәр $K$ компакты ингән һәм $f$ $D$-ла голоморфлы булған шундай $D$ асыҡ күмәклеге булһа, $f$ функцияһы $K$ компактында голоморфлы тип атала.

Үҙсәнлектәре

• Комплекслы функция $u+iv=f(x+iy)$ голоморфлы була шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр Коши — Риман шарттары үтәлһә.

  ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}};\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

һәм ${\frac {\partial u}{\partial x}},\;{\frac {\partial u}{\partial y}},\;{\frac {\partial v}{\partial x}},\;{\frac {\partial v}{\partial y}}$ айырым сығарылмалары өҙлөкһөҙ булһа.

• Голоморфлы функцияларҙың суммаһы һәм ҡабатландығы — голоморфлы функция, был дифференциаллауҙың һыҙыҡлы булыуынан һәм Лейбниц ҡағиҙәләре үтәлеүҙән килеп сыға. Голоморфлы функцияларҙың бүлендеге лә шулай уҡ знаменатель 0-гә тигеҙ булмаған бөтә нөктәләрҙә голоморфлы.
• Голоморфлы функцияларҙың сығарылмаһы йәнә голоморфлы була, шуға күрә голоморфлы функциялар үҙҙәренең билдәләнеү өлкәһендә сикһеҙ дифференциалланыусы булалар.
• Голоморфлы функциялар аналитик булалар, йәғни һәр нөктәнең ниндәйҙер эргә-яғында йыйылыусан Тейлор рәте күренешендә күрһәтелә алалар. Шулай итеп, комплекслы үҙгәреүсәнле комплекслы функциялар өсөн голоморфлы һәм аналитик функциялар күмәклектәре тап киләләр.
• Теләһә ниндәй голоморфлы функциянан уның ысын һәм уйланма өлөшөн айырырға мөмкин, уларҙың һәр береһе $\mathbb {R} ^{2}$-лә Лаплас тигеҙләмәһенең сығарылышы була. Йәғни әгәр $f(x+iy)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ — голоморфлы функция булһа, ул саҡта $u$ һәм $v$ — гармоник функциялар.
• Әгәр голоморфлы функцияның абсолют дәүмәле үҙенең билдәләнеү өлкәһенең эске нөктәһендә локаль максимумына ирешһә, функция даими (билдәләнеү өлкәһе төҙөк тип күҙаллана). Бынан, голоморфлы функцияның абсолют дәүмәле максимумына (һәм минимумына, әгәр ул нулгә тигеҙ булмаһа) тик өлкәнең сигендә генә ирешә ала.
• Голоморфлы функцияның беренсе сығарылмаһы 0-гә әйләнмәгән өлкәлә, ә функция бер битле, ул конформлы сағылыш башҡара.
• Кошиҙың интеграль формулаһы функцияның өлкәнең эске нөктәһендәге ҡиммәтен уның был өлкәнең сигендәге ҡиммәте менән бәйләй.
• Алгебраик ҡараштан сығып, асыҡ күмәклектә голоморфлы функциялар күмәклеге — ул коммутатив ҡулса һәм комплекслы һыҙыҡлы арауыҡ. Был компактлы аҫкүмәклектәрҙә супремумға тигеҙ булған ярым норма менән локаль ҡабарынҡы топологик векторлы арауыҡ.
• Вейерштрасс теоремаһына ярашлы, әгәр голоморфлы функциялар рәте $D$ өлкәһендә $D$-лағы теләһә ниндәй компактта тигеҙ йыйылһа, ул саҡта уның суммаһы шулай у голоморфлы, шуның менән бергә уның сығарылмаһы рәттең өлөшсә суммалары сығарылмаларының сикләнмәһе була.

Тарихы

«Голоморфлы функция» термины Кошиҙың ике уҡыусыһы, Брио (1817—1882) һәм Буке (1819—1895) тарафынан индерелгән, һәм őλoς (холос) грек һүҙҙәренән алынған, «бөтөн», һәм μoρφń (морфе) — форма, күренеш тигән мәғәнәлә

Бөгөнгө көндә күп математиктар «аналитик функция» урынына «голоморфлы функция» терминына өҫтөнлөк бирәләр, сөнки икенсе төшөнсә дөйөмөрәк. Бынан тыш, теләһә ниндәй голоморфлы функцияның аналитик булыуы комплекслы анализдың иң мөһим нәтижәләренең береһе булып тора, был билдәләмәнән асыҡ күренеп тормай. «Аналитик» терминын ғәҙәттә мотлаҡ комплеклы яҫылыҡта бирелмәгән дөйөмөрәк функциялар өсөн ҡулланалар.

Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

Күп үлсәмле осраҡ

Шулай уҡ күп комплекслы үҙгәреүсәнле функцияларҙың голоморфлыҡ билдәләмәһе бар

$f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} .$

Билдәләмә биреү өсөн бындай функцияларҙың $\mathbb {C}$-дифференциалланыусанлыҡ һәм $\mathbb {C}$-һыҙыҡлылыҡ төшөнсәләре ҡулланыла.

С-һыҙыҡлылыҡ

$f$ функцияһы $\mathbb {C}$-һыҙыҡлы тип атала, әгәр түбәндәге шарттар ҡәнәғәтләндерелһә:

• $f(z'+z'')=f(z')+f(z''),\quad z',\;z''\in \mathbb {C} ^{n}$.
• $f(\lambda z)=\lambda f(z),\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad \lambda \in \mathbb {C}$

($\mathbb {R}$-һыҙыҡлы функциялар өсөн $\lambda \in \mathbb {R}$).

• Теләһә ниндәй $\mathbb {R}$-һыҙыҡлы $f$ функцияһы өсөн шундай $\{a_{n}\},\;\{b_{n}\}\subset \mathbb {C}$ эҙмә-эҙлелектәр бар, бында $f=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}z_{i}+b_{i}{\bar {z}}_{i})$.
• Теләһә ниндәй $\mathbb {C}$-һыҙыҡлы $f$ функцияһы өсөн шундай $\{a_{n}\}\subset \mathbb {C}$ эҙмә-эҙлелек бар, бында $f=\sum _{i=1}^{n}a_{i}z_{i}$.

С-дифференциалланыусанлыҡ

$f$ функцияһы $z\in \mathbb {C} ^{n}$ нөктәһендә $\mathbb {C}$-дифференциалланыусы тип атала, әгәр шундай $l$ һәм $o$ функциялары булһа, бында $z$ нөктәһенең тирә-яғында

$f(z+h)=f(z)+l(h)+o(h),\quad \lim _{h\to 0}{\frac {o(h)}{h}}=0,$

бында $l$ — $\mathbb {C}$-һыҙыҡлы ($\mathbb {R}$-дифференциалланыусанлыҡ өсөн — $\mathbb {R}$-һыҙыҡлы) функция.

Голоморфлыҡ

$f$ функцияһы $D$ өлкәһендә голоморфлы тип атала, әгәр ул был өлкәнең һәр нөктәһенең тирә-яғында $\mathbb {C}$-дифференциалланыусы булһа.

Әҙәбиәт

• Голоморфная функция // Брокгауз һәм Ефрондың энциклопедик һүҙлеге: 86 томда (82 т. һәм 4 өҫтәмә том). — СПб., 1890—1907. (рус.)
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Ҡаршы голоморфлы функция
• Вычет