Буш күмәклек

Буш күмәклек (Математикала) — бер элементы ла булмаған күмәклек. Күләмлелек аксиомаһынан бындай үҙсәнлеккә эйә булған бер генә күмәклек булыуы килеп сыға. Буш күмәклек үҙенең (тылҡылған) аҫкүмәклеге булып тора, ләкин үҙенең элементы түгел. Буш күмәклек сикле күмәклек һәм бөтә күмәклектәр араһында ҡеүәте иң бәләкәй булғаны. Буш күмәклек — ҡеүәте буйынса уға тигеҙ булған күмәклектәр класы бер генә элементтан торған (буш күмәклектең үҙенән) берҙән бер күмәклек. Шулай уҡ буш күмәклек — теүәл бер аҫкүмәклеге (үҙенә-үҙе) булған берҙән-бер күмәклек, һәм үҙенең теләһә ниндәй аҫкүмәклегенә тиң ҡеүәтле булған берҙән-бер күмәклек.

Буш күмәклек тривиаль рәүештә хәл ителмәле (тимәк, һанап сыҡмалы һәм арифметик), транзитив һәм тулыһынса тәртипкә һалынған күмәклек (теләһә ниндәй тәртип мөнәсәбәте өсөн). Буш күмәклек иң бәләкәй тәртип һаны һәм иң бәләкәй кардиналь һан булып тора. Топологияла буш күмәклек бер үк ваҡытта йомоҡ һәм асыҡ күмәклек. $\in$ - ирекле күмәклектән башланыусы, артабанғы һәр элементы алдан килеүсенең элементы булып торған сынйыр, ул һәр саҡ сикле һандағы аҙымдан һуң буш күмәклек менән тамамлана (даимилыҡ аксиомаһын ҡара). Шулай итеп, буш күмәклек, ҡалған бөтә күмәклектәр төҙөлгән «төҙөүсе кирбес» булып тора. Ҡайһы бер күмәклектәр теорияһы билдәләмәләрендә буш күмәклектең булыуы постулат итеп алына (буш күмәклек аксиомаһын ҡара), икенселәрендә — иҫбат ителә. Буш күмәклек математикала сиктән тыш мөһим роль уйнай.^[1]

Буш күмәклекте тамғалау

Оҡшаш хәрефтәр (Диаметр)

Ғәҙәттә буш күмәклекте $\varnothing$ , $\emptyset$ йәки $\{\}$ тип тамғалайҙар. Һирәгерәк буш күмәклекте $0$ һәм $\Lambda$ символдарының береһе менән тамғалайҙар. Юникодта махсус «буш күмәклек» тамғаһы бар: (U+2205, ∅). $\varnothing$ һәм $\emptyset$ символдарын 1939 йылда Бурбаки төркөмө (атап әйткәндә, Андре Вейль) ҡулланыуға индерҙе.

$\varnothing$ символы дат-норвег алфавитында Ø хәрефе менән бер төрлө^[2].

Буш күмәклектең үҙсәнлектәре

Бер күмәклек тә буш күмәклектең элементы булмай. Икенсе төрлө әйткәндә, $\forall a\ (a\notin \varnothing )$ һәм, айырым осраҡта, $\varnothing \notin \varnothing$ .
Буш күмәклек теләһә ниндәй күмәклектең аҫкүмәклеге була. Икенсе төрлө әйткәндә, $\forall a\ (\varnothing \subseteq a)$ һәм, айырым осраҡта, $\varnothing \subseteq \varnothing$ .
Буш күмәклектең теләһә ниндәй күмәклек менән берекмәһе һуңғы [күрһәтелгән күмәклеккә] тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, $\forall a\ (\varnothing \cup a=a)$ һәм, айырым осраҡта, $\varnothing \cup \varnothing =\varnothing$ .
Буш күмәклектең теләһә ниндәй күмәклек менән киҫелеше буш күмәклеккә тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, $\forall a\ (\varnothing \cap a=\varnothing )$ һәм, айырым осраҡта, $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing$ .
Теләһә ниндәй күмәклектең үҙенең тултырыусыһы менән киҫелеше буш күмәклеккә тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, $\forall a\ (a\cap {\overline {a}}=\varnothing )$ .
Теләһә ниндәй күмәклек менән буш күмәклектең айырмаһы һуңғы [күрһәтелгән күмәклеккә] тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, $\forall a\ (a\setminus \varnothing =a)$ һәм, айырым осраҡта, $\varnothing \setminus \varnothing =\varnothing$ .
Буш күмәклек менән теләһә ниндәй күмәклектең айырмаһы буш күмәклеккә тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, $\forall a\ (\varnothing \setminus a=\varnothing )$ һәм, айырым осраҡта, $\varnothing \setminus \varnothing =\varnothing$ .
Буш күмәклектең теләһә ниндәй күмәклек менән симметрик айырмаһы һуңғы [күрһәтелгән күмәклеккә] тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, $\forall a\ (\varnothing \triangle a=a\ \land \ a\triangle \varnothing =a)$ һәм, айырым осраҡта, $\varnothing \triangle \varnothing =\varnothing$
Буш күмәклектең теләһә ниндәй күмәклеккә декарт ҡабатландығы буш күмәклеккә тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, $\forall a\ (\varnothing \times a=\varnothing \ \land \ a\times \varnothing =\varnothing )$ һәм, айырым осраҡта, $\varnothing \times \varnothing =\varnothing$ .
Буш күмәклек — транзитив. Икенсе төрлө әйткәндә, $\mathrm {Trans} (\varnothing )$ , бында $\mathrm {Trans} (\varnothing )\Leftrightarrow \forall b\ (b\in \varnothing \to b\subseteq \varnothing )$ .
Буш күмәклек — ординал. Икенсе төрлө әйткәндә, $\mathrm {Ord} (\varnothing )$ , бында $\mathrm {Ord} (\varnothing )\Leftrightarrow \mathrm {Trans} (\varnothing )\ \land \ \forall b\ (b\in \varnothing \to \mathrm {Trans} (b))$ .
Буш күмәклектең ҡеүәте нулгә тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, $|\varnothing |=0$ .
Буш күмәклектең үлсәме нулгә тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, $\mu (\varnothing )=0$

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Буш күмәклек аксиомаһы
Күмәклек теорияһы аксиоматикаһы

Иҫкәрмәләр

↑
Если — как это и предполагается в нашей системе — члены любого множества также суть множества (в том числе пустое множество), а не индивиды, то само собой разумеется, что единственным первичным конституентом…любого множества оказывается пустое множество.
Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — С. 117.
↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (ингл.). — Күмәклек теорияһы һәм логика сиволдарының барлыҡҡа килеү тарихы. Дата обращения: 28 сентябрь 2010. Архивировано 22 август 2011 года.

Әҙәбиәт

Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Мир, 1968. — 231 с.
Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. — М.: МАИ, 1992. — 264 с. — ISBN 5-7035-0157-X.

[1] 
Если — как это и предполагается в нашей системе — члены любого множества также суть множества (в том числе пустое множество), а не индивиды, то само собой разумеется, что единственным первичным конституентом…любого множества оказывается пустое множество.
Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — С. 117.

[2] Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (ингл.). — Күмәклек теорияһы һәм логика сиволдарының барлыҡҡа килеү тарихы. Дата обращения: 28 сентябрь 2010. Архивировано 22 август 2011 года.

[1]

[2]