Күпбыуын

$n$ үҙгәреүсәнле күпбыуын (йәки грек. πολυ- – күп + лат. nomen – исем полино́м) — ул бербыуындар суммаһы, йәки, $\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ күренешендәге сикле формаль сумма,

7-се дәрәжә күпбыуын графигы .

бында

• $I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$ — мультииндекс тип аталыусы бөтөн тиҫкәре булмаған һандар йыйылмаһы,
• $c_{I}$ — күпбыуындың коэффициенты тип аталыусы, тик мультииндекс I-гә генә бәйле һан.

Айырым осраҡта, бер үҙгәреүсәнле күпбыуын ул : $c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m}$ күренешендәге сикле формаль сумма, бында

• $c_{i}$ — коэффициенттар,
• $x$ — үҙгәреүсән.

Күпбыуын төшөнсәһе ярҙамында алгебраик тигеҙләмә һәм алгебраик функция төшөнсәләре индерелә.

Өйрәнеү һәм ҡулланыу

График многочленов Бернулли

Полиномиаль тигеҙләмәләрҙе һәм уларҙың сығарылышын өйрәнеү «классик алгебраның» төп объектын тәшкил итә тип әйтеп була. Математикала бик күп үҙгәртеп ҡороуҙар күпбыуындарҙы өйрәнеү менән бәйле: нуль һанын , тиҫкәре һандарҙы, ә аҙаҡ комплекслы һандарҙы индереү, шулай уҡ математиканың айырым бүлеге булараҡ группалар теорияһының барлыҡҡа килеүе һәм анализда махсус функциялар класының бүленеп сығыуы. Функцияларҙың ҡатмарлыраҡ кластары менән сағыштырғанда, күпбыуындар менән бәйле иҫәпләүҙәр техник яҡтан бик ябай. Күпбыуындар күмәклеге евклид киңлегенең компактлы аҫкүмәклегендә өҙлөкһөҙ функциялар киңлегендә тығыҙ (см. Вейерштрастың аппроксимацион теоремаһы). Ошо факттар математик анализда рәттәргәтарҡатыу методтарының һәм полиномиаль интерполяцияның үҫешенә булышлыҡ итте. Күпбыуындар шулай уҡ,объекты булып күпбыуындар системаһының сығарылышы тип билдәләнгән күмәклектәр торған алгебраик геометрияла төп ролде уйнайҙар. Күпбыуындарҙы ҡабатлағанда коэффициенттар үҙгәреүенең үҙенә бер төрлө үҙсәнлектәре алгебраик геометрияла, алгебрала, төйөндәр теорияһында һәм математиканың башҡа бүлектәрендә төрлө объекттарҙың үҙсәнлектәрен кодлау йәки күпбыуындар аша күрһәтеү өсөн ҡулланыла.

Бәйле билдәләмәләр

• $cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ күренешендәге күпбыуын бербыуын' йәки ' $I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})$ мультииндексының мономы тип атала.
• $I=(0,\dots ,\,0)$ мультииндексына ярашлы бербыуын ирекле быуын тип атала.
• (Нуль булмаған) $c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ бербыуынының тулы дәрәжәһе тип $|I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$ бөтөн һаны атала.
• $c_{I}$ коэффициенттары нуль булмаған I мультииндекстар күмәклеге күпбыуын вәкиле тип, ә уның ҡабарынҡы тышлығы — Ньютон күпҡыры тип атала.
• Күпбыуындың дәрәжәһе тип уның бербыуындарының иң ҙур дәрәжәһе атала. Тождестволы нулдең дәрәжәһе $-\infty$ ҡиммәте менән тулыландырылып билдәләнә..
• Ике мономдың суммаһы булған күпбыуын икебыуын йәки бином тип атала.
• Өс мономдың суммаһы булған күпбыуын өсбыуын тип атала. Күпбыуындың коэффициенттары ғәҙәттә билдәле бер коммутатив балдаҡтан $R$ алына (йышыраҡ өлкәләрҙән, мәҫәлән, ысын һандар йәки комплекслы һандар өлкәһенән). Был осраҡта ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата күпбыуындар $R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}].$ тип тамғаланған балдаҡ (улай ғына түгел, нуль бүлеүселәреһеҙ ассоциатив-коммутатив $R$ балдаҡ өҫтөндә алгебра) төҙөйҙәр.

Полиномиаль функциялар

$A$ - $R$ балдағы өҫтөндә алгебра булһын, ти. Ирекле $p(x)\in R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$ күпбыуыны : $p_{R}:A\to A$ полиномиаль функцияны билдәләй. Йышыраҡ $A=R$ осрағын ҡарайҙар. $R$ - ысын һандар йәки комплекслы һандар өлкәһе (шулай уҡ сикһеҙ күп элементы булған теләһә ниндәй башҡа өлкә) булған осраҡта, $f_{p}:R^{n}\to R$ функцияһы тулыһынса p күпбыуынын билдәләй. Әммә дөйөм осраҡта был дөрөҫ түгел, мәҫәлән: $\mathbb {Z} _{2}[x]$-тан $p_{1}(x)\equiv x$ һәм $p_{2}(x)\equiv x^{2}$ күпбыуындары тождестволы тигеҙ функцияларҙы билдәләй $\mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{2}$.

Күпбыуын төрҙәре

• Бер үҙгәреүсәнле күпбыуындың өлкән коэффициенты 1-гә тигеҙ булһа, ул унитар, нормалаштырылған йәки килтерелгән^[en] тип атала.
• Бөтә быуындары ла бер үк тулы дәрәжәлә булған күпбыуын бер төрҙәге күпбыуын тип атала.
  • Мәҫәлән, $x^{2}+xy+y^{2}$ — ике үҙгәреүсәнле бер төр күпбыуын, ә $x^{2}+y+1$ бер төр булмай.
• Әгәр күпбыуынды коэффициенттары бирелгән өлкәнән булған түбәнерәк дәрәжәләге күпбыуындарҙың ҡабатландығы рәүешендә күрһәтеп булһа, ул килтерелмәле (бирелгән өлкәлә) тип атала, кире осраҡта — килтерелмәле түгел.

Үҙсәнлектәре

• Ирекле бөтөнлөк өлкәһе өҫтөнән күпбыуындар балдағы үҙе бөтөнлөк өлкәһе булып тора.
• Теләһә ниндәй факториаль балдаҡ өҫтөнән теләһә ниндәй сикле һандағы үҙгәреүсәнле күпбыуындар балдағы үҙе факториаль була.
• Өлкә өҫтөндә бер үҙгәреүсәнле күпбыуындар балдағы төп идеалдар балдағы була, йәғни уның теләһә ҡайһы идеалы бер элемент тарафынан тыуҙырылырға мөмкин.
  • Улай ғына түгел, өлкә өҫтөндә бер үҙгәреүсәнле күпбыуындар балдағы евклид балдағы була.

Бүленеүсәнлек

Күпбыуындар балдағында килтерелмәгән күпбыуындар бөтөн һандар балдағында ябай һандар тотҡан ролгә оҡшаш роль уйнайҙар. Мәҫәлән, ошо теорема дөрөҫ: Әгәр $pq$ ҡабатландығы $\lambda$ килтерелмәгән күпбыуынға бүленһә,ул саҡта p йәки q $\lambda$-ға бүленә. Дәрәжәһе нулдән юғары булған һәр күпбыуын бирелгән өлкәлә килтерелмәгән күпбыуындар ҡабатландығына бер генә ысул менән тарҡатыла (нуленсе дәрәжә ҡабатлашыусыларға тиклем аныҡлыҡ менән). Мәҫәлән, рациональ һандар өлкәһендә килтерелмәгән $x^{4}-2$ күпбыуыны, ысын һандар өлкәһендә өс ҡабатлашыусыға һәм комплекслы һандар өлкәһендә дүрт ҡабатлашыусыға тарҡала. Ғөмүмән алғанда, бер үҙгәреүсәнле һәр күпбыуын $x$ ысын һандар өлкәһендә беренсе һәм икенсе дәрәжә ҡабатлашыусыларға, комплекслы һандар өлкәһендә беренсе дәрәжә ҡабатлашыусыларға тарҡала (алгебраның төп теоремаһы).

Ике һәм күберәк һандағы үҙгәреүсәндәр өсөн был раҫлау дөрөҫ түгел. Теләһә ниндәй өлкә өҫтөндә ирекле $n>2$ өсөн, был өлкәне теләһә нисек киңәйткәндә лә килтерелмәгән $n$ үҙгәреүсәнле күпбыуындар була. Бындай күпбыуындар абсолют килтерелмәгән күпбыуын тип аталалар.

Төрҙәре һәм дөйөмләштереү

• Билдәләмәлә тиҫкәре дәрәжәләрҙең дә булыуын фараз иткәндә, килеп сыҡҡан объект Лоран күпбыуыны тип атала(ҡара. Лоран рәте).
• Квазикүпбыуын
• Тригонометрик күпбыуын

Шулай уҡ ҡарағыҙ

• Грёбнер базисы
• Позином
• Сплайн
• Гаусс — Лукас теоремаһы

Әҙәбиәт

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.
• Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.
• Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

Һылтанмалар

• Многочлен / А. И. Маркушевич // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.