Арифметика: өлгөләр араһындағы айырма

Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
һайланған мәҡәлә
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
1 юл:
{{Һайланған мәҡәлә}}
[[Файл:Arithmetria.jpg|thumb|right|200px|Арифметика<br>''[[Бехам, Ганс Себальд|Ганс Себальд Бехам]]'', XVI быуат]]
'''Арифме́тика''' ({{lang-grc|ἀριθμητική|arithmētikḗ}} — {{lang-grc2|ἀριθμός|arithmṓs}} «һан» һүҙенән) — [[математика|математиканың]] [[Һан|һандарҙы]], улар араһындағы [[Бәйләнеш (күмәклектәр теорияһы)|бәйләнеште]] һәм үҙсәнлектәрен өйрәнеүсе бүлеге. Арифметиканың өйрәнеү предметы булып һандар ([[Натураль һан|натураль]], [[Бөтөн һан|бөтөн]], [[Рациональ һан|рациональ]], [[Ысын һан|ысын]], [[Комплекслы һан|комплекслы]] һандар) һәм уларҙың үҙсәнлектәре тора. Арифметикала [[Үлсәү|үлсәүҙәр]], [[Иҫәпләү|иҫәпләү]] ғәмәлдәре ([[ҡушыу]], [[алыу]], [[ҡабатлау]], [[Бүлеү|бүлеү]]) һәм иҫәпләү ысулдары ҡарала. Айырым бөтөн һандарҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеү менән юғары арифметика, йәки [[һандар теорияһы]] шөғөлләнә. Теоретик арифметика һан төшөнсәһенә билдәләмә биреүгә һәм анализлауға иғтибар бүлә, ә [[Формаль система|формаль арифметика]] [[предикат]]тарҙыңпредикаттарҙың (логик хәбәр) һәм [[Аксиома|аксиомалар]]ҙың логик төҙөлөштәренә таянып эш итә. Арифметика иң боронғо һәм иң мөһим математик фәндәрҙең береһе; ул [[Алгебра|алгебра]], [[геометрия|геометрия]] һәм һандар теорияһы менән тығыҙ бәйләнгән<ref name="MathEnc_Arith"/><ref name="MathEnc_FormArith"/>.
 
[[Арифметика тарихы|Арифметиканың барлыҡҡа килеүенең]] сәбәбе булып [[Телдән иҫәп|иҫәпләүҙәргә]] һәм [[ауыл хужалығы|ауыл хужалығын]] үҙәкләштергәндәге мәсьәләләр менән бәйле [[Бухгалтер иҫәбе|иҫәп-хисапҡа]] практик мохтажлыҡ тора. Фән хәл итеүҙе талап иткән мәсьәләләр менән бергә үҫешә. Арифметиканың үҫешенә [[Боронғо Грецияла математика|грек математиктары]] ҙур өлөш индерә — атап әйткәндә, [[Философ|философтар]]-һандар ярҙамында донъяның бөтә законлыҡтарын аңларға һәм тасуирларға тырышыусы [[Пифагореизм|пифагорсылар]].
[[Урта быуаттар]]ҙа арифметиканы, [[неоплатонизм|неоплатониктар]]ға эйәреп, [[Ете азат сәнғәт|ете азат сәнғәт]] тип аталғандар иҫәбенә индергәндәр. Ул осорҙа арифметиканы төп практик ҡулланыу өлкәһе булып [[сауҙа]], [[навигация]], [[төҙөлөш]] тора. Ошоноң менән бәйле, тәү сиратта геометрик төҙөүҙәр өсөн кәрәк булған [[Иррациональ һандар|иррациональ һандарҙы]] [[Иҫәпләү математикаһы|яҡынса иҫәпләүҙәр]] ҙур әһәмиәткә эйә була. Арифметика бигерәк тә [[Һиндостанда математика тарихыҺиндостан|Һиндостанда]] һәм ислам илдәрендә йылдам үҫешә, уларҙан математик белемдең өр яңы ҡаҙаныштары [[Математика тарихы#Көнбайыш Европа|Көнбайыш Европаға]] үтеп инә; [[Рәсәйҙә математика тарихы|Рәсәйҙә]] математик белем менән «гректарҙан да, һәм латиндарҙан да» танышалар.
 
[[Яңы осор|Яңы осор]] тыуыу менән диңгеҙҙә йөҙөү [[астрономия]]һы, [[механика]]һы, ҡатмарлашҡан коммерция иҫәпләүҙәре иҫәпләү техникаһына яңы талаптар ҡуя һәм арифметиканың артабанғы үҫешенә этәргес була. XVII быуат башында [[Непер, Джон|Непер]] [[логарифм]]дарҙы уйлап таба, ә аҙаҡ [[Пьер Ферма|Ферма]] [[Һандар теорияһы|һандар теорияһын]] арифметиканың үҙ-аллы бүлеге итеп сығара. Быуат аҙағына иррациональ һан тураһында рациональ яҡынлауҙар эҙмә-эҙлелеге булараҡ төшөнсә формалаша, ә артабанғы йөҙ йыллыҡ дауамында [[Ламберт, Иоганн Генрих|Ламберттың]], [[Леонард Эйлер|Эйлерҙың]], [[Карл Фридрих Гаусс|Гаусстың]] хеҙмәттәре арҡаһында арифметика [[комплекслы һан|комплекслы]] дәүмәлдәр менән ғәмәлдәрҙе үҙ эсенә ала, һәм хәҙерге заман күренешен ала.
 
Арифметиканың артабанғы тарихы уның нигеҙҙәрен тәнҡит күҙлегенән ҡарау, уны [[Дедуктив һығымта|дедуктив]] нигеҙләргә маташыу менән билдәле. Һан тураһында төшөнсәне теоретик нигеҙләүҙәр, беренсе сиратта, натураль һанға ҡәтғи билдәләмә биреү 1889 йылда әйтеп бирелгән [[Пеано аксиомалары]] менән бәйле. Арифметиканың формаль төҙөлөшөнөң [[ҡаршылыҡһыҙ булыуы]] [[Генцен, Герхард|Генцен]] тарафынан 1936 йылда күрһәтелә.
 
[[Дөйөм башланғыс белем]] биреүҙә арифметиканың нигеҙҙәренә элек-электән һәм өҙлөкһөҙ ҙур иғтибар бирелә.
 
== Арифметика предметы ==
[[Файл:Giuseppe Peano.jpg|200px|thumb|right|[[Пеано, Джузеппе|Джузеппе Пеано]] 1889 йылда [[Пеано аксиомалары|натураль һандар аксиомаларын]] әйтеп бирә]]
Арифметиканың предметы булып [[Һан|һанлы күмәклектәр]], һандарҙың үҙсәнлектәре һәм һандар өҫтөндә ғәмәлдәр тора<ref name="ebse"/>. Уға шулай уҡ иҫәпләү техникаһы, [[Үлсәү|үлсәүҙәр]]<ref name="brit-arithmetic"/>, һан төшөнсәһенең барлыҡҡа килеүе һәм үҫеше менән бәйле мәсьәләләрҙе лә индерәләр<ref name="MathEnc_Arith"/>. Арифметика, тәү сиратта, [[Натураль һан|натураль һандарҙы]] һәм [[Кәсер (математика)|кәсерҙәрҙе]] өйрәнә<ref name="bre">{{cite web|title=АРИФМЕ́ТИКА|url=http://bigenc.ru/mathematics/text/1828566|work=Большая российская энциклопедия|accessdate=2017-06-15|language=ru}}</ref>. Натураль һандар [[Күмәклек|күмәклегенең]] [[Пеано аксиомалары|аксиоматик структураһы]] нигеҙендә, [[Бөтөн һан|бөтөн]], [[Ысын һан|ысын]] һәм [[Комплекслы һан|комплекслы һандарҙы]] ла индереп, башҡа һандар күмәклеген төҙөү тормошҡа ашырыла, уларҙы анализлау яһала<ref name="MathEnc_Arith"/>. Ҡайһы берҙә арифметика сиктәрендә шулай уҡ [[кватернион]]даркватерниондар һәм башҡа [[Гиперкомплекслы һан|гиперкомплекслы һандар]] ҡарала. Шуның менән бергә, [[Фробениус теоремаһы]]нантеоремаһынан, һан төшөнсәһен уның ниндәй ҙә булһа арифметик үҙсәнлеген юғалтмайынса [[комплекслы яҫылыҡ]]таняҫылыҡтан ситкә киҫәйтеү мөмкин түгел икәне килеп сыға{{sfn|Арнольд|1938|с=3—5}}{{sfn|Понтрягин|1986|с=4—6}}.
 
Һандар өҫтөндә төп ғәмәлдәргә [[ҡушыу]], [[алыу]], [[ҡабатлау]] һәм [[Бүлеү (математика)|бүлеүҙе]]<ref name="ebse"/>, һирәгерәк — [[дәрәжәгә күтәреү]]ҙе, [[Арифметик тамыр|тамыр алыуҙы]]<ref name="brit-arithmetic"/> һәм һанлы [[Тигеҙләмә|тигеҙләмәләрҙе]] сығарыуҙы индерәләр<ref name="ebse"/>. Арифметик ғәмәлдәрҙең тарихи исемлеге шулай уҡ [[телдән иҫәп|иҫәпләү]]ҙеиҫәпләүҙе, икеләтеүҙе (ҡабатлауҙан башҡа), икегә бүлеүҙе һәм [[ҡалдыҡлы бүлеү]]ҙебүлеүҙе (бүлеүҙән башҡа), [[Арифметик прогрессия|арифметик]] һәм [[Геометрик прогрессия|геометрик]] прогрессияларҙың суммаларын табыуҙы индерә<ref name="bell-12"/>. [[Непер, Джон|Джон Непер]] үҙенең «Логистическое искусство» китабында арифметик ғәмәлдәрҙе баҫҡыстарға бүлә: түбәнге баҫҡыста ҡушыу һәм алыу тора, артабанғыһында — ҡабатлау һәм бүлеү, артабан — дәрәжәгә күтәреү һәм тамыр алыу{{sfn|Депман|1965|с=195—199}}. Билдәле методист [[Арнольд, Игорь Владимирович|И. В. Арнольд]] өсөнсө баҫҡыс ғәмәлдәргә шулай уҡ [[логарифм]]лауҙы ла индерә{{sfn|Арнольд|1938|с=151—156}}. Ғәҙәттә арифметика тип, «[[Квадратик форма|квадратик формалар]] арифметикаһы», «[[Матрица (математика)|матрицалар]] арифметикаһы» кеүек, төрлө объекттар өҫтөндә ғәмәлдәр башҡарыуҙы атайҙар<ref name="MathEnc_Arith"/>.
 
Асылда, практик ихтыяж өсөн кәрәк булған математик иҫәпләүҙәрҙе һәм үлсәүҙәрҙе ([[Пропорция (математика)|пропорциялар]], [[процент]]тар, [[өсләтә ҡағиҙә]]), түбәнге, йәки практик арифметикаға индерәләр<ref name="ebse"/>, шул уҡ ваҡытта [[Математик логика|логик анализ]] кеүек һан төшөнсәләрен теоретик арифметикаға индерәләр<ref name="MathEnc_Arith"/>. Бөтөн һандарҙың үҙсәнлектәре, уларҙы өлөштөргә бүлеү, өҙлөкһөҙ кәсерҙәрҙе төҙөү [[Һандар теорияһы|һандар теорияһының]] состав өлөшө булып тора<ref name="MathEnc_Arith"/>, уны оҙаҡ ваҡыт юғары арифметика тип иҫәпләйҙәр<ref name="ebse"/>. Арифметика шулай уҡ [[Алгебра|алгебра]] менән тығыҙ бәйләнгән, ул ғәмәлдә [[Операция (математика)|операцияларҙы]] һандарҙың үҙенсәлектәрен һәм үҙсәнлектәрен иҫәпкә алмайынса өйрәнә<ref name="MathEnc_Arith"/><ref name="bse"/>. Дәрәжәгә күтәреү һәм тамыр алыу кеүек арифметик ғәмәлдәр алгебраның техник өлөшө булып тора. Ошоноң менән бәйле, [[Ньютон, Исаак|Ньютон]] һәм [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]] артынса, алгебраны арифметиканы дөйөмләштереү тип иҫәпләү ҡабул ителгән<ref name="ebse"/><ref name="brit-arithmetic"/>. Дөрөҫөн әйткәндә, арифметика, [[Элементар алгебра|элементар алгебра]] һәм һандар теорияһы араһында аныҡ ҡына сик юҡ. [[Ҙур совет энциклопедияһы|БСЭ]]-ла әйтелә: «''Алгебра хәреф тамғалауҙарын ҡулланып, һандар системаларының дөйөм үҙсәнлектәрен һәм мәсьәләләрҙе тигеҙләмәләр ярҙамында сисеүҙең дөйөм ысулдарын өйрәнә; арифметика конкрет бирелгән һандар менән иҫәпләү алымдары, ә үҙенең юғарыраҡ өлкәләрендә (ҡарағыҙ. Һандар теорияһы) — һандарҙың нескәрәк индивидуаль үҙсәнлектәре менән шөғөлләнә''»<ref name="bse_algebra"/>.
 
Башҡа [[Академик фәндәр исемлеге|академик фәндәр]] кеүек үк, арифметика ла принципиаль [[Методология|методологик]] проблемаларға юлыға; уның өсөн аксиомаларҙың [[Ҡаршылыҡһыҙ|ҡаршылыҡһыҙ]] һәм тулы булыу мәсьәләләрен тикшерергә кәрәк<ref name="ebse"/>. Арифметиканың [[предикат]]тарпредикаттар һәм аксиомаларының [[Формаль система|формаль системаһын]] логик төҙөү менән [[формаль арифметика]] шөғөлләнә<ref name="MathEnc_FormArith"/>.
 
== Иң ябай төшөнсәләр ==
27 юл:
[[Файл:Three apples.svg|thumb|100px|right|Бер алма, ике алма, өс алма. Натураль һандар]]
{{main|Натураль һан}}
Иң ябай арифметик төшөнсә булып рәт һандары тора. Иҫәпләү объекты булып төрлө элементтар йәки уларҙың күмәклектәре тора, мәҫәлән, алмалар һәм алмалар кәрзине. Рәт һаны ярҙамында элементтарҙы нумерларға һәм уларҙың [[Иҫәп|дөйөм иҫәбен]] тамғаларға мөмкин.
 
Рәт һаны билдәле бер тигеҙ һандағы элементтары булған төркөмдәр менән иҫәпләүгә бәйле — мәҫәлән, алманы тиҫтәләп иҫәпләү. Ғәҙәттә был ике ҡулдағы бармаҡтар (нигеҙе <math>10</math>-ға тигеҙ), ләкин тарихи сығанаҡтарҙа <math>5, 11, 12, 20, 40, 60, 80</math>-ешәрләп төркөмләүҙәр бар. Төркөмдәге элементтар һаны [[Иҫәпләү системаһы|иҫәпләү системаһы]] өсөн нигеҙ булып тора<ref name="bse"/>.
 
Иҫәпләүҙә килеп сыҡҡан һанлы рәтте натураль тип, ә уның элементтарын — натураль һандар тип атайҙар. Натураль рәт төшөнсәһе тәү башлап грек математигы [[Никомах Герасский|Никомахтың]] хеҙмәттәрендә б. э. I быуатында, ә натураль һан төшөнсәһе — рим авторы [[Аниций Манлий Торкват Северин Боэций|Боэций]] хеҙмәттәрендә V быуат аҙағы — VI быуат башында осрай. Терминды дөйөм ҡулланыу XVIII быуатта [[Д’Аламбер, Жан Лерон|Д’Аламбер]] хеҙмәттәренән башлана. [[Архимед]] үҙенең «Псаммит» исемле хеҙмәтендә, һандар рәтен сикһеҙ дауам итергә мөмкин тип әйтә, ләкин шуның менән бергә, реаль мәсьәләләр өсөн ҙур булмаған киҫеге лә етә тип әйтеп ҡуя{{sfn|Депман|1965|с=21—25}}. Натураль һандарҙы [[Пифагореизм|пифагорсылар]] [[Йоп һәм таҡ һандар|йоп һәм таҡ]] һандарға бүлгән тип иҫәпләйҙәр, ул шулай уҡ [[Боронғо Египет|мысырлы]] [[Ахмес папирусы|Ринд папирусында]] ла бар. Пифагорсылар шулай уҡ [[Ябай һан|ябай]] һәм [[Ҡушма һан|ҡушма һандарҙы]] ла билдәләгәндәр{{sfn|Депман|1965|с=129—130}}.
 
=== Ҡушыу, ҡабатлау, дәрәжәгә күтәреү ===
60 юл:
Урын алмаштырыу законы өсөн «коммутатив» терминын 1814 йылда француз математигы [[Сервуа, Франсуа Жозеф|Сервуа]] индерә. Төркөмләү законы өсөн «ассоциатив» терминын 1853 йылда [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Гамильтон]] индерә{{sfn|Депман|1965|с=204}}.
 
[[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]] бөтә арифметик ғәмәлдәрҙе һәм закондарҙы [[Интуиция|интуиция]] күҙлегенән сығып ҡарай. Закондар бәләкәй һандар өсөн һис шикһеҙ үтәләләр, һәм [[Математикя индукция|индукция]] ҡағиҙәһен ҡулланып, улар бөтә һандар өсөн дә үтәләләр тип һығымта яһарға мөмкин тип раҫлай. Икенсе ҡараш буйынса, артабанғы иҫбатлауҙар логик төҙөлөш менән бәйле булған ваҡытта, бөтә закондар ҙа түгел, ә иң ябай закондар ғына интуитив үтәлмәле булып һаналалар{{sfn|Клейн|1987|с=26—35}}. Урын алмаштырыу һәм төркөмләү закондары һис шикһеҙ үтәлә тип иҫәпләнә{{sfn|Депман|1965|с=204}}. Таратыу, йәки дистрибутив законды Евклид үҙенең «Башланғыстарында» геометрик ысул ҡулланып иҫбатлаған{{sfn|Арифметика|1951|c=77—79}}.
 
Дәрәжәгә күтәреү операцияһы коммутатив та, ассоциатив та түгел, уның үҙенең ҡағиҙәләре. Был операцияны башҡарыуҙың төп ҡағиҙәләре ыңғай дәрәжәләр өсөн уның билдәләмәһенән асыҡ күренеп торалар<ref name="brit-arithmetic"/>. Алгебраик формала улар ошолай яҙылалар:
84 юл:
{{main|Бүлеү|Рациональ һан}}
[[Файл:Divide20by4.svg|thumb|right|200px|20-не 4-кә бүлеү]]
Бүлеү ҡабатлауға кире ғәмәл булып тора. Бүлеүҙең беренсе билдәләмәһе — бүленеүселә бүлеүсенең берәмектәре тапҡыр булған һанды табыу ул. Ошондай билдәләмә XIV быуат арифметика дәреслектәрендә бирелгән — мәҫәлән, <math>20 : 4 = 5</math>. Бүлеү бик ҡатмарлы һәм ауыр операция һаналған. Бүлеүсенең бүлендектең айырым разрядтарына өлөшләтә ҡабатландығын ҡулланған хәҙерге бүлеү ысулы ([[бағаналап бүлеү]]), 1460 йылғы итальян манускриптында килтерелгән{{sfn|Депман|1965|с=212—232}}.
 
Ҡабатлашыусы һәм ҡабатландыҡ булмаған натураль һандар өсөн [[ҡалдыҡлы бүлеү]] операцияһы билдәле (ғәмәлдә ''бүлеүҙән ҡалдыҡтың'' билдәләмәһе шулай уҡ ''модуле буйынса бүлеү'' тип атала). Шулай уҡ төрлө айырым осраҡтарҙа бүлеүҙе ябайлаштырыусы йәки теге йәки был һанға [[Бүленеүсәнлек билдәләре|бүленеүсәнлеген тикшерергә мөмкинлек биргән ]] күп ысулдар бар. Мәҫәлән:
* әгәр һандың унарлы яҙыуында һуңғы цифры икегә бүленһә, һан икегә ҡалдыҡһыҙ бүленә;
* әгәр һандың унарлы яҙыуында цифрҙары суммаһы өскә бүленһә, был һан өскә ҡалдыҡһыҙ бүленә;
93 юл:
Әгәр натураль һандарҙы ҡабатлап табып булған һандарҙы ғына бүлмәһәң, шул уҡ ваҡытта ҡалдыҡты айырып алмаһаң, бүлеү операцияһы, алыу кеүек үк, натураль һандар күмәклегенән ситкә сығырға юл ҡуя. Бүлгәндә ҡалдыҡһыҙ бөтөнгә тиклем ҡыҫҡартырға мөмкин булмаған [[Кәсер (математика)|кәсерҙәр]] килеп сығырға мөмкин. Шундай кәсерҙәргә ярашлы һандар рациональ һандар тип аталалар. Рациональ һандарҙы бүлеүгә нигеҙләнгән тағы ла билдәле һандар төрөн киңәйтеү килеп сыға. Тарихи тәүҙә кәсер төшөнсәһе барлыҡҡа килә, ә аҙаҡ тиҫкәре һан төшөнсәһе{{sfn|Клейн|1987}}. Мәктәп курсында ла шундай уҡ тәртип ҡабул ителгән{{sfn|Арифметика|1951|с=172—178}}.
 
Кәсерҙәрҙе яҙыуҙың ике формаһы ҡулланыла — горизонталь йәки ҡыя һыҙыҡ менән бүленгән һәм йыш ҡына минималь һандарға тиклем ҡыҫҡартылған числитель һәм знаменатель<!-- Эээ.. как это правильнее называется? выскочило из головы.. -->, һәм [[Позицион иҫәпләү системаһы|һандың позицион яҙылышында]] [[Унарлы айырғыс|бөтөн һәм кәсер өлөшөн айырыусы]] тамғанан һуң урынлашыусы кәсер өлөшөнөң цифрҙары рәүешендә. Мәҫәлән, 10-ды 20-гә бүлеү һөҙөмтәһе <math>\frac {10} {20} = 10/20 = 5 / 10 = 1/2 = 0{,}5</math> күренешендә яҙыл.
 
[[Файл:Real number line.svg|600px|center|Һанлы күсәр]]
99 юл:
==== Тамыр алыу: иррациональ һәм комплекслы һандар ====
{{main|Тамыр (математика)|Логарифм|Иррациональ һан|Комплекслы һан|Ысын һан}}
Дәрәжәгә күтәреү өсөн ике кире операцияның берәүһе — [[Арифметик тамыр|тамыр алыу]], йәки ярашлы дәрәжәгә күтәргәндә билдәле һөҙөмтәне биргән һанды табыу. Йәғни, алгебра теле менән әйткәндә, <math>x^a = b</math> күренешендәге тигеҙләмәнең тамырын табыу. Икенсе кире операция — [[логарифм]]ды эҙләү (<math>a^x = b</math> күренешендәге тигеҙләмәнең тамырын табыу). Арифметикаға, ҡағиҙә булараҡ, тик икенсе дәрәжә тамырҙы — [[Квадрат тамыр|квадрат тамырҙы]] иҫәпләүҙе генә индерәләр.
 
Тамырҙы иҫәпләү операцияһы, әгәр уны натураль һандарҙы дәрәжәгә күтәреп табып булған һандар өсөн генә ҡулланмаһаң, ҡалған кире операциялар кеүек үк, натураль һандар күмәклегенән ситкә сығырға мәжбүр итә. Был осраҡта килеп сыҡҡан һандар, йыш ҡына, сикле рациональ кәсерҙәр рәүешендә күрһәтелә алмайҙар, һәм шуға күрә иррациональ һандар тип аталалар. Рациональ һандарға иррациональ һандарҙы өҫтәүҙән килеп сыҡҡан һандар күмәклеген, ''әйберләтә'' йәки ''ысын'' һандар тип атайҙар.
 
Боронғо Грецияла уҡ [[Үлсәүҙәш дәүмәлдәр|үлсәүҙәш булмаған киҫектәр]] булыуы билдәле булған, кәм тигәндә, яғы бер берәмек итеп алынған квадраттың яғы һәм диагонале миҫалында, һәм улар өсөн теүәл һан ҡиммәте табырға маташҡандар, был [[Евклид]]тың «[[Евклидтың башланғыстары|Башланғыстарында]]» сағылыш таба. Ысын һандар тик XVII—XVIII быуаттарҙа ғына тикшеренеү объекты булалар. XIX быуаттың икенсе яртыһында [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]], [[Кантор, Георг Фердинанд Людвиг Филипп|Кантор]] һәм [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]] үҙҙәренең [[ысын һанды билдәләүҙең конструктив ысулдары]]нысулдарын әйтеп бирәләр{{sfn|Арифметика|1951|с=188—201}}.
 
Тамыр алыу операцияһы өсөн ошондай ҡағиҙә билдәле<ref name="brit-arithmetic"/>:
131 юл:
бында таратыу һәм төркөмләү закондары ҡулланыла{{sfn|Клейн|1987|с=23—25}}.
 
Тиҙ һәм теүәл иҫәпләүгә булған ихтыяж иң ябай иҫәпләү яйланмалары төҙөүгә килтерә: [[абак]], [[Суаньпань|суаньпаня]], [[юпана]] йәки [[Счёттар|счёт]]. Артабанғы аҙым булып [[Отред, Уильям|Отред]] тарафынан 1622 йылда [[логарифмик линейка]] төҙөү тора, ул ҡабатлау һәм бүлеү ғәмәлдәрен башҡарырға мөмкинлек бирә<ref name="col"/>.
 
=== Компьютер арифметикаһы ===
«https://ba.wikipedia.org/wiki/Арифметика» битенән алынған