Фурье рәте: өлгөләр араһындағы айырма

Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
99 юл:
* <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> элементтарының һыҙыҡлы комбинациялары <math>H</math> арауығында [[бәтә ерҙә тығыҙ күмәклек|тығыҙ]].
 
Әгәр был шарттар үтәлмәһә, <math>f</math> элементының Фурье рәте суммаһы, уның <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> элементтарыныңэлементтары [[һыҙыҡлы көплөк|һыҙыҡлы көплөгөнөң]] [[Замыкание (алгебра)|замыканиеһына]] [[ортогональ проекция|ортогональ проекцияһына]] тигеҙ. Был осраҡта Парсеваль тигеҙлеге урынына ''Бессель тигеҙһеҙлеге'' дөрөҫ:
: <math>\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \leqslant \|f\|^2.</math>
 
{{Hider|
title = Миҫалдар |
content = <math>\sin(kx)</math>, <math>\cos(kx)</math> тригонометрик функциялары <math>L_2[-\pi,\pi]</math> Гильберт арауығының базисын төҙөй. Әгәр беҙ йә тик косинустарҙы йә тик синустарҙы ғына ҡараһаҡ, ул саҡта бындай система артабан тулы булмай. <math>\cos(kx)</math> функцияларының һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһы — ул <math>L_2</math>-нән бөтә йоп функциялар, ә <math>\sin(kx)</math>> функцияларының һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһы - бөтә таҡ функциялар. Результатом разложенияи <math>f</math> функцияһының Фурье рәттәренә был системалар буйынса тарҡатыү нәтижәһе булып <math>f</math> функцияһының ярашлы рәүештә йоп һәм таҡ өлөштәре торалар:
content = Тригонометрические функции <math>\sin(kx)</math>, <math>\cos(kx)</math> образуют базис гильбертова пространства <math>L_2[-\pi,\pi]</math>. Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций <math>\cos(kx)</math> - это все четные функции из <math>L_2</math>, а замыкание линейной оболочки функций <math>\sin(kx)</math> - все нечетные функции. Результатом разложения функции <math>f</math> в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции <math>f</math>:
:<math>\sum\limits_0^n a_k \cos(kx) = \frac{f(x)+f(-x)}{2},</math>
:<math>\sum\limits_1^n b_k \sin(kx) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}.</math>
 
Тағы ла ҡыҙығыраҡ хәл <math>\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}</math> системаһын ҡарағанда тыуа. Был система яңынан тулы булмай. Уның һыҙыҡлы көплөгөнөң замыканиеһы — <math>H_2</math> Харди арауығы. Был арауыҡтың элементтары -- <math>f(t)=g(e^{it})</math> күренешендә булған һәм бары тик шул <math>f\in L_2</math> функциялары, бында <math>g</math> — <math>|z|<1.</math>| түңәрәгендә аналитик булған ниндәйҙер функцияларҙың сикле ҡиммәттәре.
Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы <math>\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}</math>. Эта система вновь не будет полной. Замыкание её линейной оболочки — пространство Харди <math>H_2</math>. Элементы этого пространства -- те и только те функции <math>f\in L_2</math>, которые имеют вид <math>f(t)=g(e^{it})</math>, где <math>g</math> — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге <math>|z|<1.</math>|
frame-style = border: 1px solid Plum; |
title-style = color: black; background-color: lavender; font-weight: bold; |
«https://ba.wikipedia.org/wiki/Фурье_рәте» битенән алынған