|
<math>a_0</math>, <math>a_n</math> һәм <math>b_n</math> (<math>n = 1, 2, \ldots</math>) һандары ''<math>f</math> Фурье функцияның коэффициенттары'' тип атала. Улар өсөн формулаларҙы ошолай аңлатырға була. <math>f\in\mathcal{L}([-\pi,\pi])</math> функцияһын (1) күренештәге рәт итеп күрһәтергә теләйбеҙ һәм беҙгә билдәһеҙ <math>a_0</math>, <math>a_n</math> һәм <math>b_n</math> коэффициенттарын табырға кәрәк икән ти. Әгәр (1) тигеҙлектең уң яғын <math>\cos(kx)</math>-ҡа ҡабатлаһаҡ һәм <math>[-\pi,\pi]</math> аралығы буйынса интеграллаһаҡ, уң яҡтағы бөтә ҡушылыусылар, синустар һәм косинустарҙың был аралыҡта ортогональ булыуы арҡаһында, берәүһенән башҡа нулгә әйләнәләр. Килеп сыҡҡан тигеҙлектән <math>a_k</math> коэффициенты еңел табыла. Оҡшаш рәүештә <math>b_k</math> өсөн.
[[Lp арауыҡ#ПL² арауыҡ|<math>\mathcal{L}_2([-\pi,\pi])</math> арауығының]] <math>f</math> функцияһы өсөн (1) рәт был арауыҡта [[Эҙмә-эҙлелек сикләнмәһе|йыйылыусан]]. Икенсе төрлө әйткәндә, әгәр <math>S_k(x)</math> аша (1) рәттең өлөшләтә суммаларын тамғалаһаҡ:
: <math>S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>,
Беҙ шулай уҡ
:: <math>\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}</math> функциялар системаһын ҡарайбыҙ.
Элеккесә, был функциялар пар-пар ортогональ булалар һәм тулы система барлыҡҡа килтерәләр, һәм, шулай итеп, теләһә ниндәй <math>f\in \mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> функцияһы улар буйынса Фурье рәтенә тарҡатылырға мөмкин:
=== Гильберт арауығында Фурье рәттәре ===
Юғарыла тасуирланған конструкцияны тригонометрик система менән [[Lp арауыҡ#L² арауыҡ|<math>L^2[-\pi,\pi]</math> арауығы]] осрағынан ирекле Гильберт арауығына дөйөмләштерергә мөмкин. <math>H</math> [[Гильберт арауығы|Гильберт арауығында]]нда <math>\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}</math> [[ортогональ система]] бирелһен һәм <math>f</math> — <math>H</math>-тан ирекле элемент булһын ти. <math>f</math>-ты <math>\{\varphi_k\}</math> элементтарының (сикһеҙ) һыҙыҡлы комбинацияһы күренешендә күрһәтергә теләйбеҙ икән ти:
: <math>f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n.</math>
Был аңлатманы <math>\varphi_k</math>-ға ҡабатлайбыҙ. <math>\{\varphi_k\}</math> функциялар системаһының ортогональ булыуын иҫәпкә алып, <math>n=k</math> булғандағы ҡушылыусынан башҡа, рәттең бөтә ҡушылыусылары нулгә әйләнә:
{{main|Двойственность Понтрягина}}
Фурье рәттәре теорияһын Гильберт арауығы осрағына дөйөмләштергәндә, Фурье рәттәренең [[урама (математик анализ)|урама]] менән бәйләнешен күрһәтеүсе аңлатмаларҙың үҙсәнлектәре юғала — функциялар урамаһының Фурье коэффициенттары уларҙың Фурье коэффициенттарының быуын-быуынлап ҡабатландығы була, һәм киреһенсә, ҡабатландыҡтың Фурье коэффициенттары ҡабатлашыусыларҙың Фурье коэффициенттарының урамаһы була. Фурье теорияһын [[дифференциаль тигеҙләмә|дифференциаль]], [[интеграль тигеҙләмә|интеграль]] һәм башҡа функциональ тигеҙләмәләрҙе сығарыуҙа ҡулланыу өсөн был үҙсәнлектәр бик мөһим булып торалар. Шуға күрә Фурье рәттәренең был үҙсәнлектәрҙе һаҡлаусы дөйөмләштерелеүҙәре ҙур ҡыҙыҡһыныу тыуҙыра. Шундай дөйөмләштереү булып Понтрягиндың ҡапма-ҡаршылыҡлы теорияһы тора. Ул [[Локаль компактлыҡ|локаль-компактлы]] [[Абель төркөмө|Абель]] [[Төркөм (математика)|төркөмдәрендә]] бирелгән функцияларҙы ҡарай. Бындай функцияның Фурье рәте аналогы булып ҡаршылыҡлы төркөмдә бирелгән функция тора.
Фурье рәттәре теорияһын Гильберт арауығы осрағына дөйөмләштергәндә, теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье рәттәрен [[свертка (математик анализ)|сверткой]] — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению [[дифференциальное уравнение|дифференциальных]], [[интегральное уравнение|интегральных]] и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на [[Локальная компактность|локально-компактных]] [[абелева группа|абелевых]] [[Группа (математика)|группах]]. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.
== Фурье рәтенең йыйылыусанлығы ==
== Сходимость ряда Фурье ==
[[Файл:Periodic identity function.gif|thumb|400px| СходимостьФурье рядарәтенең Фурьейыйылыусанлығы]] ▼
=== Фурье рәтенең йыйылыусанлығы һөҙөмтәләрен күҙәтеү ===
▲[[Файл:Periodic identity function.gif|thumb|400px|Сходимость ряда Фурье]]
<math>f(x)</math> функцияһының Фурье рәтенең өлөшләтә суммаларын <math>S_N(f,x)</math> аша тамғалайыҡ:
=== Обзор результатов о сходимости ряда Фурье ===
Обозначим через <math>S_N(f,x)</math> частичные суммы ряда Фурье функции <math>f(x)</math>:
: <math>S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}</math>.
Артабан <math>S_N(f,x)</math> функциялары [[эҙмә-эҙлелек сикләнмәһе|эҙмә-эҙлелектәренең]] <math>f(x)</math> функцияһына төрлө мәғәнәләрҙә йыйылыусанлығы тикшерелә. <math>f</math> функцияһы <math>2\pi</math>-периодлы тип уйланыла (әгәр ул тик <math>[-\pi,\pi]</math> аралығында ғына бирелһә, уны периодик дауам итергә мөмкин).
Далее обсуждается [[предел последовательности|сходимость последовательности]] функций <math>S_N(f,x)</math> к функции <math>f(x)</math> в различных смыслах. Функция <math>f</math> предполагается <math>2\pi</math>-периодической (если она задана только на промежутке <math>[-\pi,\pi]</math>, её можно периодически продолжить).
* ЕслиӘгәр <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math> булһа, тоул последовательностьсаҡта <math>S_N(f,x)</math> сходится к функцииэҙмә-эҙлелеге <math>f(x)</math> функцияһына [[сходимостьL2-лә в L2йыйылыусанлыҡ|в смысле <math>L_2</math> мәғәнәһендә]] йыйыла. КромеБынан тоготыш, <math>S_N(f,x)</math> являются наилучшим (в смысле расстояния в <math>L_2</math>)-лә приближениемалыҫлыҡ функциимәғәнәһендә) <math>f</math> функцияһының <math>N</math>-дан юғары булмаған дәрәжәләге [[ТригонометрическийТригонометрик полином|тригонометрическимтригонометрик многочленомкүпбыуын]] степенименән неиң вышеяҡшы <math>N</math>яҡынайыуы булалар.
* Фурье рәтенең бирелгән <math>x_0</math> нөктәһендә йыйылыусанлығы — локаль үҙсәнлек, йәғни, әгәр <math>f</math> һәм <math>g</math> функциялары <math>x_0</math> нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында тап килһәләр, ул саҡта <math>S_N(f,x_0)</math> һәм <math>S_N(g,x_0)</math> эҙмә-эҙлелектәре йә бер үк ваҡытта таралалар, йә бер үк ваҡытта йыйылалар, һәм был осраҡта уларҙың сикләнмәләре тап килә. (Локалләштереү принцибы).
* Сходимость ряда Фурье в заданной точке <math>x_0</math> — локальное свойство, то есть, если функции <math>f</math> и <math>g</math> совпадают в некоторой окрестности <math>x_0</math>, то последовательности <math>S_N(f,x_0)</math> и <math>S_N(g,x_0)</math> либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
* Әгәр <math>f</math> функцияһы <math>x_0</math> нөктәһендә дифференциалланыусы булһа, ул саҡта уның Фурье рәте был нөктәлә <math>f(x_0)</math>-ға йыйыла. Теүәлерәк етерлек шарттар <math>f</math> функцияһының шымалығы терминдарында [[Дини билдәһе]] менән бирелә.
* Если функция <math>f</math> дифференцируема в точке <math>x_0</math>, то её ряд Фурье в этой точке сходится к <math>f(x_0)</math>. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции <math>f</math> задаются [[признак Дини|признаком Дини]].
* Функция, непрерывная в точке <math>x_0</math>, можетнөктәһендә иметьөҙлөкһөҙ расходящийсяфункцияның вунда ней рядтаралыусан Фурье рәте булырға мөмкин. ОднакоЛәкин, еслиәгәр онул сходитсятаралһа, тоул непременносаҡта кһис шикһеҙ <math>f(x_0)</math>-ға. Это следует из того, что для непрерывной вБыл <math>x_0</math> функциинөктәһендә өҙлөкһөҙ <math>f</math> последовательностьфункцияһы өсөн <math>S_N(f,x_0)</math> эҙмә-эҙлелеге [[сходимостьЧезаро побуйынса йыйылыусанлыҡ|Чезаро|сходится по Чезаробуйынса]] к <math>f(x_0)</math>-ға йыйылыуынан килеп сыға.
* Если функцияӘгәр <math>f</math> разрывна в точкефункцияһы <math>x_0</math>, нонөктәһендә имеетөҙөклө пределыбулһа, вләкин этойбыл точкенөктәлә справауңдан иһәм слеваһулдан <math>f(x_0+0)\neq f(x_0-0),</math> тосикләнмәләре прибулһа, ул саҡта ҡайһы бер некоторыхөҫтәлмә дополнительныхшарттар условияхүтәлгәндә <math>S_N(f,x_0)</math> сходятся к <math>(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2</math>-ға йыйылалар. ПодробнееЕнтеклерәк смҡарағыҙ. [[признак Дини билдәһе|модифицированный признакмодифицирләнгән Дини билдәһе]].
* ''ТеоремаКарлесон Карлесонатеоремаһы:'' еслиәгәр <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math> булһа, тоул еёсаҡта рядуның Фурье сходится к нейрәте [[сходимостьһәр почтиерҙә всюдутиерлек йыйылыусанлыҡ|почтиһәр всюдуерҙә тиерлек]]. Этоуға верно ийыйыла. еслиБыл <math>f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1</math> булғанда дөрөҫ. ОднакоӘммә, существуют функции из <math>L_1([-\pi,\pi])</math>-дан шундай функциялар бар, рядуларҙың Фурье которыхрәттәре расходитсябөтә вонөктәләрҙә всехлә точкахтаралалар (примершундай такойфункцияның функциимиҫалы построен [[Колмогоров, Андрей Николаевич|КолмогоровымКолмогоров]] тарафынан төҙөлгән<ref>[http://www.mathnet.ru/links/5e740e99be052aabb4e379e829466873/mp21.pdf ''В. М. Тихомиров, В. В. Успенский''. Пеpвые филдсовские лауpеаты и советская математика 30-х годов. I. — Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 21–4021-40.]</ref>).
* <math>x_0\in(-\pi,\pi)</math> нөктәһен билдәләйек. Ул саҡта Фурье рәттәре был нөктәлә йыйылған бөтә өҙлөкһөҙ функциялар күмәклеге [[өҙлөкһөҙ функциялар арауығы|<math>C([-\pi,\pi])</math> арауығында]] [[Бэр категорияһы|беренсе категория]] күмәклек була. Ниндәйҙер мәғәнәлә был «типик» өҙлөкһөҙ функцияның таралыусан Фурье рәте бар тигәнде аңлата.
* Зафиксируем точку <math>x_0\in(-\pi,\pi)</math>. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством [[категория Бэра|первой категории]] в [[пространство непрерывных функций|пространстве <math>C([-\pi,\pi])</math>]]. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.
=== Фурье коэффициенттарының кәмеүе һәм функцияларҙың аналитиклеге ===
=== Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции ===
Функцияның аналитиклеге һәм Фурье коэффициенттарының кәмеү тиҙлеге араһында фундаменталь бәйләнеш бар. Функция ни тиклем «яҡшыраҡ», шул тиклем уның коэффициенттары тиҙерәк нулгә ынтыла, һәм киреһенсә. Фурье коэффициенттарының дәрәжәле кәмеүе <math>C^{(k)}</math> класындағы функцияларға хас, ә экспоненциаль кәмеүе — [[аналитик функция|аналитик функцияларға]] хас. Шундай төрҙәге бәйләнеш миҫалдары:
Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса <math>C^{(k)}</math>, а экспоненциальное — [[аналитическая функция|аналитическим функциям]]. Примеры такого рода связи:
* КоэффициентыТеләһә Фурье любойниндәй [[интеграл|интегрируемойинтегралланыусы]] функциифункцияның стремятсяФурье ккоэффициенттары нулюнулгә ынтылалар ({{нп5|лемма РиманаРиман — ЛебегаЛебег леммаһы|||Riemann–Lebesgue_lemma}}).
* Если функцияӘгәр <math>f</math> принадлежит классуфункцияһы <math>C^{(k)}([-\pi,\pi])</math>, токласына естьинһә, дифференцируемайәғни <math>k</math> разтапҡыр идифференциалланыусы еёһәм уның <math>k</math>-ясы производнаясығарылмаһы непрерывнаөҙлөкһөҙ булһа, тоул саҡта <math>\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)</math>
* Если рядӘгәр <math>\sum n^{\alpha}\hat{f}_n</math> рәте [[абсолютнаяабсолют сходимость йыйылыусанлыҡ|сходитсяабсолют абсолютно йыйылһа]], тоул саҡта <math>f</math> совпадает [[почти всюду]] с функцией класса <math>C^{(k)}([-\pi,\pi])</math> прикласынан всехфункция менән бөтә <math>k<\alpha</math> өсөн [[һәр ерҙә тиерлек]] тап килә.
* ЕслиӘгәр функция принадлежитфункция [[условиеГельдер Гельдерашарты|классуГёльдер Гёльдеракласына]] с показателем <math>\alpha>1/2</math> күрһәткесе менән инһә, тоул рядсаҡта <math>\sum \hat{f}_n</math> сходитсярәте абсолют абсолютнойыйыла ([[теоремаБернштейн Бернштейнатеоремаһы]]).
* ЕслиӘгәр <math>\hat{f}_n=O(a^n),0<a<1</math>, тоул тригонометрическийсаҡта рядтригонометрик Фурье сходится крәте [[ аналитическаяаналитик функция| аналитическойаналитик функциифункцияға]] йыйыла.{{нет АИ|1|12|2009}}
== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
| 