Википедия

Фурье рәте: өлгөләр араһындағы айырма

Интерактивная навигация по истории
← Алдағы үҙгәртеүКиләһе үҙгәртеү →
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
ВизуальВикитекст
81 юл:
Ысын ҡиммәтле функциялар өсөн <math>\hat{f}_k</math> һәм <math>\hat{f}_{-k}</math> коэффициенттары комплекслы эйәртеүле.
 
== Дөйөмләштереүҙәр ==
== Обобщения ==
 
=== Гильберт арауығында Фурье рәттәре ===
=== Ряды Фурье в гильбертовом пространстве ===
Юғарыла тасуирланған конструкцияны тригонометрик система менән [[Lp арауыҡ#L² арауыҡ|<math>L^2[-\pi,\pi]</math> арауығы]] осрағынан ирекле Гильберт арауығына дөйөмләштерергә мөмкин. <math>H</math> [[Гильберт арауығы|Гильберт арауығында]] <math>\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}</math> [[ортогональ система]] бирелһен һәм <math>f</math> — <math>H</math>-тан ирекле элемент булһын ти. <math>f</math>-ты <math>\{\varphi_k\}</math> элементтарының (сикһеҙ) һыҙыҡлы комбинацияһы күренешендә күрһәтергә теләйбеҙ икән ти:
Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая [[Пространство Lp#Пространство L²|пространства <math>L^2[-\pi,\pi]</math>]] с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны [[ортогональная система]] <math>\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}</math> в [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]] <math>H</math>
и <math>f</math> — произвольный элемент из <math>H</math>. Предположим, что мы хотим представить <math>f</math> в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов <math>\{\varphi_k\}</math>:
: <math>f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n.</math>
Был аңлатманы <math>\varphi_k</math>-ға ҡабатлайбыҙ. <math>\{\varphi_k\}</math> функциялар системаһының ортогональ булыуын иҫәпкә алып, <math>n=k</math> булғандағы ҡушылыусынан башҡа, рәттең бөтә ҡушылыусылары нулгә әйләнә:
Домножим это выражение на <math>\varphi_k</math>. С учётом ортогональности системы функций <math>\{\varphi_k\}</math> все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при <math>n=k</math>:
: <math> (f, \varphi_k) = c_k\|\varphi_k\|^2. </math>
: <math>c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2}</math> һандары <math>f</math> элементының <math>\{\varphi_k\}</math> системаһы буйынса ''координаталары'', йәки ''Фурье коэффициенттары'' тип аталалар, ә
Числа
: <math>\sum_k c_k \varphi_k</math> рәте <math>f</math> элементының <math>\{\varphi_k\}</math> ортогональ системаһы буйынса '''Фурье рәте''' тип атала.
: <math>c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2}</math>
называются ''координатами'', или ''коэффициентами Фурье'' элемента <math>f</math> по системе <math>\{\varphi_k\}</math>, а ряд
: <math>\sum_k c_k \varphi_k</math>
называется '''рядом Фурье''' элемента <math>f</math> по ортогональной системе <math>\{\varphi_k\}</math>.
 
РядТеләһә Фурье любого элементаниндәй <math>f</math> поэлементының любойтеләһә ортогональнойниндәй системеортогональ сходитсясистема вбуйынса пространствеФурье рәте <math>H</math>, ноарауығында егойыйыла, суммаләкин неуның обязательно равнасуммаһы <math>f</math>-кә мотлаҡ тигеҙ түгел. Для [[ортонормированная система|ортонормированной системы]] <math>{\varphi_k}</math> в [[сепарабельное пространство|сепарабельном]] гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:
 
* система является [[базис]]ом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
«https://ba.wikipedia.org/wiki/Фурье_рәте» битенән алынған