Галуа теорияһы: өлгөләр араһындағы айырма

Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
"{{seealso|Дифференциаль Галуа теорияһы}} '''Галуа теорияһы''' — [[алгебра|алгебраның]..." исемле яңы бит булдырылған
(айырмалар юҡ)

11:04, 7 февраль 2019 өлгөһө

Галуа теорияһыалгебраның, яландар теорияһының ҡайһы бер мәсьәләләрен, ниндәйҙер мәғәнәлә уларҙы ябайыраҡ итеп, төркөмдәр теорияһы телендә әйтеп бирергә мөмкинлек биреүсе бүлеге ул. Эварист Галуа был теорияның төп раҫлауҙарын бирелгән күпбыуындың (рациональ коэффициентлы) тамырҙары алмаштырмалары терминдарында әйтеп бирә; ул «төркөм» терминын, композицияға ҡарата йомоҡ һәм тождестволы алмаштырмаһы булған алмаштырмалар күмәклеген һүрәтләү өсөн беренсе булып ҡулланыусы була.

Галуа теорияһына хәҙерге ҡараш ирекле яландың киңәйтелеүе автоморфизмдарын, был киңәйтелеүгә ярашлы Галуа төркөмө ярҙамында өйрәнеүҙән ғибәрәт.

Ҡушымталар

Галуа теорияһы түбәндәге классик мәсьәләләрҙе сығарыуға берҙәм күркәм ҡараш булдыра:

  1. Ниндәй фигураларҙы циркуль һәм линейка ярҙамында төҙөргә мөмкин?
  2. Ниндәй алгебраик тигеҙләмәләр стандарт алгебраик операциялар (ҡушыу, алыу, ҡабатлау, бүлеү һәм тамыр алыу) ярҙамында сығарыла алалар?

Тамырҙар симметрияһы

Тамырҙар симметрияһы — күпбыуын тамырҙары күмәклегендәге шундай алмаштырмалар, улар өсөн тамырҙары ҡәнәғәтләндергән рациональ коэффициентлы теләһә ниндәй алгебраик тигеҙләмәне (бер нисә үҙгәреүсәнле), алмаштырылған тамырҙары ла ҡәнәғәтләндерә.

Миҫал: квадрат тигеҙләмә

  икенсе дәрәжә күпбыуынының   нөктәһенә ҡарата симметрик ике тамыры   һәм   бар. Ике варианттың булыуы мөмкин:

  • Әгәр был тамырҙар рациональ булһа, ул саҡта   тигеҙләмәһен бер генә тамыр ҡәнәғәтләндерә, һәм тигеҙләмә төркөмө тривиаль.
  • Әгәр был тамырҙар иррациональ булһа, ул саҡта төркөмдөң бер генә тривиаль булмаған элементы   бар, һәм   изоморфлы.

Ҡатмарлыраҡ миҫал

  күпбыуынын ҡарайыҡ.

Уның тамырҙары:  .

Был күпбыуын тамырҙарының   төрлө алмаштырмалары бар, ләкин улар бөтәһе лә симметрия түгелдәр. Галуа төркөмө элементтары рациональ коэффициентлы теләһә ниндәй алгебраик тигеҙләмәләрҙе һаҡларға тейеш.

Шундай тигеҙләмәләрҙең береһе —  .   булғанлыҡтан,   алмаштырмаһы Галуа төркөмөнә инмәй.

Бынан тыш,   булыуын күрергә була, ләкин  . Шуға күрә   алмаштырмаһы төркөмгә инмәй.

Ахыр килеп, күпбыуындың Галуа төркөмө дүрт алмаштырманан тора икәнен табабыҙ:

 
 
 
 

һәм  -ға изоморфлы Клейндың дүртенсе төркөмө була.

Яландар теорияһы терминдарында әйтеп биреү

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения  . Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения  .

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах

Решения полиномиального уравнения   выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения разрешима.

Для любого   существует уравнение  -й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе  , то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы   при   не являются разрешимыми, существуют многочлены степени  , корни которых не представимы при помощи радикалов — Теорема Абеля — Руффини.

Вариации и обобщения

Шулай уҡ ҡарағыҙ

Әҙәбиәт

  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.