Википедия

Коммутатив ҡулса: өлгөләр араһындағы айырма

Интерактивная навигация по истории
← Алдағы үҙгәртеүКиләһе үҙгәртеү →
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
ВизуальВикитекст
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
26 юл:
=== Ябай идеалдар һәм спектр ===
{{main|Ябай идеал|Ҡулса спектры}}
Идеалдарҙың үтә мөһим төрө — ябай идеалдар, уларҙы йыш ҡына ''p'' тип тамғалайҙар. Билдәләмә буйынса, ябай идеал — үҙенеке булмаған шундай идеал, әгәр уға ике элементтың ҡабатландығы инһә, ул саҡта уға был элементтарҙың береһе булһа ла инә. Эквивалентлы билдәләмә — ''R / p'' факторҡулсаһы бөтөн. Тағы ла бер эквивалентлы билдәләмә — [[күмәклекте тултырыу|тултырыу]] ''R \ p'' ҡабатлауға ҡарата йомоҡ.<ref>Атья-Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, 2003.</ref> Локализация (''R'' \ ''p'')<sup>−1</sup>''R'' достаточнолокалләштереүе важнаүтә мөһим, чтобышуға иметькүрә своёуның собственноешәхси обозначениетамғаланышы бар: ''R''<sub>''p''</sub>. ЭтоБыл кольцоҡулсаның имееттик толькобер одингенә максимальныймаксималь идеалидеалы бар: ''pR''<sub>''p''</sub>. ПодобныеШундай кольца называютсяҡулсалар [[локальноелокаль кольцо|локальнымиҡулса]] тип аталалар.
 
Ябай идеалдар — ''Spec R'' ҡулса спектры ярҙамында ҡулсаны ''геометрик'' һүрәтләү өсөн төп элемент. Күмәклек булараҡ, ''Spec R'' ябай идеалдарҙан тора. Әгәр ''R'' — ялан булһа, унда тик бер генә ябай идеал (нуль) бар, шуға күрә яландың спектры — нөктә. Икенсе миҫал — ''Spec '''Z''' '' нуль идеал өсөн бер нөктәһе һәм бер нөктәһе — һәр [[ябай һан]] ''p'' өсөн. Спектры [[Зарисский топологияһы]] менән тәьмин ителгән, унда асыҡ күмәклектәр — ''D''(''f'') = {''p'' ∈ ''Spec R'', ''f'' ∉ ''p''} күренешендәге күмәклектәр, бында ''f'' — ҡулсаның ирекле элементы. Был топология анализдағы топологияларҙың ғәҙәттәге миҫалдарынан айырыла: мәҫәлән, нуль идеалға ярашлы нөктәнең [[ос (геометрия)|осо]] — ул һәр ваҡытта бөтә спектр.
Простые идеалы — ключевой элемент ''геометричного'' описания кольца, с помощью спектра кольца ''Spec R''. Как множество, ''Spec R'' состоит из простых идеалов. Если ''R'' — поле, в нём есть только один простой идеал (нулевой), поэтому спектр поля — точка. Другой пример — ''Spec '''Z''' '' содержит одну точку для нулевого идеала и одну — для каждого [[простое число|простого числа]] ''p''. Спектр снабжен [[топология Зарисского|топологией Зарисского]], в которой открытые множества — это множества вида ''D''(''f'') = {''p'' ∈ ''Spec R'', ''f'' ∉ ''p''}, где ''f'' — произвольный элемент кольца. Эта топология отличается от обычных примеров топологий из анализа: например, [[замыкание (геометрия)|замыкание]] точки, соответствующей нулевому идеалу — это всегда весь спектр.
 
Спектрҙың билдәләмәһе коммутатив алгебра һәм [[алгебраик геометрия]] өсөн нигеҙ булып тора. Алгебраик геометрияла спектр <math>\mathcal O</math> [[шәлкем (математика)|шәлкеме]] менән тәьмин ителә. «Арауыҡ һәм унда шәлкем» пары [[аффинлы схема]] тип атала. Аффинлы схема буйынса, [[глобаль киҫелештәр функторы]]н ҡулланып, баштағы ҡулсаны тергеҙергә мөмкин. Улай ғына түгел, был ярашлылыҡ [[функтор (математика)|функториаль]]: ул ҡулсаларҙың һәр ''f'' : ''R'' → ''S'' гомоморфизмына ҡапма-ҡаршы йүнәлештә [[өҙлөкһөҙ сағылыш]]ты ярашлы ҡуя:
Определение спектра является базовым для коммутативной алгебры и [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]]. В алгебраической геометрии спектр снабжается [[пучок (математика)|пучком]] <math>\mathcal O</math>. Пара «пространство и пучок на нём» называется [[аффинная схема|аффинной схемой]]. По аффинной схеме можно восстановить исходное кольцо путём применения [[Функтор глобальных сечений|функтора глобальных сечений]]. Более того, это соответствие [[функтор (математика)|функториально]]: оно сопоставляет каждому гомоморфизму колец ''f'' : ''R'' → ''S'' [[непрерывное отображение]] в противоположном направлении:
: ''Spec S'' → ''Spec R'', ''q'' ↦ ''f''<sup>−1</sup>(''q'') (прообразтеләһә любогониндәй простогоябай идеалаидеалдың простпрообразы ябай).
 
Шулай итеп, аффинлы схемаларҙың һәм коммутатив ҡулсаларҙың категориялары [[категориялар эквивалентлығы|эквивалентлы]]. Ошонан сығып, ҡулсаларға һәм уларҙың гомоморфизмдарына ҡулланылған күп билдәләмәләр геометрик интуициянан килеп сығалар. Аффинлы схемалар [[схема (математика)|схемалар]] өсөн локаль бирелеш булып торалар (яҡынса, нисек '''R'''<sup>''n''</sup> арауыҡтары [[төрлөлөк]]тәр өсөн локаль бирелеш булып торалар, шулай), улар алгебраик геометрияның төп өйрәнеү объекты булып торалар.
Таким образом, категории аффинных схем и коммутативных колец [[эквивалентность категорий|эквивалентны]]. Следовательно, многие определения, применяемые к кольцам и их гомоморфизмам появляются из геометрической интуиции. Аффинные схемы являются локальными данными для [[схема (математика)|схем]] (примерно так же, как пространства '''R'''<sup>''n''</sup> являются локальными данными [[многообразие|многообразий]]), которые представляют собой основной объект изучения алгебраической геометрии.
 
== Ҡулсалар гомоморфизмдары ==
== Гомоморфизмы колец ==
Алгебрала ғәҙәттәгесә гомоморфизм тип алгебраик объекттар араһында уларҙың структураһын һаҡлаусы сағылышты атайҙар. Атап әйткәндә, берәмеге булған (коммутатив) ҡулсаларҙың гомоморфизмы — ул шундай ''f'' : ''R'' → ''S'' сағылышы, бында
Как обычно в алгебре, гомоморфизмом называется отображение между алгебраическими объектами, сохраняющее их структуру. В частности, гомоморфизм (коммутативных) колец с единицей — это отображение ''f'' : ''R'' → ''S'', такое что
: ''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b''), ''f''(''ab'') = ''f''(''a'')''f''(''b'') and ''f''(1) = 1.
 
Был осраҡта ''S'' шулай уҡ ''R''-алгебра була: ысынлап та, ''S''-тың элементтарын ''R''-ҙың элементтарына түбәндәге ҡағиҙә буйынса ҡабатларға мөмкин
В этой ситуации ''S'' также является ''R''-алгеброй: действительно, элементы ''S'' можно умножать на элементы ''R'' по правилу
: ''r'' · ''s'' := ''f''(''r'') · ''s''.
 
''Ядроf'' игомоморфизмының ''образүҙәге'' гомоморфизмаһәм ''fобразы'' — это множестваул ker (''f'') = {''r'' ∈ ''R'', ''f''(''r'') = 0} иһәм im (''f'') = ''f''(''R'') = {''f''(''r''), ''r'' ∈ ''R''} күмәклектәре. Ядро является идеалом вҮҙәк ''R''-ҙа идеал була, аә образ — [[подкольцо]]м ''S''-тың [[аҫҡулса]]һы.
 
== РазмерностьҮлсәнеш ==
{{main|Размерность Крулля}}
Крулль үлсәнеше (йәки тик үлсәнеш) ҡулсаның «үлсәмен» үлсәү ысулы ул. Атап әйткәндә, ул түбәндәге күренештәге ябай идеалдар сынйырының максималь оҙонлоғо ''n''
Размерность Крулля (или просто размерность) является способом измерение «размера» кольца. А именно, это максимальная длина ''n'' цепочки простых идеалов вида
: <math>\mathfrak{p}_0\subsetneq \mathfrak{p}_1\subsetneq \ldots \subsetneq \mathfrak{p}_n</math>.
Мәҫәлән, яландың үлсәнеше 0, сөнки уның бер генә идеалы бар — нуль. Бөтөн һандарҙың үлсәнеше — бер; ябай идеалдарҙың берҙән бер сынйыры түбәндәге күренештә
Например, поле имеет размерность 0, потому что оно имеет только один идеал — нулевой. Размерность целых чисел — единица; единственная цепочка простых идеалов имеет вид
: <math>0 = \mathfrak p_0 \subsetneq p\mathbb Z = \mathfrak p_1</math>, гдебында ''p'' — [[простоеябай числоһан]].
[[Локаль ҡулса]] максималь идеалы ''m'' менән, әгәр уның үлсәнеше ''R/m'' өҫтөндә векторлы арауыҡ кеүек ''m/m<sup>2</sup>'' үлсәнешенә тигеҙ булһа, [[регуляр локаль ҡулса|регуляр]] ҡулса тип атала.
[[Локальное кольцо]] с максимальным иделом ''m'' называется [[регулярное локальное кольцо|регулярным]], если его размерность равна размерности ''m/m<sup>2</sup>'' как векторного пространства над ''R/m''.
 
== Коммутатив ҡулсаларҙы төҙөү ==
«https://ba.wikipedia.org/wiki/Коммутатив_ҡулса» битенән алынған