Википедия

Ялан (алгебра): өлгөләр араһындағы айырма

Интерактивная навигация по истории
← Алдағы үҙгәртеүКиләһе үҙгәртеү →
Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
ВизуальВикитекст
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
1 юл:
{{другие значения| Ялан}}
'''Ялан''' [[Дөйөмдөйөм алгебра|дөйөм алгебрала]] ла — элементтары өсөн [[Ҡушыу#Дөйөм ҡушыу|ҡушыу]], [[Ҡапма-ҡаршы һан|ҡапма-ҡаршы ҡиммәтте]] алыу, ҡабатлау һәм [[Бүлеү (математика)#Алгебрала бүлеү|бүлеү]] ([[Нолгә бүлеү|нулгә бүлеүҙән]] башҡа) [[Операция (математика)|операциялары]] билдәләнгән [[күмәклек]], шуның менән бергә был операцияларҙың үҙсәнлектәре ғәҙәттәге [[Арифметик операциялар|һанлы операцияларҙың]] үҙсәнлектәренә яҡын. Иң ябай ялан булып [[Рациональрациональ һан|рациональ һандар]]дар (кәсерҙәр) яланы тора. Ялан операцияларының атамалары [[Арифметика|арифметикананарифметика]]нан алынған булһа ла, яландың элементтары мотлаҡ һандар түгел икәнен белеп ҡуйырға кәрәк, операцияларҙың билдәләмәләре лә арифметиктан алыҫ булырға мөмкин.
 
Ялан  — [[Яландар теорияһы|яландар теорияһының]] төп өйрәнеү темаһы. [[Рациональ һан|РациональныеРациональ]], [[Ысын һан|ысын]], [[Комплекслы һан|комплекслы]] һандар, бирелгән [[Ябай һан|ябай һандың]] [[Вычеттар ҡулсаһы|модуль буйынса вычеттары]] ялан төҙөйҙәр{{Переход|#Примеры полей}}.
 
== Тарихы ==
Ялан төшөнсәһе сиктәрендә [[1830 йыл]]да уҡ асыҡтан-асыҡ булмаһа ла [[Галуа, Эварист|Галуа]] [[Галуа теорияһы|эшләгән]], яланды [[Алгебраик киңәйтеү|алгебраик киңәйтеү]] идеяһын ҡулланып, бер үҙгәреүсәнле тигеҙләмәне радикалдарҙа сығарыу мөмкин булһын өсөн кәрәкле һәм етерлек шартты таба ала. Аҙағыраҡ [[Галуа теорияһы]] ярҙамында [[түңәрәк квадратураһы]], [[мөйөш трисекцияһы]] һәм [[кубты икеләтеү]] кеүек классик мәсьәләләрҙе сығарыу мөмкин булмауы иҫбат ителә. Ялан төшөнсәһен асыҡтан асыҡ [[Дедекинд, Рихард|Дедекинд]] индергән тип иҫәпләнә (иң башта «''рациональ өлкә''» исеме аҫтында, «ялан» термины [[1871 йыл]]да индерелә). Ғәҙәттәге һандарға бөтә дөйөм алгебраик абстракцияларҙан иң яҡыны булараҡ, ялан [[Һыҙыҡлыһыҙыҡлы алгебра|һыҙыҡлы алгебрала]]ла [[скаляр]] төшөнсәһен универсаллаштырыусы структура булараҡ ҡулланыла,һәм һыҙыҡлы алгебраның төп структураһы  — [[һыҙыҡлы арауыҡ]]  — ирекле яланда конструкция һымаҡ билдәләнә. Шулай уҡ [[яландар теорияһы]] һиҙелерлек дәрәжәлә [[алгебраик геометрия]] һәм [[алгебраик һандар теорияһы]] кеүек бүлектәрҙең инструменталь нигеҙен төҙөй.
 
== Формаль билдәләмәләр ==
<math>F</math> күмәклегендә алгебра, <math>\boldsymbol{0}</math> [[Нейтраль элемент|нейтраль элемент]] менән <math>F</math> күмәклегендә <math>+</math> буйынса [[Абель төркөмө|коммутатив төркөм]] һәм нулдән айырмалы элементтар өҫтөндә ҡабатлау буйыса коммутатив төркөм <math>F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}</math> төҙөүсе, ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата [[дистрибутивлыҡ]] үҙсәнлеге үтәлгән ваҡытта.
 
Юғарыла килтерелгән билдәләмәне асыҡлағанда, <math>F</math> күмәклеге унда индерелгән <math>+</math> ҡушыу һәм <math>*</math> ҡабатлау алгебраик операциялары менән (<math>+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F</math>, йәғни <math>\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F</math>) '''ялан''' <math>\left\langle F,+,*\right\rangle</math> тип атала, әгәр түбәндәге аксиомалар үтәлһә:
# Ҡушыуҙың коммутативлығы: <math> \forall a,b\in F\quad a+b=b+a </math>.
# Ҡушыуҙың ассоциативлығы: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)</math>.
22 юл:
1—4 аксиомалар ҡушыу <math>+</math> буйынса коммутатив төркөмдөң <math>F</math> билдәләмәһенә тап киләләр, 5—8 аксиомалар ҡабатлау <math>*</math> буйынса коммутатив төркөм билдәләмәһенә тап киләләр <math>F\setminus \{\boldsymbol{0}\}</math>, ә 9 аксиома ҡушыу һәм ҡабатлау операцияларын дистрибутив закон менән бәйләй.
 
1-7 һәм 9 аксиомалар  — берәмек менән коммутатив [[коммутатив ҡулса|ҡулсаның]] билдәләмәһе.
 
Ҡабатлауҙың коммутативлыҡ аксиомаһын алып ташлап, [[Есем (алгебра)|есем]] билдәләмәһен алабыҙ.
 
Башҡа структуралар менән бәйле (һуңғараҡ тарихи барлыҡҡа килгән) ялан [[Есем (алгебра)|есем]] булып торған [[коммутатив ҡулса]] һымаҡ билдәләнергә мөмкин. Структуралар иерархияһы түбәндәгесә:
В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как [[коммутативное кольцо]], являющееся [[Тело (алгебра)|телом]]. Иерархия структур следующая:
 
: '''[[Коммутатив ҡулса]]лар''' ⊃ '''[[Бөтөнлөк өлкәһе]]''' ⊃ '''[[Факториаль ҡулса]]лар''' ⊃ '''[[төп идеалдар өлкәһе]]''' ⊃ '''[[Евклид ҡулсаһы|Евклид ҡулсалары]]''' ⊃ '''Яландар.'''
: '''[[Коммутативное кольцо|Коммутативные кольца]]''' ⊃ [[Область целостности|'''Области целостности''']] ⊃ '''[[факториальное кольцо|Факториальные кольца]]''' ⊃ '''[[область главных идеалов|Области главных идеалов]]''' ⊃ '''[[евклидово кольцо|Евклидовы кольца]]''' ⊃ '''Поля.'''
 
== Бәйле билдәләмәләр ==
== Связанные определения ==
Яландар өҫтөндә тәбиғи рәүештә төп дөйөм алгебраик билдәләмәләр индереләләр: ''аҫялан'' тип төп яландан операцияларҙы уға сикләүгә ҡарата үҙе ялан булып торған аҫкүмәклек, [[Яланды киңәйтеү|киңәйеүе]] — бирелгән яланды аҫялан сифатында тотоусы ялан.
Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: ''подполем'' называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, [[Расширение поля|расширением]] — поле, содержащее данное в качестве подполя.
 
''ГомоморфизмЯландарҙың полейгомоморфизмы'' вводитсяшулай такжеуҡ естественнымтәбиғи образомрәүештә индерелә: как отображение <math>f</math>, такое что <math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math>, <math>f(ab)=f(a)\cdot f(b)</math> иһәм <math>f(1)=1</math> тигеҙлектәре үтәлгән <math>f</math> сағылышы итеп. ВАтап частностиәйткәндә, никакойгомоморфизмда обратимыйбер элементниндәй приәйләндерелмәле гомоморфизмеэлемент ненулгә можеткүсә перейти в нольалмай, так каксөнки <math>f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1</math>, следовательноошонан сығып, яландарҙың теләһә ниндәй гомоморфизмы [[ядро (алгебра)|ядроядроһы]] любого гомоморфизма полей нулевоенуль, тойәғни естьяландар гомоморфизм полей являетсягомоморфизмы [[вложениеҡушымта]]м була.
 
{{Якорь|Ябай ялан}}''Ялан характеристикаһы'' — [[ҡулса характеристикаһы]] кеүек үк, берәмектең <math>n</math> күсермәһенең суммаһы нулгә тигеҙ булған иң бәләкәй ыңғай бөтөн һан <math>n</math>:
{{Якорь|Простое поле}}''Характеристика поля'' — то же, что и [[характеристика кольца]], наименьшее положительное целое число <math>n</math> такое, что сумма <math>n</math> копий единицы равна нулю:
: <math>\underbrace{1 + \dots + 1}_n = n 1 = 0.</math>
 
Әгәр ундай һан булмаһа, ул саҡта характеристика нулгә тигеҙ тип иҫәпләнә. Характеристиканы асыҡлау мәсьәләһен ғәҙәттә, теләһә ниндәй яландың теүәл бер аҫяланы бар тигән факт сәбәпле, ''ябай ялан'' төшөнсәһен файҙаланып хәл итәләр — ябай ялан ул үҙенең аҫяландары булмаған ялан.
Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия ''простого поля'' — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.
 
[[Поле Галуа|Поля Галуаяланы]]  — поля,сикле состоящиеһандағы изэлементтарҙан конечноготоған числа элементовялан. НазваныУларҙы вберенсе честь их первого исследователятикшереүсе [[Галуа, Эварист|ЭваристаЭварист Галуа]] хөрмәтенә аталған.
 
== Үҙсәнлектәре ==
== Свойства ==
* Яландың характеристикаһы һәр ваҡыт <math>0</math> йәки [[ябай һан]].
* Характеристика поля всегда <math>0</math> или [[простое число]].
** <math>0</math> характеристикалы яландың [[Рациональ һандар рациональ һандар]] <math>\mathbb Q</math> яланына [[изоморфизм|изоморфлы]] аҫяланы бар.
** Поле характеристики <math>0</math> содержит подполе, [[изоморфизм|изоморфное]] полю [[рациональные числа|рациональных чисел]] <math>\mathbb Q</math>.
** Ябай <math>p</math> характеристикалы яландың вычеттар яланына <math>\Z_p</math> изоморфлы аҫяланы бар.
** Поле простой характеристики <math>p</math> содержит подполе, изоморфное полю вычетов <math>\Z_p</math>.
* Сикле яланда элементтар һаны һәр ваҡыт <math>p^n</math> — ябай һандың дәрәжәһенә тигеҙ.
* Количество элементов в конечном поле всегда равно <math>p^n</math> — степени простого числа.
** ПриШуның этомменән для любого числа видабергә <math>p^n</math> существуеткүренешендәге единственноетеләһә (сниндәй точностьюһан доөсөн берҙән бер ([[Изоморфизм (математика)|изоморфизмаизоморфизмға]]) полетиклем изтеүәллек менән) <math>p^n</math> элементов,элементтан обычноторған ялан бар, обозначаемоеғәҙәттә <math>\mathbb{F}_{p^n}</math> тип тамғалана.
* Яланда [[Нулдең бүлеүсеһе|нулдең бүлеүселәре]] юҡ.
* В поле нет [[Делитель нуля|делителей нуля]].
* Яландың мультипликатив төркөмөнөң теләһә ниндәй сикле аҫтөркөмө [[циклик төркөм|циклик]] аҫтөркөм була. Атап әйткәндә, сикле <math>\mathbb F_q</math> яланының нулдән айырмалы элементтарының мультипликатив төркөмө <math>\mathbb Z_{q-1}</math>гә изоморфлы.
* Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является [[циклическая группа|циклической]]. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля <math>\mathbb F_q</math> изоморфна <math>\mathbb Z_{q-1}</math>.
* [[Алгебраик геометрия]] күҙлегенән ҡарағанда, яландар — нөктәләр, сөнки уларҙың [[спектр кольца|спектры]] теүәл бер нөктәнән — [[идеал (математика)|идеалдан]] {0} тора. Ысынлап та, яландың башҡа [[үҙенең идеалы|үҙенең идеалдары]] юҡ: әгәр идеалға нулдән айырмалы элемент инһә, ул саҡта идеалға бөтә уға тапҡырлы элементтар ҙа инә, йәғни бөтә ялан. Киреһенсә, ялан булмаған [[коммутатив ҡулса]]ға, әйләндерелмәле булмаған (һәм нулдән айырмалы) ''a'' элементы инә. Ул саҡта ''a'' барлыҡҡа килтергән [[төп идеал]] бөтә ҡулса менән тап килмәй һәм ниндәйҙер [[максималь идеал|максималь]] (тимәк [[ябай идеал|ябай]]) идеалға инә, тимәк был ҡулсаның спектрына иң кәме ике нөктә инә.
* С точки зрения [[алгебраическая геометрия|алгебраической геометрии]], поля — это точки, потому что их [[спектр кольца|спектр]] состоит ровно из одной точки — [[идеал (математика)|идеала]] {0}. Действительно, поле не содержит других [[собственный идеал|собственных идеалов]]: если к идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, [[коммутативное кольцо]], не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент ''a''. Тогда [[главный идеал]], порождённый ''a'', не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором [[максимальный идеал|максимальном]] (а следовательно [[простой идеал|простом]]) идеале, а значит спектр этого кольца содержит как минимум две точки.
 
== Яландарға миҫалдар ==
== Примеры полей ==
=== Поля характеристики, равной 0 ===
* <math>\mathbb{Q}</math> — [[рациональные числа]],▼
* <math>\mathbb{R}</math> — [[вещественные числа]],▼
* <math>\mathbb{C}</math> — [[комплексные числа]],▼
* <math>\mathbb{A}</math> — [[алгебраические числа]] над полем рациональных чисел (подполе в поле <math>\mathbb{C}</math>).
* Числа вида <math>a + b\sqrt{2}</math>, <math>a,b\in\mathbb{Q}</math>, относительно обычных операций сложения и умножения. Это один из примеров [[квадратичное поле|квадратичного поля]], которое образует подполе в <math>\mathbb{R}</math>.
* <math>\mathbb{F}(x)</math> — поле [[Рациональная функция|рациональных функций]] вида <math>f(x)/g(x)</math>, где <math>f</math> и <math>g</math> — многочлены над некоторым полем <math>\mathbb{F}</math> (при этом <math>g \ne 0</math>, а <math>f</math> и <math>g</math> не имеют общих делителей, кроме констант).
 
=== 0-гә тигеҙ характеристикалы яландар ===
=== Поля ненулевой характеристики ===
▲* <math>\mathbb{Q}</math>  — [[рациональныерациональ числаһандар]],
Любое конечное поле имеет характеристику, отличную от нуля. Примеры конечных полей: ▼
▲* <math>\mathbb{R}</math>  — [[вещественныеысын числаһандар]],
* <math>\mathbb{Z}_p</math> — поле [[сравнение по модулю натурального числа|вычетов]] по модулю <math>p</math>, где <math>p</math> — простое число.▼
▲* <math>\mathbb{C}</math>  — [[комплексныекомплекслы числаһандар]],
* <math>\mathbb{F}_q</math> — [[конечное поле]] из <math>q=p^k</math> элементов, где <math>p</math> — простое число, <math>k</math> — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.▼
* <math>\mathbb{A}</math> — рациональ һандар яланында [[алгебраик һандар]] (<math>\mathbb{C}</math> яланында аҫялан).
* <math>a + b\sqrt{2}</math> күренешендәге һандар, <math>a,b\in\mathbb{Q}</math>, ғәҙәттәге ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата. Был <math>\mathbb{R}</math>-ҙа аҫялан төҙөгән [[квадратик ялан|квадратик яландың]] миҫалдарының береһе.
* <math>\mathbb{F}(x)</math> — <math>f(x)/g(x)</math> күренешендәге [[Рациональ функция|рациональ функциялар]] яланы, бында <math>f</math> һәм <math>g</math> — ниндәйҙер <math>\mathbb{F}</math> яланы өҫтөндә күпбыуындар (шуның менән бергә <math>g \ne 0</math>, ә <math>f</math> һәм <math>g</math> константтан башҡа уртаҡ бүлеүселәре юҡ).
 
=== Нулдән айырмалы характеристикалы яландар ===
▲Любое конечное поле имеет характеристику, отличную от нуля. Примеры конечных полей:
▲* <math>\mathbb{Z}_p</math>  — поле [[сравнение по модулю натурального числа|вычетов]] по модулю <math>p</math>, где <math>p</math>  — простое число.
▲* <math>\mathbb{F}_q</math>  — [[конечное поле]] из <math>q=p^k</math> элементов, где <math>p</math>  — простое число, <math>k</math>  — натуральное. Все конечные поля имеют такой вид.
Существуют примеры бесконечных полей ненулевой характеристики.
 
«https://ba.wikipedia.org/wiki/Ялан_(алгебра)» битенән алынған