|
Ялан төшөнсәһе сиктәрендә [[1830 йыл]]да уҡ асыҡтан-асыҡ булмаһа ла [[Галуа, Эварист|Галуа]] [[Галуа теорияһы|эшләгән]], яланды [[Алгебраик киңәйтеү|алгебраик киңәйтеү]] идеяһын ҡулланып, бер үҙгәреүсәнле тигеҙләмәне радикалдарҙа сығарыу мөмкин булһын өсөн кәрәкле һәм етерлек шартты таба ала. Аҙағыраҡ [[Галуа теорияһы]] ярҙамында [[түңәрәк квадратураһы]], [[мөйөш трисекцияһы]] һәм [[кубты икеләтеү]] кеүек классик мәсьәләләрҙе сығарыу мөмкин булмауы иҫбат ителә. Ялан төшөнсәһен асыҡтан асыҡ [[Дедекинд, Рихард|Дедекинд]] индергән тип иҫәпләнә (иң башта «''рациональ өлкә''» исеме аҫтында, «ялан» термины [[1871 йыл]]да индерелә). Ғәҙәттәге һандарға бөтә дөйөм алгебраик абстракцияларҙан иң яҡыны булараҡ, ялан [[Һыҙыҡлы алгебра|һыҙыҡлы алгебрала]] [[скаляр]] төшөнсәһен универсаллаштырыусы структура булараҡ ҡулланыла,һәм һыҙыҡлы алгебраның төп структураһы — [[һыҙыҡлы арауыҡ]] — ирекле яланда конструкция һымаҡ билдәләнә. Шулай уҡ [[яландар теорияһы]] һиҙелерлек дәрәжәлә [[алгебраик геометрия]] һәм [[алгебраик һандар теорияһы]] кеүек бүлектәрҙең инструменталь нигеҙен төҙөй.
== Формаль билдәләмәләр ==
== Формальные определения ==
<math>F</math> күмәклегендә алгебра, <math>\boldsymbol{0}</math> [[Нейтраль элемент|нейтраль элемент]] менән <math>F</math> күмәклегендә <math>+</math> буйынса [[Абель төркөмө|коммутатив төркөм]] һәм нулдән айырмалы элементтар өҫтөндә ҡабатлау буйыса коммутатив төркөм <math>F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}</math> төҙөүсе, ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата [[дистрибутивлыҡ]] үҙсәнлеге үтәлгән ваҡытта.
Алгебра над множеством <math>F</math>, образующая [[Абелева группа|коммутативную группу]] по сложению <math>+</math> над <math>F</math> с [[Нейтральный элемент|нейтральным элементом]] <math>\boldsymbol{0}</math> и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами <math>F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}</math>, при выполняющемся свойстве [[дистрибутивность|дистрибутивности]] умножения относительно сложения.
ЕслиЮғарыла раскрытькилтерелгән указанноебилдәләмәне выше определениеасыҡлағанда, то множество <math>F</math> с введёнными на нём алгебраическимикүмәклеге операциямиунда сложенияиндерелгән <math>+</math> иҡушыу умноженияһәм <math>*</math> ҡабатлау алгебраик операциялары менән (<math>+\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F</math>, т. е.йәғни <math>\forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F</math>) называется '''полемялан''' <math>\left\langle F,+,*\right\rangle</math> тип атала, еслиәгәр выполненытүбәндәге следующиеаксиомалар аксиомыүтәлһә:
# КоммутативностьҠушыуҙың сложениякоммутативлығы: <math> \forall a,b\in F\quad a+b=b+a </math>.
# АссоциативностьҠушыуҙың сложенияассоциативлығы: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)</math>.
# СуществованиеНуль нулевогоэлементтың элементабулыуы: <math>\exists \boldsymbol{0}\in F\colon \forall a\in F\quad a+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+a=a</math>.
# СуществованиеҠапма-ҡаршы противоположногоэлементтың элементабулыуы: <math>\forall a\in F\;\exists (-a)\in F \colon a+(-a)=\boldsymbol{0}</math>.
# КоммутативностьҠабатлауҙың умножениякоммутативлығы: <math>\forall a,b\in F\quad a*b=b*a</math>.
# АссоциативностьҠабатлауҙың умноженияассоциативлығы: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)</math>.
# СуществованиеБерәмек единичногоэлементтың элементабулыуы: <math>\exists e\in F \setminus \{ \boldsymbol{0} \}\colon \forall a\in F\quad a*e=a </math>.
# СуществованиеНулдән обратногоайырмалы элементаэлементтар дляөсөн ненулевыхкире элементовэлементтың булыуы: <math>(\forall a\in F\colon a\neq \boldsymbol{0})\;\exists a^{-1}\in F \colon a*a^{-1}=e</math>.
# ДистрибутивностьҠабатлауҙың умноженияҡушыуға относительноҡарата сложениядистрибутивлығы: <math>\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)</math>.
1—4 аксиомалар ҡушыу <math>+</math> буйынса коммутатив төркөмдөң <math>F</math> билдәләмәһенә тап киләләр, 5—8 аксиомалар ҡабатлау <math>*</math> буйынса коммутатив төркөм билдәләмәһенә тап киләләр <math>F\setminus \{\boldsymbol{0}\}</math>, ә 9 аксиома ҡушыу һәм ҡабатлау операцияларын дистрибутив закон менән бәйләй.
Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению <math>+</math> над <math>F</math>, аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению <math>*</math> над <math>F\setminus \{\boldsymbol{0}\}</math>, а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.
1-7 һәм 9 аксиомалар — берәмек менән коммутатив [[коммутатив ҡулса|ҡулсаның]] билдәләмәһе.
Аксиомы 1-7 и 9 — это определение коммутативного [[коммутативное кольцо|кольца]] с единицей.
Ҡабатлауҙың коммутативлыҡ аксиомаһын алып ташлап, [[Есем (алгебра)|есем]] билдәләмәһен алабыҙ.
Исключив аксиому коммутативности умножения, получим определение [[Тело (алгебра)|тела]].
В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как [[коммутативное кольцо]], являющееся [[Тело (алгебра)|телом]]. Иерархия структур следующая:
| 