Векторлы арауыҡ: өлгөләр араһындағы айырма

Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
69 юл:
Кире осраҡта был векторҙар '''һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ''' тип аталалар.
 
Был билдәләмә шундай дөйөмләштереүҙе рөхсәт итә: бесконечное множествоов из <math>V</math> арауығынан векторҙарҙың сикһеҙ күмәклеге '''һыҙыҡлы бәйле''' тип атала, әгәр уның ниндәйҙер ''сикле'' аҫкүмәклеге һыҙыҡлы бәйле булһа, һәм '''һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ''' тип атала, әгәр уның теләһә ниндәй ''сикле'' аҫкүмәклеге һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ булһа.
 
Векторлы арауыҡтың максималь һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ элементтар күмәклегенең элементтары һаны ([[Күмәклектең ҡеүәте|ҡеүәте]]){{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=14}} был күмәклекте һайлауға бәйле түгел икәнен күрһәтергә мөмкин. Был һан арауыҡтың '''рангы''', йәки '''үлсәнеше''' тип атала, ә был күмәклек үҙе — '''[[базис]]''' (''Га́мель базисы'' йәки ''һыҙыҡлы базис'') тип атала. Базистың элементытарын '''базислы векторҙар''' тип атайҙар. Арауыҡтың үлсәнеше йыш ҡына <math>{\rm dim}</math> символы менән тамғалана.
 
Шулай итеп, векторлы арауыҡтың үлсәме йә тиҫкәре булмаған бөтөн һан була (айырым алғанда, нулгә тигеҙ, әгәр арауыҡ бер генә нуль векторҙан торһа), йәки сикһеҙлек була (теүәлерәк әйткәндә, сикһеҙ күмәклектең ҡеүәте). Беренсе осраҡта векторлы арауыҡ ''сикле үлсәмле'', ә икенсе осраҡта — ''сикһеҙ үлсәмле'' була (мәҫәлән, [[өҙлөкһөҙ функциялар арауығы]] сикһеҙ үлсәмле була). Традиция булараҡ, сикле үлсәмле векторлы арауыҡтарҙы һәм [[Һыҙыҡлы сағылыш|уларҙың сағылыштарын]] өйрәнеү [[Һыҙыҡлы алгебра|һыҙыҡлы алгебраға]] ҡарай, ә сикһеҙ үлсәмле векторлы арауыҡтарҙы өйрәнеү — [[Функциональ анализ|функциональ анализға]] ҡарай. Икенсе осраҡта бирелгән элементтың бирелгән сикһеҙ функциялар системаһы буйынса тарҡалыусанлығы мәсьәләһе һиҙелерлек роль уйнай, йәғни ярашлы сикһеҙ суммаларҙың [[Эҙмә-эҙлелек сикләмәһе|йыйылыусанлығы]], бының өсөн сикһеҙ үлсәмле векторлы арауыҡ ыйылыусанлыҡтыйыйылыусанлыҡты билдәләргә мөмкинлек биреүсе өҫтәлмә структура менән бергә ҡарала, мәҫәлән, [[Метрик арауыҡ|метрика]] йәки [[Топологик арауыҡ|топология]] менән.
 
Базис үҙсәнлектәре:
82 юл:
 
=== Һыҙыҡлы көплөк ===
'''Линейная оболочка''' <math>\mathcal V(X)</math> һыҙыҡлы подмножестваарауығының <math>X</math> линейного пространствааҫкүмәклегенең <math>\mathcal V(X)</math> — пересечение'''һыҙыҡлы всехкөплөгө''' подпространств <math>V</math>, содержащихһыҙыҡлы арауығының <math>X</math> ингән бөтә аҫарауыҡтарының киҫелеше.
 
Һыҙыҡлы көплөк <math>V</math> һыҙыҡлы арауығының аҫарауығы була.
Линейная оболочка является подпространством <math>V</math>.
 
Һыҙыҡлы көплөк шулай уҡ <math>X</math> '''барлыҡҡа килтергән аҫарауығы''' тип атала. Шулай уҡ, <math>\mathcal V(X)</math> һыҙыҡлы көплөгө — <math>X</math> күмәклегенә '''ябындырылған''' арауыҡ тип тә әйтәләр.
Линейная оболочка также называется '''подпространством, порожденным''' <math>X</math>. Говорят также, что линейная оболочка <math>\mathcal V(X)</math> — пространство, '''натянутое на''' множество <math>X</math>.
 
<math>\mathcal V(X)</math> һыҙыҡлы көплөгө <math>X</math>-тан алынған элементтарҙың төрлө сикле аҫсистемаларының бөтә мөмкин булған һыҙыҡлы комбинацияларынан тора. Айырым алғанда, әгәр <math>X</math> — сикле күмәклек булһа, ул саҡта <math>\mathcal V(X)</math> <math>X</math>-тың элементтарының бөтә һыҙыҡлы комбинацияларынан тора. Шулай итеп, нуль вектор һәр ваҡыт һыҙыҡлы көплөккә инә.
Линейная оболочка <math>\mathcal V(X)</math> состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из <math>X</math>. В частности, если <math>X</math> — конечное множество, то <math>\mathcal V(X)</math> состоит из всех линейных комбинаций элементов <math>X</math>. Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.
 
ЕслиӘгәр <math>X</math> — линейноһыҙыҡлы независимоебәйләнешһеҙ множествокүмәклек булһа, тоул оносаҡта являетсяул базисомбазис <math>\mathcal V(X)</math> ибула һәм темшуның самымменән определяетуның егоүлсәмен размерностьбилдәләй.
 
== ПримерыМиҫалдар ==
* Нуль арауыҡ, уның берҙән бер элементы ноль.
* Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
* Бөтә функциялар арауығы <math>X\to F</math> сикле вәкилдәре менән <math>X</math>-тың [[Күмәклек ҡеүәте|ҡеүәтенә]] тигеҙ булған үлсәмле векторлы арауыҡ төҙөй.
* Пространство всех функций <math>X\to F</math> с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной [[Мощность множества|мощности]] <math>X</math>.
* [[Ысын һан|Ысын һандар]] [[Ялан (алгебра)|яланы]] [[рациональ һан|рациональ һандар]] яланында [[Континуум (күмәклектәр теорияһы)|континуаль]]-үлсәмле векторлы арауыҡ кеүек ҡаралырға мөмкин.
* [[Поле (алгебра)|Поле]] [[вещественное число|действительных чисел]] может быть рассмотрено как [[Континуум (теория множеств)|континуально]]-мерное векторное пространство над полем [[рациональное число|рациональных чисел]].
* Теләһә ниндәй ялан үҙе өҫтөндә бер үлсәмле арауыҡ булып тора.
* Любое поле является одномерным пространством над собой.
* Пространства [[Матрица (математика)|матрицматрицалар]] иһәм [[тензор]]овҙар образуютарауыҡтары линейноеһыҙыҡлы пространствоарауыҡ төҙөйҙәр.
 
== Өҫтәлмә структуралар ==
* [[Нормалаштырылған векторлы арауыҡ]]
* [[Метрическое векторлы арауыҡ]]
* [[ТопологическоеТопологик векторлы арауыҡ]]
* [[Евклид арауығы]]
* [[Минковский арауығы]]