Төркөм (математика): өлгөләр араһындағы айырма

Эстәлек юйылған Эстәлек өҫтәлгән
Үҙгәртеү аңлатмаһы юҡ
5 юл:
Төркөм миҫалдарының береһе — [[Ҡушыу|ҡушыу]] ғәмәле менән тәьмин ителгән [[Бөтөн һан|бөтөн һандар]] күмәклеге: теләһә ниндәй ике бөтөн һандың суммаһы шулай уҡ бөтөн һанды бирә, нейтраль элемент ролен [[Нуль (һан)|ноль]] уйнай, ә ҡапма-ҡаршы тамғалы һан кире элемент була. Башҡа миҫалдар — ҡушыу ғәмәле менән [[Ысын һан|ысын һандар]] күмәклеге, [[Яҫылыҡ (математика)|яҫылыҡтың]] [[Координаталар башы|координаталар башы]] тирәләй [[әйләнеш|әйләнештәр]] күмәклеге. Төркөмгә [[Аксиомалар системаһы|аксиомалар системаһы]] аша, төҙөүсе күмәклектәрҙең үҙенсәлегенә бәйләнмәгән абстракт билдәләмә биреү арҡаһында, төркөмдәр теорияһында дөйөм үҙсәнлектәре һәм уларҙың структураһы күҙлегенән төрлө сығышлы математик объекттарҙы өйрәнеү өсөн универсаль аппарат булдырылған. Математикала һәм унан ситтә төркөмдәрҙең һәр ерҙә ҡыҫылғанлығы уларҙы хәҙерге математикала һәм уның ҡушымталарында мөһим конструкция итә.
 
Төркөм [[Симметрия|симметрия]] төшөнсәһенә фундаменталь оҡшаш һәм уның бөтә сағылыштарын өйрәнеүҙә мөһим инструмент булып тора. Мәҫәлән, [[симметрия төркөмө]] [[Геометрия|геометрик]] объекттың үҙсәнлектәрен сағылдыра: ул объектты үҙгәрешһеҙ ҡалдырған үҙгәртеүҙәр күмәклегенән һәм ике бер береһенең артынса килгән шундай үҙгәртеүҙәрҙе комбинациялау операцияһынан тора. [[Нөктә кеүек симметрия төркөмө]] кеүек симметрия төркөмдәре химияла молекуляр симметрия күренешен аңларға ярҙам итә; [[Пуанкаре төркөмө]] [[Арауыҡ-ваҡыт|арауыҡ-ваҡыттың]] симметрияһын характерлай, ә [[махсус унитар төркөм]]дәр [[Элементар өлөшсәләр физикаһы|элементар өлөшсәләр физикаһының]] [[Стандарт модель|стандарт моделендә]] ҡулланылалар <ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд.|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 9-149—14|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>.
 
Төркөм төшөнсәһен [[Эварист Галуа]], [[күпбыуын]]дарҙы өйрәнгәндә [[1830-сы йылдарҙа]] индерә<ref name = "Kleiner"/>.
27 юл:
** <math>a*b = b*a</math> тигеҙлеге үтәлгән <math>a,\;b</math> элементтары пары ''алмаштырып ҡуйылмалы'' йәки ''коммутирлаусы'' тип аталалар.
** Төркөмдөң бөтә элементтары менән алмаштырып ҡуйылмалы элементтар күмәклеге ''[[төркөмдөң үҙәге]]'' тип атала.
** Теләһә ниндәй ике элементы коммутирланған төркөм [[АбелевАбель төркөмө|''коммутативлы'' йәки ''абелевАбель'']] төркөмө тип атала.
* ''[[Аҫтөркөм]]'' — <math>G</math> төркөмөнөң, <math>G</math>-ла билдәләнгән операцияға ҡарата төркөм булып торған <math>H</math> аҫкүмәклеге ул.
* <math>(G,*)</math> ''төркөмөнөң тәртибе'' — <math>G</math> [[күмәклек ҡеүәте|ҡеүәте]] (йәғни уның элементтары һаны).
63 юл:
 
== Миҫалдар ==
Төркөмдәрҙең ғәйәт ҙур һанда миҫалдары һәм шулай уҡ уларҙың хәҙерге кешелек донъяһында ҡулланылышы бар. Ҡушыу ғәмәле менән бәйле [[Бөтөн һан|бөтөн һандар]] күмәклеге аддитив төркөм йәки ҡушыу буйынса төркөм тип атала. Множество Ҡабатлау ғәмәле менән <math>0</math>-дән башҡа [[Рациональ һан|рациональ һандар]] күмәклеге мультипликатив төркөм була. Был төркөмдәр [[Дөйөм алгебра|дөйөм алгебра]] бүлегендә мөһим конструкцияларҙың барлыҡҡа килеүенә башланғыс булалар.
Төркөмдәр математиканың төрлө өлкәләрендә ҡулланылалар. Математик объекттарҙы йыш ҡына артабан уларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеү өсөн төркөмдәр менән бәйләйҙәр. Мәҫәлән, [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]] [[Фундаменталь төркөм|фундаменталь төркөм]] төшөнсәһе индереп, [[Топология|топологияға]] нигеҙ һала<ref>{{книга|автор = Hatcher Allen|заглавие = Algebraic topology|издательство = Cambridge University Press|место = Cambridge|год = 2002|pages =30|isbn = 978-0-486-45868-7}}</ref>.
Төркөмдәрҙең теоретик ҡулланылышынан тыш уларҙы практикала ҡулланыуҙың күп ысулдары бар. Миҫалға, улар [[Төркөмдәрҙең иҫәпләү теорияһы|төркөмдәрҙең иҫәпләү теорияһына]] һәм [[алгоритм]]дар өлкәһендәге белемдәргә нигеҙләнгән [[Криптография|криптографияла]] ҡулланылалар.
83 юл:
 
[[Файл:Cyclic group.svg|right|thumb|upright|Берҙән 6 комплекслы тамыр циклик төркөм төҙөй]]
* '''[[Циклик төркөм|Циклик төркөмдәр]]''' бер <math>a</math> элементының дәрәжәләренән <math>\langle a \rangle = \{ a^n \mid n \in \mathbb{Z} \}</math> тора. <math>a</math> элементы циклик төркөмдөң '''''төҙөүсеһе''''' тип атала. Циклик төркөмдәр һәр ваҡыт коммутатив. Телгә алынған ҡушыу буйынса бөтөн һандар бындай төркөмдөң миҫалы булып тора. <math>n</math> [[Берҙең тамырҙары|берҙең комплекслы тамырҙарынан]] торған төркөм циклик төркөм була, йәғни <math>|z^n| = 1</math> шартын һәм комплекслы һандарҙы ҡабатлау ғәмәлен ҡәнәғәтләндергән <math>z</math> [[Комплекслы һан|комплекслы һандар]] төркөмө<ref>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =162—163|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>. МультипликативнаяМультипликатив конечнаясикле группатөркөм <math>(\mathrm{G}, \cdot)</math> шулай уҡ циклик төркөм була. Мәҫәлән, <math>3</math> <math>n = 5</math> булғанда <math>\mathrm{G}</math> төркөмөнөң төҙөүсе элементы була:
</math> также является циклической. Например, <math>3</math> является образующим элементом группы <math>\mathrm{G}
</math> при <math>n = 5</math>:
 
:<math> \begin{align}
Юл 118 ⟶ 116:
Төркөмдө бирергә мөмкин:
 
* С помощью [[ТөркөмдөңТөркөмдө Порождающеебарлыҡҡа множествокилтереүсе группыкүмәклек|порождающегобарлыҡҡа множествакилтереүсе күмәклек]] ярҙамында<ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 24|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref> иһәм уның элементтары араһында [[ЗаданиеТөркөмдө группыбиреү|наборабәйләнештәр соотношениййыйылмаһы]] между его элементамиярҙамында;
* [[Фактор төркөм]] <math>G / H</math> менән, бында <math>G </math> — ниндәйҙер төркөм һәм <math>H</math> — уның [[нормаль аҫтөркөмө]]<ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 45—46|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>;
* [[Факторгруппа|Факторгруппой]] <math>G / H
* Ике төркөмдөң [[Ярым тура ҡабатландыҡ|ярым тура ҡабатландығы]] менән һәм, айырым алғанда,
</math>, где <math>G
** Ике <math>(G, \cdot )</math> һәм <math>(H, \cdot )</math> төркөмдәренең ''тура ҡабатландығы'' менән, йәғни компоненттар буйынса ҡабатлау ғәмәле индерелгән <math>G \times H</math> парҙары күмәклеге: <math>(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2)</math><ref>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =409, 415|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>;
</math> — некоторая группа и <math>H
* Ике төркөмдөң [[Ирекле ҡабатлау|ирекле ҡабатландығы]] менән: <math>G </math> һәм <math>H</math> төркөмдәренең ирекле ҡабатландығы төркөм, төҙөүселәр системаһы<ref>''Ленг С.''&nbsp;Алгбра. {{М.}}:&nbsp;Мир, 1964. С.&nbsp;23.</ref> которой есть объединение систем образующих <math>G </math> и <math>H</math>, a система соотношений<ref>''Ленг С.''&nbsp;Алгбра. {{М.}}:&nbsp;Мир, 1964. С.&nbsp;52.</ref> есть объединение систем соотношений <math>G </math> и <math>H</math<ref>{{книга|автор =Ольшанский А. Ю.|заглавие = Геометрия определяющих соотношений в группе|издательство = Наука|год = 1989|страницы = 330—331|страниц = 448|isbn = 5-02-013916-5}}</ref>.
</math> — её [[нормальная подгруппа]]<ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 45—46|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>;
* [[Полупрямое произведение|Полупрямым произведением]] двух групп и, в частности,
** ''Прямым произведением'' двух групп <math>(G, \cdot )
</math> и <math>(H, \cdot )
</math>, то есть множеством <math>G \times H
</math> пар, наделённым операцией покомпонентного умножения: <math>(g_1, h_1) \cdot (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \cdot h_2)
</math><ref>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =409, 415|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>;
* [[Свободное произведение|Свободным произведением]] двух групп: свободное произведение групп <math>G
</math> и <math>H
</math> есть группа, система образующих<ref>''Ленг С.''&nbsp;Алгбра. {{М.}}:&nbsp;Мир, 1964. С.&nbsp;23.</ref> которой есть объединение систем образующих <math>G
</math> и <math>H
</math>, a система соотношений<ref>''Ленг С.''&nbsp;Алгбра. {{М.}}:&nbsp;Мир, 1964. С.&nbsp;52.</ref> есть объединение систем соотношений <math>G
</math> и <math>H
</math><ref>{{книга|автор =Ольшанский А. Ю.|заглавие = Геометрия определяющих соотношений в группе|издательство = Наука|год = 1989|страницы = 330—331|страниц = 448|isbn = 5-02-013916-5}}</ref>.
 
== ИсторияТарихы ==
СовременноеТөркөмдөң понятиехәҙерге группытөшөнсәһе математиканың сформировалосьбер изнисә несколькихтармағынан областейбарлыҡҡа математикикилә. ПервоначальнойИң движущейбашта силойтөркөмдәр теориитеорияһының группалға этәреүсе көстәре булып былидүртенсенән поискиюғарыраҡ решенийдәрәжәләге [[АлгебраическоеАлгебраик уравнениетигеҙләмә|алгебраическихалгебраик уравненийтигеҙләмәләрҙең]] степенисығарылыштарын вышеэҙләү четырёхтора. Французский математик 19-госы быуаттың француз векаматематигы [[Галуа, Эварист|Эварист Галуа]], доработав исследования [[Руффини, Паоло|Руффини]] иһәм [[Лагранж, Жозеф Луи|ЛагранжаЛагранждың]], далтикшеренеүҙәрен критерийэшләп разрешимостибөтөрөп, конкретногоконкрет алгебраическогоалгебраик уравнениятигеҙләмәнең, суның точки зрениясығрылыштарының [[СимметрическаяСимметрик группатөркөм|группысимметрия симметриитөркөмө]] егокүҙлегенән, решений.сиселеү Элементыкритерийын такойбирә. группыГалуаның Галуаундай соответствуюттөркөмдәренең определённым перестановкамэлементтары [[КореньКүпбыуын многочленатамыры|корнейтамырҙарҙың]] билдәле бер алмаштырмаларына ярашлы. ИдеиГалуаның Галуаидеялары былизамандаштары отвергнутытарафынан современникамикире иҡағыла опубликованыһәм посмертноуның вафатынан һуң [[Лиувилль, Жозеф|ЛиувиллемЛиувилль]] втарафынан 1846 году.йылда Опираясьбаҫылып насыға. теГалуа жекеүек работы,шул чтоуҡ ихеҙмәттәргә Галуатаянып, [[Коши, Огюстен Луи|Коши]] подробноалмаштырмалар исследовалтөркөмөн группыентекле перестановоктикшерә<ref name = "Kleiner">{{статья|автор = Israel Kleiner.|заглавие = The Evolution of Group Theory: A Brief Survey|язык = en|издание = [[Mathematics Magazine]]|тип = журнал|год = 1986|месяц = 10|том = 59|номер = 4|страницы = 195-215|doi = 10.2307/2690312|mr = 863090}}</ref>. Впервые понятие [[Конечная группа|конечной группы]] вводит [[Кэли, Артур|Артур Кэли]] в 1854 году в своей работе «Глава по теории групп, зависящих от символического уравнения θ<sup>n</sup> = 1» ({{lang-en|"On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ<sup>n</sup><math>=</math>1"}})<ref>Cayley (1854) "«On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ<sup>n</sup> = 1"», ''Philosophical Magazine'', 4th series, ''' (42) : 40–4740-47.</ref>.
 
[[Геометрия]] — төркөмдәр систематик рәүештә ҡулланылған икенсе өлкә, бигерәк тә, немец математигы [[Клейн, Феликс|Феликс Клейндың]] «[[Эрланген — Нюрнберг университеты|Эрланген]] программаһы» өлөшө булараҡ, симметрия төркөмө. Геометрияның [[Лобачевский геометрияһы|гиперболик]] һәм [[һыҙма геометрия]] кеүек яңы бүлектәре барлыҡҡа килгәндән һуң, Клейн төркөмдәр теорияһын уларҙы яҡшыраҡ бергәләп хәл итеү өсөн ҡуллана. Был идеяларҙы артабан үҫтереү математикаға 1884 йылда [[Ли төркөмө|Ли төркөмө]] төшөнсәһен индереүгә килтерҙе <ref name = "Kleiner"/>.
[[Геометрия]] — вторая область, где группы применялись систематически, особенно группы симметрии как часть «[[Университет Эрлангена — Нюрнберга|Эрлангенской]] программы» немецкого математика [[Клейн, Феликс|Феликса Клейна]]. После возникновения новых разделов геометрии, таких как [[Геометрия Лобачевского|гиперболическая]] и [[Проективная геометрия|проективная геометрии]], Клейн использовал теорию групп для их лучшего согласования. Дальнейшее развитие этих идей приводит к введению понятия [[Группа Ли|группы Ли]] в математику в 1884 году<ref name = "Kleiner"/>.
 
ТретьяТөркөмдәр областьтеорияһы математики,үҫешенә поспособствовавшаясәбәпсе развитиюбулған теорииматематиканың группөсөнсө өлкәһе,  — [[теорияһандар чиселтеорияһы]]. НекоторыеҠайһы бер [[АбелеваАбель группатөркөмө|абелевыАбель группытөркөмдәре]] были неявно использованы в работе [[Гаусс, Карл Фридрих|ГауссаГаусстың]] «[[Арифметические исследования]]» (1801) хеҙмәтендә йәшерен ҡулланыла. В 1847 годуйылда [[Куммер, Эрнст Эдуард|Эрнст Куммер]] сделалберенсе первыетапҡыр попыткиябай доказатьһандарға тарҡатыуҙы тасуирлаусы [[ВеликаяФерманың теоремабөйөк Ферматеоремаһы|ВеликуюФерманың теоремубөйөк Ферматеоремаһын]] стөркөмдәр помощьюярҙамында групп, описывающих разложения на простыеиҫбатларға числаматаша. В 1870 годуйылда [[Кронекер, Леопольд|Кронекер]] обобщил работыКуммерҙың Куммерахеҙмәттәрен идөйөмләштерә далһәм близкоесикле кАбель современномутөркөмөнөң определениехәҙергегә конечнойяҡын абелевойбилдәләмәһен группебирә<ref name = "Kleiner"/>.
 
ОбособлениеТөркөмдәр теориитеорияһының групп началось с работыайырымланыуы [[Жордан, Мари Энмон Камиль|КамиляКамиль ЖорданаЖордандың]] «Трактат о заменах и алгебраических уравнениях» (1870) хеҙмәтенән һуң башлана<ref>{{книга| автор = Wussing, Hans.|заглавие = The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory|издание = Review of General Psychology|место = [[Нью-Йорк]]|издательство = [[Dover Publications]]|год = 2007|pages = 154| isbn = 978-0-486-45868-7 }}</ref>. В 20 векебыуатта теориятөркөмдәр групптеорияһы началаәүҙем активноүҫешә развиватьсябашлай. Появились на свет пионерская работа [[Фробениус, Фердинанд Георг|ФробениусаФробениустың]] иһәм [[Бёрнсайд, Уильям|БёрнсайдаБёрнсайдтың]] о представлении [[КонечнаяСикле группатөркөм|конечныхсикле групптөркөмдәрҙе]], модульнаякүҙаллау теориятураһында представленийтәүге Ричардахеҙмәттәре, БраураРичард иБраурҙың записикүҙаллауҙарҙың модулле теорияһы һәм [[Шур, Исай|ШураШурҙың]]. Значительныхяҙмалары успеховдонъя вкүрә. изученииЛи теориитөркөмө групптеорияһын Ли иһәм локальнолокаль компактныхкомпактлы групптөркөмдәрҙе достиглиөйрәнеүҙә [[Вейль, Герман|Вейль]] иһәм [[Картан, Анри|Картан]]. Алгебраическимһиҙелерлек дополнениемуңыштарға этихөлгәшәләр. теорийБеренсе стала теория [[Алгебраическая группа|алгебраических групп]], впервые сформулированнаябулып [[Шевалле, Клод|КлодомКлод Шевалле]] формулировкалаған, позднее упоминаемая в работахаҙағыраҡ [[Борель, Арман|БореляБорель]] иһәм [[Титс, Жак|ТитсаТитстың]] хеҙмәттәрендә телгә алынған [[Алгебраик төркөм|алгебраик төркөмдәр]] теорияһы был теорияларҙың алгебраик өҫтәмәһе булып тора<ref name = "Kleiner"/>.
 
В 1960—61 учебном годууҡыу вйылында [[ЧикагскийЧикаго университетуниверситеты|ЧикагскомЧикаго университетеуниверситетында]] проходилтөркөмдәр годтеорияһы теориийылы группүтә, который собрал вместе таких теоретиков какул Даниель Горенстейн, [[Томпсон, Джон Григгс|Джон Томпсон]] иһәм Уолтер Фейт кеүек теоретиктарҙы бергә туплай, темшуның самымменән заложивкүп фундаментһандағы сотрудничестваматематиктарҙың большогохеҙмәттәшлегенә числанигеҙ математиковһала, которыеулар впоследствииһуңынан вывели1980-се йылдарҙа [[КлассификацияЯбай простыхсикле конечныхтөркөмдәрҙе группклассификациялау|теоремубөтә оябай классификациисикле всехтөркөмдәрҙе простыхклассификациялау конечныхтураһында групптеорема]] в 1980-х годахсығаралар. ЭтотБыл проект превысилүҙенең поүлсәмдәре своимбуйынса размерамбөтә всеалдағы предыдущиетөркөмдәрҙе попыткиклассификацияларға классифицироватьматашыуҙарҙы группыүтеп китә, какиҫбатлау пооҙонлоғо длинебуйынса доказательствла, такбыл иэшкә пойәлеп количествуителгән учёных,ғалимдарҙың вовлечённыхһаны вбуйынса эту работула. Текущие исследованияАғымдағы направленытикшеренеүҙәр натөркөмдәрҙе упрощениеклассификациялауҙы классификацииябайлаштырыуға группйүнәлтелгән. ВХәҙерге настоящееваҡытта времятөркөмдәр теориятеорияһы группәүҙем продолжаетүҫешеүен активноһәм развиватьсяматематиканың иҡалған оказыватьбүлектәренә влияниетәьҫир наитеүҙе остальныедауам разделыитә математики<ref name=autogenerated1 /><ref>{{статья|автор = Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov|заглавие = Walter Feit (1930–2004)|ссылка =http://www.ams.org/notices/200507/fea-feit.pdf Walter Feit (1930–2004)|язык = en|издание = Notices of the American Mathematical Society|тип = журнал|год = 2005|месяц = 8|том = 52|номер = 7|страницы = 728-735728—735}}</ref><ref>{{книга|автор = Wilson, Robert A.|заглавие = The finite simple groups | издание = Graduate Texts in Mathematics|место = Нью-Йорк|издательство = [[Springer-Verlag]] |год =2009 |pages = 2-52—5| isbn = 978-1-84800-987-5 | doi=10.1007/978-1-84800-988-2}}</ref>.
 
== Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр ==
== Вариации и обобщения ==
* [[Магма (алгебра)|Группоид]]  множествокүмәклек сунда заданной на нёмбирелгән [[БинарнаяБинар операция|бинарнойбинар операциейоперация]] менән<ref>{{книга|автор =Белоусов В. Д. |заглавие =Основы теории квазигрупп и луп|издательство = Наука|год = 1967|страницы = 5|страниц = 223|тираж = 2800}}</ref>.
* [[Квазитөркөм (математика)|Квазитөркөм]] — [[Группоид (алгебра)|группоид]], состоящий из ниндәйҙер <math>Q</math> күмәклегенән һәм шундай <math>\cdot</math> бинар операцияһынан тора, теләһә ниндәй <math>a,b \in Q</math> өсөн берҙән бер шундай <math>x</math> һәм <math>y</math> элементтары бар, бында <math>a \cdot x =b</math> һәм <math>y \cdot a = b</math><ref>{{книга|автор =Белоусов В. Д. |заглавие =Основы теории квазигрупп и луп|издательство = Наука|год = 1967|страницы = 6|страниц = 223|тираж = 2800}}</ref>.
* [[Квазигруппа (математика)|Квазигруппа]] — [[Группоид (алгебра)|группоид]], состоящий из некоторого множества <math>Q
* [[Ярымтөркөм]] — [[алгебраик система]] унда бирелгән [[Ассоциатив ғәмәл|ассоциатив]] бинар операция менән. [[Натураль һан|Натураль һандар]] күмәклеге ҡушыу ғәмәле менән натураль һандарҙың аддитив ярымтөркөмөн төҙөйҙәр<ref name=autogenerated4>{{книга|автор =Куликов Л. Я. |заглавие = Алгебра и теория чисел|издательство = Высшая школа|год = 1979|страницы = 346—347|страниц = 559|тираж = 40000}}</ref>.
</math> и бинарной операции <math>\cdot
* <math>G</math> күмәклеге унда бирелгән, тәүге ике аксиоманы ғына ҡәнәғәтләндергән <math>\cdot</math> [[бинар операция]]һы менән, [[моноид]] тип атала. Натураль һандар күмәклеге нуль менән натураль һандарҙың аддитив моноидын төҙөй<ref name=autogenerated4 />.
</math>, такой что для любых <math>a,b \in Q
</math> найдутся единственные элементы <math>x
</math> и <math>y
</math>, такие что <math>a \cdot x =b
</math> и <math>y \cdot a = b
</math><ref>{{книга|автор =Белоусов В. Д. |заглавие =Основы теории квазигрупп и луп|издательство = Наука|год = 1967|страницы = 6|страниц = 223|тираж = 2800}}</ref>.
* [[Полугруппа]] — [[алгебраическая система]] с заданной на ней [[Ассоциативная операция|ассоциативной]] бинарной операцией. Множество [[Натуральное число|натуральных чисел]] с операцией сложения образуют аддитивную полугруппу натуральных чисел<ref name=autogenerated4>{{книга|автор =Куликов Л. Я. |заглавие = Алгебра и теория чисел|издательство = Высшая школа|год = 1979|страницы = 346—347|страниц = 559|тираж = 40000}}</ref>.
* Множество <math>G
 
== Өҫтәлмә структуралы төркөмдәр ==
</math> с заданной на нём [[бинарная операция|бинарной операцией]] <math>\cdot
Күп төркөмдәр бер үк ваҡытта ниндәй ҙә булһа башҡа (өҫтәлмә) математик структураға эйә булалар. [[Категориялар теорияһы]] телендә был — [[Категория (математика)|категорияла]] [[Төркөм объекты|төркөм объекттары]]; икенсе төрлө әйткәндә, был — улар өсөн ([[морфизм]]дар тип аталған), төркөмдөң аксиомаларына эйәргән ниндәйҙер үҙгәртеүҙәр класы бирелгән объекттар (йәғни, мәҫәлән, билдәле бер математик структураға эйә булған күмәклектәр). Атап әйткәндә, һәр төркөм (элекке билдәләнгән мәғәнәлә) бер үк ваҡытта [[күмәклек]] була, шуға күрә төркөм [[Категориялар теорияһы|күмәклектәр категорияһында]] төркөм объекты '''''Set''''' (был категорияла морфизмдар — күмәклектәрҙең [[сағылыш|сағылыштары]])<ref name=autogenerated3>{{книга|автор = Букур И., Деляну А.|часть = Введение|заглавие= Введение в теорию категорий и функторов|оригинал= Introduction to the theory of categories and functors|ответственный = пер. с англ. {{nobr|Д. А. Райкова }}, {{nobr|В. Ф. Ретах }}| место= М.|издательство = Мир|год = 1972|страницы= 9—10|страниц = 259}}</ref>.
</math>, удовлетворяющее только первым двум аксиомам, называется [[моноид]]ом. Множество натуральных чисел с нулём образуют аддитивный моноид натуральных чисел<ref name=autogenerated4 />.
 
=== Ҡулсалар ===
== Группы с дополнительной структурой ==
{{main|Ҡулса (математика)}}
Многие группы одновременно обладают какой-либо другой (дополнительной) математической структурой. На языке [[Теория категорий|теории категорий]] это — [[Групповой объект|групповые объекты]] в [[Категория (математика)|категории]]; иными словами, это — объекты (т.е., например, множества, обладающие определённой математической структурой), для которых задан класс некоторых преобразований (именуемых [[морфизм]]ами), следующих аксиомам группы. В частности, всякая группа (в ранее определённом смысле) одновременно является [[множество]]м, так что группа есть групповой объект в [[Теория категорий|категории множеств]] '''''Set''''' (морфизмы в этой категории — [[отображение|отображения]] множеств)<ref name=autogenerated3>{{книга|автор = Букур И., Деляну А.|часть = Введение|заглавие= Введение в теорию категорий и функторов|оригинал= Introduction to the theory of categories and functors|ответственный = пер. с англ. {{nobr|Д. А. Райкова }}, {{nobr|В. Ф. Ретах }}| место= М.|издательство = Мир|год = 1972|страницы= 9—10|страниц = 259}}</ref>.
 
'''Ҡулса''' — [[Коммутатив операция|коммутатив]] ҡушыуҙың һәм (коммутатив булыуы мотлаҡ булмаған) ҡабатлауҙың [[Бинар операция|бинар операциялары]] билдәләнгән <math>K</math> [[күмәклек|күмәклеге]], шуның менән бергә ҡушыуға ҡарата ''К'' төркөм төҙөй, ә ҡабатлау ҡушыу менән [[Дистрибутивлыҡ|дистрибутив]] закон менән бәйләнгән.
===Кольца===
{{main|Кольцо (математика)}}
 
Ҡулсаны коммутатив һәм [[Ассоциатив операция|ассоциатив]] тип атайҙар, әгәр унда бирелгән ҡабатлау ғәмәле коммутатив һәм ярашлы рәүештә ассоциатив булһа. Ҡулсаның элементы <math>1</math> берәмек тип атала, әгәр ошо шарт үтәлһә: <math>a \cdot 1 = 1 \cdot a = a</math>, бында <math>a</math> — ҡулсаның теләһә ниндәй элементы.
'''Кольцо''' — [[множество]] <math>K
</math>, на котором определены [[Бинарная операция|бинарные операции]] [[Коммутативная операция|коммутативного]] сложения и (не обязательно коммутативного) умножения, причём относительно сложения ''К'' образует группу, а умножение связано со сложением [[Дистрибутивность|дистрибутивным]] законом.
 
''[[Бөтөн һан|Z]]'', ''[[Рациональ һан|Q]]'', ''[[Ысын һан|R]]'' һанлы күмәклектәре берәмек менән коммутатив ассоциатив ҡулса булалар. [[Вектор (математика)|Векторҙар]] күмәклеге [[Векторлы ҡабатлау|векторлы ҡабатлау]] ғәмәле менән антикоммутатив ҡулса була (йәғни <math>a \cdot b = - b \cdot a</math>) векторлы ҡабатлау үҙсәнлеге буйынса<ref>{{книга|автор=Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =14—15|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>: <math>a \times b + b \times a = 0</math>.
Кольцо называют коммутативным и [[Ассоциативная операция|ассоциативным]], если заданная на нём операция умножения коммутативна и соответственно ассоциативна. Элемент кольца <math>1
</math> называется единицей, если выполнено условие: <math>a \cdot 1 = 1 \cdot a = a
</math>, где <math>a
</math> — любой элемент кольца.
 
=== Яландар ===
Числовые множества [[Целое число|''Z'']], [[Рациональное число|''Q'']], [[Вещественное число|''R'']] являются коммутативными ассоциативными кольцами с единицей. Множество [[Вектор (математика)|векторов]] с операцией [[Векторное произведение|векторного умножения]] является антикоммутативным кольцом (то есть <math>a \cdot b = - b \cdot a
{{main|Ялан (алгебра)}}
</math>) в силу свойств векторного умножения<ref>{{книга|автор=Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =14—15|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>: <math>a \times b + b \times a = 0
</math>.
 
===Поля===
{{main|Поле (алгебра)}}
 
'''Ялан''' — ул берәмек менән коммутатив ассоциатив ҡулса <math>F</math>, шуның менән бергә ҡушыуға ҡарата <math>F</math> төркөм төҙөй, ә уның нулдән айырмалы элементтары ҡабатлау буйынса төркөм була. Ялан бер нулдән генә тора алмай. [[Рациональ һан|рациональ]] һәм [[Ысын һан|ысын]] һандар күмәклектәре ялан булалар. Теләһә ниндәй яланда <math>a \cdot b = 0</math> тик <math>a = 0</math> һәм/йәки <math> b = 0</math> булғанда ғына<ref>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =16|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>.
'''Поле''' — это коммутативное ассоциативное кольцо <math>F</math> с единицей, причём относительно сложения <math>F</math> образует группу, а ненулевые его элементы являются группой по умножению. Поле не может состоять из одного нуля. Множества [[Рациональное число|рациональных]] и [[Вещественное число|вещественных]] чисел являются полями. В любом поле <math>a \cdot b = 0
</math> только при <math>a = 0
</math> и/или <math> b = 0
</math><ref>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =16|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>.
 
=== Топологик төркөмдәр ===
=== Топологические группы ===
{{main|Топологик төркөм}}
{{main|Топологическая группа}}
 
Ҡайһы бер [[Топологик арауыҡ|топологик арауыҡтар]] бер үк ваҡытта төркөм структураһы менән дә тәьмин ителгән булырға мөмкин. Был осраҡта бындай арауыҡ ''топологик төркөм'' булырға мөмкин.
Некоторые [[Топологическое пространство|топологические пространства]] могут быть одновременно снабжены и групповой структурой. В этом случае такое пространство может оказаться ''топологической группой''.
Атап әйткәндә, '''топологик төркөм''' — бер үк ваҡытта [[топологик арауыҡ]] та булған төркөм ул, шуның менән бергә төркөмдөң элементтарын ҡабатлау <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}</math> һәм кире элементты алыу ғәмәле <math>\mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}</math> ҡулланылған топологияла [[Өҙлөкһөҙ сағылыш|өҙлөкһөҙ сағылыштар]] булып сығалар<ref>''Бурбаки Н.''  Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. {{М.}}: Наука, 1969.  С. 12.</ref>. Топологические группы являются [[Групповой объект|групповыми объектами]] в [[Теория категорий|топологических пространствах]] '''''Top'''''<ref name=autogenerated3 />.
Именно, '''топологическая группа''' — это группа, являющаяся одновременно [[топологическое пространство|топологическим пространством]], причём умножение элементов группы <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}
</math> и операция взятия обратного элемента <math>\mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}
</math> оказываются [[Непрерывное отображение|непрерывными отображениями]] в используемой топологии<ref>''Бурбаки Н.''&nbsp; Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. {{М.}}:&nbsp;Наука, 1969.&nbsp; С.&nbsp;12.</ref>. Топологические группы являются [[Групповой объект|групповыми объектами]] в [[Теория категорий|топологических пространствах]] '''''Top'''''<ref name=autogenerated3 />.
 
Топологик төркөмдәрҙең иң мөһим миҫалдары — ул [[ысын һандар]]ҙың аддитив төркөмө <math>(\mathbb{R}, +) </math>, нулдән айырмалы [[ысын һандар|ысын һандарҙың]] мультипликатив төркөмө <math>(\mathbb{R^*}, \cdot) </math>, [[тулы һыҙыҡлы төркөм]] <math>GL(n)</math>, [[махсус һыҙыҡлы төркөм]] <math>SL(n)</math>, [[ортогональ төркөм]] <math>O(n)</math>, [[махсус ортогональ төркөм]] <math>SO(n)</math>, [[унитар төркөм]] <math>U(n)</math>, [[махсус унитар төркөм]] <math>SU(n)</math><ref>''Рохлин В. А., Фукс Д. Б.''  Начальный курс топологии. Геометрические главы.  {{М.}}: Наука, 1977.  С. 268—271.</ref>.
Наиболее важные примеры топологических групп — это аддитивная группа [[действительные числа|действительных чисел]] <math>(\mathbb{R}, +)
</math>, мультипликативная группа ненулевых [[действительные числа|действительных чисел]] <math>(\mathbb{R^*}, \cdot)
</math>, [[полная линейная группа]] <math>GL(n)
</math>, [[специальная линейная группа]] <math>SL(n)
</math>, [[ортогональная группа]] <math>O(n)
</math>, [[специальная ортогональная группа]] <math>SO(n)
</math>, [[унитарная группа]] <math>U(n)
</math>, [[специальная унитарная группа]] <math>SU(n)
</math><ref>''Рохлин В. А., Фукс Д. Б.''&nbsp; Начальный курс топологии. Геометрические главы.&nbsp; {{М.}}: Наука, 1977.&nbsp; С. 268—271.</ref>.
 
=== Группы Ли төркөмдәре ===
{{main|Группа Ли}}
 
'''Ли төркөмө''' ([[Софус Ли]] хөрмәтенә) — бер үк ваҡытта ''K'' яланында [[дифференциалланыусы төрлөлөк]] (һуңғыһының ролендә ысын йәки комплекслы һандар яландары сығыш яһарға мөмкин) булған төркөм ул, шуның менән бергә төркөмдөң элементтарын ҡабатлау <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}</math> һәм кире элементты алыу ғәмәле <math>\mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}</math> [[шыма функция|шыма сағылыштар]] булалар (комплекслы осраҡта индерелгән сағылыштарҙың [[голоморф функция|голоморфлығы]] талап ителә). Шуның менән бергә теләһә ниндәй комплекслы <math>n</math>-үлсәмле Ли төркөмө бер үк ваҡытта <math>2n</math> үлсәмле ысын Ли төркөмө <ref name=autogenerated2>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =501|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>.
'''Группа Ли''' (в честь [[Софус Ли|Софуса Ли]]) — это группа, которая одновременно является [[дифференцируемое многообразие|дифференцируемым многообразием]] над полем ''K'' (в роли последнего могут выступать поля действительных или комплексных чисел), причём умножение элементов группы <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}
</math> и операция взятия обратного элемента <math>\mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}
</math> оказываются [[гладкая функция|гладкими отображениями]] (в комплексном случае требуется [[голоморфная функция|голоморфность]] введённых отображений). При этом всякая комплексная <math>n
</math>-мерная группа Ли является одновременно вещественной группой Ли размерности <math>2n
</math><ref name=autogenerated2>{{книга|автор =Винберг Э. Б.|заглавие = Основы теории групп|издание = 2-е изд|издательство = Факториал Пресс|год = 2001|страницы =501|страниц = 544|isbn = 5-88688-060-7}}</ref>.
 
Топологик төркөмдәрҙең миҫалы рәүешендә алдағы бүлектә килтерелгән бөтә конкрет төркөмдәр, бер үк ваҡытта Ли төркөмдәре лә булалар.
Все конкретные группы, приведённые в предыдущем подразделе в качестве примеров топологических групп, одновременно являются и группами Ли.
 
Естественным образом группы Ли возникаюттөркөмдәре притәбиғи рассмотрениирәүештә непрерывныхөҙлөкһөҙ [[симметрия|симметрийсимметрияларҙы]] ҡарағанда барлыҡҡа киләләр; такшулай, группу Ли образуюттөркөмөн барлыҡҡа килтерәләр<ref>''Кострикин А. И., Манин Ю. И.''&nbsp;  Линейная алгебра и геометрия. {{М.}}:&nbsp; Наука, 1986. С.&nbsp; 201.</ref> <math>\mathrm{E} \rightarrow \mathrm{E}</math> күренешендәге [[изометрия (математика)|изометрииизометриялар]], видабында <math>\mathrm{E} \rightarrow \mathrm{E}
</math> — [[Евклид арауығы|Евклид нөктәле арауығы]]. <math>Is(\mathrm{E} )</math> тип тамғаланған килеп сыҡҡан төркөм<ref>''Дьедонне Ж.''  Линейная алгебра и элементарная геометрия. {{М.}}: Наука, 1972. С. 129.</ref>, икенсе Ли төркөмөнөң ''аҫтөркөмө'' була — <math>\mathrm{E}</math> арауығының, <math>Aff(\mathrm{E} )</math> тип тамғаланған [[аффинлы үҙгәртеү|аффинлы төркөмө]] <ref>''Долгачёв И. В., Широков А. П.'' Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т. 1. {{М.}}: Сов. энциклопедия, 1982. Стб. 362—363.</ref>.
</math>, где <math>\mathrm{E}
</math> — [[евклидово пространство|евклидово точечное пространство]]. Полученная группа, обозначаемая <math>Is(\mathrm{E} )
</math><ref>''Дьедонне Ж.''&nbsp; Линейная алгебра и элементарная геометрия. {{М.}}:&nbsp;Наука, 1972. С.&nbsp;129.</ref>, является ''подгруппой'' другой группы Ли — [[аффинное преобразование|аффинной группы]] пространства <math>\mathrm{E}
</math>, обозначаемой <math>Aff(\mathrm{E} )
</math><ref>''Долгачёв И. В., Широков А. П.'' Аффинное пространство // Матем. энциклопедия. Т.&nbsp;1. {{М.}}: Сов. энциклопедия, 1982. Стб.&nbsp;362—363.</ref>.
 
Ли төркөмдәре, уларҙа булған структураларҙың бай булыуы планында, бөтә төрлөлөктәрҙең иң яҡшыһы булып торалар, шулай булараҡ, [[Дифференциаль геометрия һәм топология|дифференциаль геометрияла һәм топологияла]] бик мөһимдәр. Улар шулай уҡ геометрияла, математик анализда, механикала һәм физикала мөһим роль уйнайҙар<ref name=autogenerated2 />.
Группы Ли являются лучшими из многообразий в плане богатства имеющейся на них структуры и, как таковые, очень важны в [[Дифференциальная геометрия и топология|дифференциальной геометрии и топологии]]. Они также играют видную роль в геометрии, математическом анализе, механике и физике<ref name=autogenerated2 />.
 
== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
Юл 253 ⟶ 201:
* {{книга |автор=Александров П. С. |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/djvu/bib-kvant/groups.htm |заглавие=Введение в теорию групп |том=7 |серия=[http://www.mccme.ru/free-books/ilib.htm#bmkvant «Библиотечка Квант»]}}
* {{статья |автор=Садовский Л., Аршинов М. |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1976/10/gruppy.htm |заглавие=Группы |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=10 |год=1976}}
* {{книга |ответственный = Сост. А. П. Савин |заглавие = Энциклопедический словарь юного математика |место = М. |издательство = [[Педагогика (издательство)|Педагогика]] |год = 1985 |страниц = 352 |часть = Группа |страницы = 88-9488—94}}
 
[[Категория:Төркөмдәр теорияһы]]