Төркөм [[Симметрия|симметрия]] төшөнсәһенә фундаменталь оҡшаш һәм уның бөтә сағылыштарын өйрәнеүҙә мөһим инструмент булып тора. Мәҫәлән, [[симметрия төркөмө]] [[Геометрия|геометрик]] объекттың үҙсәнлектәрен сағылдыра: ул объектты үҙгәрешһеҙ ҡалдырған үҙгәртеүҙәр күмәклегенән һәм ике бер береһенең артынса килгән шундай үҙгәртеүҙәрҙе комбинациялау операцияһынан тора. [[Нөктә кеүек симметрия төркөмө]] кеүек симметрия төркөмдәре химияла молекуляр симметрия күренешен аңларға ярҙам итә; [[Пуанкаре төркөмө]] [[Арауыҡ-ваҡыт|арауыҡ-ваҡыттың]] симметрияһын характерлай, ә [[махсус унитар төркөм]]дәр [[Элементар өлөшсәләр физикаһы|элементар өлөшсәләр физикаһының]] [[Стандарт модель|стандарт моделендә]] ҡулланылалар <ref>{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд.|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 9-14|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>.
Төркөм төшөнсәһен [[Эварист Галуа]], [[күпбыуын]]дарҙы өйрәнеп,өйрәнгәндә [[1830-сы йылдарҙа]] индерә<ref name = "Kleiner"/>.
СовременнаяХәҙерге теориязаман групптөркөм являетсятеорияһы активнымматематиканың разделомәүҙем математикибүлеге булып тора<ref>Только вТик 2005 годуйылда ғына, согласно данным [[MathSciNet]], быломәғлүмәттәре опубликовано более 2 тыс. исследовательских работ в областибуйынса, ''Group theory and generalisations'' өлкәһендә 2 меңдән артыҡ тикшеренеү эше баҫылып сыға.</ref>. Один[[1981 изйыл]]да наиболее впечатляющих результатов достигнут втамамланған [[КлассификацияЯбай простыхсикле конечныхтөркөмдәр группклассификацияһы|классификацииябай простыхсикле конечныхтөркөмдәрҙе группклассификациялауҙа]], котораяҙур былаһөҙөмтәләргә завершенаөлгәшелә: втеоремаларҙы [[1981иҫбатлау годйөҙҙән вартыҡ науке|1981авторҙың году]]:1955 доказательствойылдан теоремыбашлап составляетбаҫылып десяткисыҡҡан тысячйөҙләгән страницфәнни сотенмәҡәләһенең научныхтиҫтәләгән статеймең болеебитен статәшкил авторовитә, опубликованныхләкин сиҫбатлауҙа 1955табылған года,етешһеҙлек ноарҡаһында статьимәҡәләләр продолжаютяҙылыуы появляться из-за обнаруживаемых пробелов вдауам доказательствеитә<ref name=autogenerated1>{{книга|автор = Горенстейн Д.|заглавие = Конечные простые группы. Введение в их классификацию|оригинал = Finite simple Groups. An Introduction to Their Classification|ответственный = под ред. А.И. Кострикина|издание = Мир|место = Москва|издательство = Мир|год = 1985|страницы = 9—17|страниц = 352|тираж = 5250}}</ref>. С середины 1980-хсе годовйылдар значительноеуртаһынан развитиегеометрик получилаобъекттар булараҡ [[геометрическаякилтереп теориясығарыусы групптөркөмдәр күмәклеге|сикле-килтереп сығарылған төркөмдәр]],ҙе изучающаяөйрәнеүсе [[Порождающеетөркөмдәрҙең множествогеометрик группы|конечно-порождённые группытеорияһы]] какһиҙелерлек геометрическиеүҫеш объектыала.
== ОпределениеБилдәләмә ==
НепустоеБуш множествобулмаған ''G'' скүмәклеге заданнойунда набирелгән нём<math>{*}</math> [[бинарнаябинар операция|бинарной операциейоперацияһы]] <math>{*}</math>менән: <math>\mathrm{G} \times \mathrm{G} \rightarrow \mathrm{G}
</math> называется группой <math>(\mathrm{G}, *)
</math> төркөм тип атала, әгәр ошондай аксиомалар үтәлһә:
</math>, если выполнены следующие аксиомы:
# '''[[АссоциативностьАссоциативлыҡ (математика)|ассоциативностьассоциативлыҡ]]''': <math>\forall (a, b, c\in G)\colon (a*b)*c = a*(b*c)</math>;
# '''наличие [[НейтральныйНейтраль элемент|нейтральногонейтраль элементаэлементтың]] булыуы''': <math>\exists e \in G \quad \forall a \in G\colon (e*a=a*e=a)</math>;
# '''наличиекире обратногоэлементтың элементабулыуы''': <math>\forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)</math>.
ПоследниеҺуңғы двеике аксиомыаксиоманы можно заменить одной аксиомой существованиябер '''операции обратной <math>*</math>-ға кире операцияның''' булыуы аксиомаһы менән алмаштырырға мөмкин:<blockquote><math>\forall (a,b\in G) \quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)</math>.</blockquote>ПриШуның этомменән вышеприведённыебергә аксиомыюғарыла некилтерелгән являютсяаксиомалар строгоҡәтғи минимальными.иң Дляәҙе существованиябулып тормайҙар. [[НейтральныйНейтраль элемент|нейтральногоНейтраль]] иһәм [[ОбратныйКире элемент|обратногокире элементовэлементтар]] достаточнобулһын наличияөсөн [[НейтральныйНейтраль элемент|левогоһул нейтральногонейтраль]] элементаэлементтың иһәм [[ОбратныйКире элемент|левогоһул обратногокире]] элемента.элементтың Прибулыуы этометә. можноШуның доказатьменән бергә, чтоулар ониавтоматик автоматическирәүештә будутғәҙәттәге обычнымнейтраль һәм кире элемент нейтральнымбулалар иикәнен обратнымиҫбатлап элементамибула{{sfn|Сагалович|2010|с=50}}.
=== Бәйле билдәләмәләр ===
=== Связанные определения ===
{{main|Словарь терминов теории групп}}
* Дөйөм осраҡта төркөмдән ''[[коммутативлыҡ]]'' үҙсәнлеге үтәлеүе талап ителмәй.
* В общем случае от группы не требуется выполнения свойства ''[[коммутативность|коммутативности]]''.
** <math>a*b = b*a</math> тигеҙлеге үтәлгән <math>a,\;b</math> элементтары пары ''алмаштырып ҡуйылмалы'' йәки ''коммутирлаусы'' тип аталалар.
** Пары элементов <math>a,\;b</math>, для которых выполнено равенство <math>a*b = b*a</math>, называются ''перестановочными'' или ''коммутирующими''.
** Төркөмдөң бөтә элементтары менән алмаштырып ҡуйылмалы элементтар күмәклеге ''[[төркөмдөң үҙәге]]'' тип атала.
** Множество элементов, перестановочных со всеми элементами группы, называется ''[[центр группы|центром группы]]''.
** Теләһә ниндәй ике элементы коммутирланған төркөм [[Абелев төркөмө|''коммутативлы'' йәки ''абелев'']] төркөмө тип атала.
** Группа, в которой любые два элемента коммутируют, называется [[Абелева группа|''коммутативной'' или ''абелевой'']].
* ''[[ПодгруппаАҫтөркөм]]'' — подмножество <math>HG</math> группытөркөмөнөң, <math>G</math>,-ла котороебилдәләнгән являетсяоперацияға группойҡарата относительнотөркөм операции, определённойбулып вторған <math>GH</math> аҫкүмәклеге ул.
* <math>(G,*)</math> ''төркөмөнөң тәртибе'' — <math>G</math> [[күмәклек ҡеүәте|ҡеүәте]] (йәғни уның элементтары һаны).
* ''Порядок группы'' <math>(G,*)</math> — [[мощность множества|мощность]] <math>G</math> (то есть число её элементов).
** Әгәр <math>G</math> күмәклеге сикле булһа, ул саҡта төркөм [[Сикле төркөм|''сиклн'']] тип атала.
** Если множество <math>G</math> конечно, то группа называется [[Конечная группа|''конечной'']].
* ''ГомоморфизмыТөркөмдөң группгомоморфизмдары'' — этоул төркөм структураһын һаҡлаусы төркөмдәрҙең [[ОтображениеСағылыш|отображениясағылыштары]] групп, которые сохраняют групповую структуру. ТоЙәғни есть отображение групптөркөмдәрҙең <math>f \colon (G,*) \to (H,\times)</math> называетсясағылышы [[Гомоморфизм|гомоморфизмомгомоморфизм]], еслитип удовлетворяетатала, условиюәгәр <math>f(a * b) = f(a) \times f(b)</math> шартын ҡәнәғәтләндерһә.
* ДвеӘгәр группы<math>f(g(a)) называются= ''изоморфными''a</math> һәм <math>g(f(b))=b</math>, еслибында существуют<math>b\in гомоморфизмG</math> һәм <math>a\in H</math> группүтәлерлек <math>f \colon (G,*) \to (H,\times)</math> итөркөмдәр гомоморфизмгомоморфизмы группһәм <math>g\colon
(H,\times) \to (G,*) </math> төркөмдәр гомоморфизмы булһа, ике төркөм ''изоморфлы'' тип атала. Был осраҡта был гомоморфизмдар ''изоморфизмдар'' тип аталалар.
(H,\times) \to (G,*) </math>, такие что <math>f(g(a)) = a</math> и <math>g(f(b))=b</math>, где <math>b\in G</math> и <math>a\in H</math>. В этом случае эти гомоморфизмы называются ''изоморфизмами''.
*Для элемента <math>g \in G</math> ''левыйэлементы смежный класс'' по подгруппеөсөн <math>H</math> —аҫтөркөмө буйынса ''һул множествоэргәләш класс'' — <math>gH= \{gh \mid h\in H\}</math> күмәклеге, ''правый смежный класс'' по подгруппе <math>H</math> аҫтөркөмө буйынса ''уң эргәләш класс'' — множество <math>Hg= \{hg \mid h\in H\}</math> күмәклеге.
*''[[НормальнаяНормаль подгруппааҫтөркөм]]'' — подгруппаһул особогоһәм типа,уң левыйэргәләш икластары правыйтап смежныекилгән классыайырым потөрҙәге которой совпадаютаҫтөркөм. ДляТеләһә любогониндәй <math>g \in G</math> өсөн, <math>gH = Hg</math>.
*''[[Фактор төркөм]]'' — төркөмдөң, үҙе төркөм булып торған, уның нормаль аҫтөркөмө буйынса эргәләш кластар күмәклеге.
*''[[Факторгруппа]]'' — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой.
== Стандарт тамғалауҙар ==
== Стандартные обозначения ==
=== Мультипликатив яҙыу ===
=== Мультипликативная запись ===
Ғәҙәттә төркөм операцияһын (абстрактлы) ''ҡабатлау'' тип атайҙар; ул саҡта ''мультипликатив яҙыу'' ҡулланыла:
Обычно групповую операцию называют (абстрактным) ''умножением''; тогда применяется ''мультипликативная запись'':
* операция һөҙөмтәһен ''ҡабатландыҡ'' тип атайҙар һәм <math>a \cdot b
* результат операции называют ''произведением'' и записывают <math>a \cdot b
</math> илийәки <math>a b </math> тип яҙалар;
* нейтраль элемент «<math>1</math>» йәки <math>e</math> тип тамғалана һәм ''берәмек'' тип атала;
</math>;
* нейтральный<math>a</math>-ға кире элемент обозначается «<math>a^{-1}</math> тип яҙыла.
</math>» или <math>e
</math> и называется ''единицей'';
* обратный к <math>a
</math> элемент записывается как <math>a^{-1}
</math>.
Әгәр төркөм операцияһы ''ҡабатлау'' тип аталһа, ул саҡта төркөмдөң үҙен <math>\mathrm{G}</math> ''мультипликатив''тип атайҙар һәм яҙыуҙың тулы ысулында (төркөм операцияһын асыҡ күрһәтергә теләһәләр) ошолай тамғалайҙар: <math>(\mathrm{G}, \cdot)
Если групповая операция именуется ''умножением'', то саму такую группу <math>\mathrm{G}
</math> при этом называют ''мультипликативной'' и при полном способе записи (когда хотят явно указать групповую операцию) обозначают так: <math>(\mathrm{G}, \cdot)
</math>.
Тапҡырлы ҡабатлауҙарҙы <math>aa</math>, <math>aaa</math>, <math>...</math> натураль дәрәжәләр күренешендә яҙалар <math>a^2</math>, <math>a^3</math>,<math>...</math><ref> НатуральнаяЭлементтың натуральная степень элементаа корректно определяется благодаря ассоциативности</ref>. Для элемента <math>a</math> корректноэлементы өсөн <ref>Корректность вытекает из единственности обратного элемента.</ref> определена [[ ЦелоеБөтөн числоһан| целаябөтөн]] степеньдәрәжә билдәләнә, записываетсяошо следующимрәүешле образомяҙыла: <math>a^0=e</math>, <math>a^{-n} = (a^{-1})^n</math>. ▼
Кратные произведения <math>aa</math>, <math>aaa</math>, <math>...</math> записывают в виде натуральных степеней <math>a^2</math>, <math>a^3
▲</math>,<math>...</math><ref>Натуральная степень элемента корректно определяется благодаря ассоциативности</ref>. Для элемента <math>a</math> корректно<ref>Корректность вытекает из единственности обратного элемента.</ref> определена [[Целое число|целая]] степень, записывается следующим образом: <math>a^0=e</math>, <math>a^{-n} = (a^{-1})^n</math>.
=== Аддитивная запись ===
В коммутативной группе определяющая операция часто рассматривается как (абстрактное) ''сложение'' и ''записывается аддитивно'':
* пишут «<math>a + b
</math>» и называют получившийся элемент ''суммой'' элементов <math>a
</math> и <math>b
</math>;
* нейтральный элемент обозначают как «<math>0
</math>» и называют его ''нулём'';
* обратный элемент к <math>a
</math> обозначают как «<math>-a
</math>» и называют его ''противоположным'' к <math>a
</math> элементом;
* запись сокращают следующим образом: <math>a + (-b) = a -b
</math>;
* выражения вида <math>a+a
</math>, <math>a+a+a
=== Аддитив яҙыу ===
</math>,<math>-a-a
Коммутативлы төркөмдә билдәләнгән операция йыш ҡына (абстрактлы) ''ҡушыу'' тип ҡарала һәм '' аддитив яҙыла'':
</math> обозначают символами <math>2a</math>, <math>3a</math>, <math>-2a</math>.
* «<math>a + b</math>» тип яҙалар һәм килеп сыҡҡан элементты <math>a</math> һәм <math>b</math> элементтарының ''суммаһы'' тип атайҙар;
* нейтраль элемент «<math>0</math>» тип тамғалана һәм уны ''нуль'' тип атайҙар;
* <math>a</math>-ға кире элементты «<math>-a</math>» тип тамғалайҙар һәм уны <math>a</math>-ға ''ҡапма-ҡаршы'' элемент тип атайҙар;
* яҙыуҙы ошолай ҡыҫҡарталар: <math>a + (-b) = a -b</math>;
* <math>a+a</math>, <math>a+a+a</math>, <math>-a-a</math> күренешендәге аңлатмаларҙы <math>2a</math>, <math>3a</math>, <math>-2a</math> символдары менән тамғалайҙар.
Әгәр төркөм операцияһы ''ҡушыу'' тип аталһа, ул саҡта шундай төркөмдөң үҙен <math>\mathrm{G}</math> ''аддитив'' тип атайҙар һәм яҙыуҙың тулы ысулында ошолай тамғалайҙар: <math>(\mathrm{G}, +)</math><ref name = "karg">{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд.|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 18|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>. ▼
Если групповая операция именуется ''сложением'', то саму такую группу <math>\mathrm{G}
</math> при этом называют ''аддитивной'' и при полном способе записи обозначают так: <math>(\mathrm{G}, +)
▲</math><ref name = "karg">{{книга|автор =Каргаполов М. И., Мерзляков Ю.И. |заглавие = Основы теории групп|издание = 3-е изд.|место = Москва|издательство = Наука|год = 1982|страницы = 18|страниц = 288|тираж = 11800}}</ref>.
== ПримерыМиҫалдар ==
Төркөмдәрҙең ғәйәт ҙур һанда миҫалдары һәм шулай уҡ уларҙың хәҙерге кешелек донъяһында ҡулланылышы бар. Ҡушыу ғәмәле менән бәйле [[Бөтөн һан|бөтөн һандар]] күмәклеге аддитив төркөм йәки ҡушыу буйынса төркөм тип атала. Множество Ҡабатлау ғәмәле менән <math>0</math>-дән башҡа [[Рациональ һан|рациональ һандар]] күмәклеге мультипликатив төркөм була. Был төркөмдәр [[Дөйөм алгебра|дөйөм алгебра]] бүлегендә мөһим конструкцияларҙың барлыҡҡа килеүенә башланғыс булалар.
Существует гигантское количество примеров групп, а также их применений в современном мире. Множество [[Целое число|целых чисел]], связанные операцией сложения, является аддитивной группой или группой по сложению. Множество [[Рациональное число|рациональных чисел]], не включающее <math>0</math>, с операцией умножения является мультипликативной группой. Эти группы положили начало возникновению важнейших конструкций в разделе [[Общая алгебра|общей алгебры]].
ГруппыТөркөмдәр применяютсяматематиканың втөрлө различныхөлкәләрендә областях математикиҡулланылалар. МатематическиеМатематик объектыобъекттарҙы частойыш связываютсяҡына сартабан уларҙың группамиүҙсәнлектәрен дляөйрәнеү дальнейшегоөсөн изучениятөркөмдәр ихменән свойствбәйләйҙәр. НапримерМәҫәлән, [[Пуанкаре, Анри|Анри Пуанкаре]] основал [[ТопологияФундаменталь төркөм|топологиюфундаменталь төркөм]], введятөшөнсәһе понятиеиндереп, [[Фундаментальная группаТопология|фундаментальной группытопологияға]] нигеҙ һала<ref>{{книга|автор = Hatcher Allen|заглавие = Algebraic topology|издательство = Cambridge University Press|место = Cambridge|год = 2002|pages =30|isbn = 978-0-486-45868-7}}</ref>.
Төркөмдәрҙең теоретик ҡулланылышынан тыш уларҙы практикала ҡулланыуҙың күп ысулдары бар. Миҫалға, улар [[Төркөмдәрҙең иҫәпләү теорияһы|төркөмдәрҙең иҫәпләү теорияһына]] һәм [[алгоритм]]дар өлкәһендәге белемдәргә нигеҙләнгән [[Криптография|криптографияла]] ҡулланылалар.
Помимо теоретического применения групп существует множество способов применения групп на практике. К примеру, они применяются в [[Криптография|криптографии]], которая опирается на [[Вычислительная теория групп|вычислительную теорию групп]] и знания в области [[алгоритм]]ов.
[[Файл:Clock group.svg|thumb|250px|upright|Часы показывают время по модулюСәғәт ''12'' модуле буйынса ваҡытты күрһәтә.
<math> \begin{align}
n = 12\\
|