|
==== Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр ====
НеравенствоБеренсе первойдәрәжә степенитигеҙһеҙлектең имеетдөйөм общийформаты форматбар: <math>ax>b</math> илийәки <math>ax<b,</math> гдебында <math>a \ne 0</math> (работа со знаками <math>\geqslant</math> иһәм <math>\leqslant</math> аналогичнатамғалары менән эш оҡшаш). ЧтобыУны егосығарыу решитьөсөн, разделите неравенство натигеҙһеҙлекте <math>a</math> иһанына бүлегеҙ һәм, еслиәгәр <math>a<0,</math> изменитебулһа, знактигеҙһеҙлектең неравенстватамғаһын наҡапма-ҡаршыға противоположныйүҙгәртегеҙ{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=178}}. ПримерМиҫал:
: <math>5x-11>8x+1.</math> ПриведёмОҡшаш подобныебыуындарҙы членыберләштерәбеҙ: <math>-3x>12,</math> илийәки <math>x<-4.</math>
==== Беренсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр системаһы ====
==== Системы неравенств первой степени ====
Әгәр бер үк билдәһеҙ берәүҙән күберәк тигеҙһеҙлеккә инһә, һәр тигеҙһеҙлекте айырым сығарырға кәрәк һәм аҙаҡ бөтәһе лә бер юлы үтәлергә тейеш булған был сығарылыштарҙы сағыштырырға кәрәк.
Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.
'''ПримерМиҫал 1'''. Из системы <math>\begin{cases} 4x-3>5x-5 \\ 2x+4<8x\end{cases}</math> получаемсистемаһынан ике двасығарылыш решениятабабыҙ: дляберенсе первоготигеҙһеҙлек неравенстваөсөн <math>x<2,</math> дляикенсеһе второгоөсөн: <math>x>{2\over 3}.</math> СоединяяУларҙы ихберләштереп, получаемяуап ответтабабыҙ: <math>{2\over 3}<x<2.</math>
'''ПримерМиҫал 2'''. <math>\begin{cases} 2x-3>3x-5 \\ 2x+4>8x\end{cases}</math> РешенияСығарылыштары: <math>x<2</math> иһәм <math>x<{2\over 3}.</math> ВтороеИкенсе решениесығарылыш поглощаетберенсеһен первоейота, такшулай чтоитеп ответяуап: <math>x<{2\over 3}.</math>
'''ПримерМиҫал 3'''. <math>\begin{cases} 2x-3<3x-5 \\ 2x+4>8x\end{cases}</math> РешенияСығарылыштары: <math>x>2</math> иһәм <math>x<{2\over 3},</math> ониулар несовместимыберләшә алмай, поэтомушуға исходнаякүрә системабирелгән несистеманың имеетсығарылышы решенийюҡ.
==== Икенсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәр ====
==== Неравенства второй степени ====
Икенсе дәрәжә тигеҙһеҙлектәрҙең (шулай уҡ ''квадрат тигеҙһеҙлек'' тип тә аталалар) дөйөм күренеше:
Общий вид неравенства второй степени (называемого также ''квадратным неравенством''):
: <math>x^2+px+q>0</math> илийәки <math>x^2+px+q<0.</math>
Әгәр <math>x^2+px+q=0</math> [[квадрат тигеҙләмә]]һенең <math>x_1, x_2,</math> ысын тамырҙары булһа,тигеҙһеҙлектәрҙе ярашлы рәүештә түбәндәге күренешкә килтерергә мөмкин:
Если [[квадратное уравнение]] <math>x^2+px+q=0</math> имеет вещественные корни <math>x_1, x_2,</math> то неравенство можно привести к виду соответственно:
: <math>(x-x_1)(x-x_2)>0</math> илийәки <math>(x-x_1)(x-x_2)<0.</math>
ВБеренсе первом случаеосраҡта <math>x-x_1</math> иһәм <math>x-x_2</math> должныбер иметьтөрлө одинаковыетамғалы знакибулырға тейешд, воикенсе второмосраҡта — разныетөрлө. ДляҺуңғы яуапты окончательноготабыу ответаөсөн надотүбәндәге применитьябай следующееҡағиҙәне простоеҡулланырға правилокәрәк{{sfn |Элементарная математика|1976|с=217—222}}.
{{рамка}}
Төрлө ысын тамыры булған <math>x^2+px+q</math> [[квадрат өсбыуын]] тамырҙар араһындағы интервалда ''тиҫкәре'' һәм был интервалдан тышта ''ыңғай''.
[[Квадратный трёхчлен]] <math>x^2+px+q</math> с разными вещественными корнями ''отрицателен'' в интервале между корнями и ''положителен'' вне этого интервала.
|}
Если оказалось, что у уравненияӘгәр <math>x^2+px+q=0</math> вещественныхтигеҙләмәһенең корнейысын неттамырҙары булмаһа, тоуның егоһул леваяяғы часть<math>x</math>-тың сохраняетбөтә одинҡиммәттәрендә илә тотбер жеүк знактамғалы. приШуға всехкүрә <math>x.</math>бирелгән Поэтомуикенсе исходноедәрәжә неравенствотигеҙһеҙлек второййә степенитождество либобулып является тождествомтора, либойәки несығарылышы имеет решенийюҡ (см.түбәндәге нижемиҫалдарҙы примерыҡарағыҙ{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=180—181}}).
'''ПримерМиҫал 1'''. <math>-2x^2+14x-20>0.</math> Разделив наТигеҙһеҙлекте <math>-2,</math>-гә приведём неравенство к виду:бүлеп, <math>x^2-7x+10<0.</math> Решивкүренешенә квадратное уравнениекилтерәбеҙ. <math>x^2-7x+10=0,</math> получаемквадрат корнитигеҙләмәһен сығарып, <math>x_1=2; x_2=5,</math> поэтомутамырҙарын исходноетабабыҙ, шуға неравенствокүрә равносильнобирелгән такому:тигеҙһеҙлек <math>(x-2)(x-5)<0.</math> Согласнотигеҙһеҙлеге менән тиң көслө. Юғарыла приведенномукилтерелгән вышеҡағиҙә правилубуйынса, <math>2<x<5,</math> чтоошо яуап ибула являетсяла ответоминде.
'''ПримерМиҫал 2'''. <math>-2x^2+14x-20<0.</math> АналогичноОҡшаш получаем, чторәүештә <math>x-2</math> иһәм <math>x-5</math> имеютбер одинаковыетөрлө знаки,тамғалы тобулыуын табабыҙ, естьйәғни, согласноҡағиҙә правилубуйынса, либойә <math>x<2,</math> либойәки <math>x>5.</math>
'''ПримерМиҫал 3'''. <math>x^2+6x+15>0.</math> Уравнение <math>x^2+6x+15=0</math> нетигеҙләмәһенең имеетысын вещественныхтамырҙары корнейюҡ, поэтомушуға леваякүрә частьуның егоһул сохраняет знак при всехяғы <math>x.</math>-тың Прибөтә ҡиммәттәрендә лә бер үк тамғалы. <math>x=0</math> леваябулғанда частьһул положительнаяғы ыңғай, поэтомушуға исходноекүрә неравенствобирелгән естьтигеҙһеҙлек тождество (верно при всех <math>x</math>-тың бөтә ҡиммәттәрендә лә дөрөҫ).
'''Миҫал 4'''. <math>x^2+6x+15<0.</math> Алдағы миҫалдағы кеүек, бында һул яғы һәр ваҡыт ыңғай, шуға күрә тигеҙһеҙлектең сығарылышы юҡ.
'''Пример 4'''. <math>x^2+6x+15<0.</math> Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.
АналогичноОҡшаш рәүештә, разложениемҡабатлашыусыларға на множителитарҡатып, можноюғары решатьдәрәжәләге неравенстватигеҙһеҙлектәрҙе высшихлә степенейсығарырға мөмкин. ДругойИкенсе способысул — построить графикһул левойяғының частиграфигән итөҙөргә определитьһәм, какиетөрлө знакиинтервалдарҙа онаниндәй имееттамғалы викәнен различныхасыҡларға интервалахкәрәк{{sfn |Элементарная математика|1976|с=212—213, 219—222}}.
== Ҡайһы бер билдәле тигеҙһеҙлектәр ==
== Некоторые известные неравенства ==
НижеТүбәндә, приведеныәгәр практическиүҙгәреүсәндәр полезныекүрһәтелгән неравенства,сиктәргә тождественноинһә выполняющиеся,тождестволы еслиүтәлгән, неизвестныепрактик попадаютяҡтан вфайҙалы указанныетигеҙһеҙлектәр границыкилтерелгән{{sfn |Справочник по элементарной математике|1978|с=174—176}}.
* <math>a+{1\over a} \geqslant 2,</math> гдебында <math>a>0.</math> Тигеҙлек тик Равенство имеет место только при <math>a=1.</math>булғанда ғына үтәлә.
* <math>\sqrt{ab}\leqslant {a+b\over 2},</math> гдебында <math>a,b>0.</math> СмыслМәғәнәһе: ике һандың [[среднееурта геометрик|урта геометрическоегеометригы]] двух чисел не превосходит ихуларҙың [[среднееурта арифметическоеарифметик|урта арифметигынан]]. Равенствоҙур имееттүгел. местоТигеҙлек только притик <math>a=b.</math> булғанда ғына үтәлә.
* [[Неравенство Бернулли тигеҙһеҙлеге]]:
: <math>(1+x)^n\geqslant 1 + nx,</math> гдебында <math>x\geqslant -1, n</math> — [[натуральноенатураль числоһан]].
* [[Неравенство Коши — БуняковскогоБуняковский тигеҙһеҙлеге]].
* [[Өсмөйөш тигеҙһеҙлеге]]:
* [[Неравенство треугольника]]:
: <math>|a+b|\leqslant |a|+|b|</math>
: Был тигеҙһеҙлектең эҙемтәләрен [[Абсолют дәүмәл]] мәҡәләһендә ҡарағыҙ.
: См. следствия этого неравенства в статье [[Абсолютная величина]].
== Программалау телдәрендә тигеҙһеҙлек тамғалары ==
| 